动静两相宜

梅玉华

摘  要：

教学《角的初步认识》一课，分析“角”的知识内涵，明确静态和动态两种定义。根据范希尔的几何思维水平层次理论，解析学生的思维层次，明确教学思路：静态定义内涵的体验可以充分利用学生的数学认知，引导学生通过看、指、画、想和交流互动进行体验；动态定义内涵的体验对于二年级学生而言比较难，要引导他们细致操作，经历“角有大小—角可以比较大小—角的大小相等—角有大有小”的思维进阶过程。

关键词：小学数学；知识内涵；思维层次；《角的初步认识》

角是最基本的几何图形之一，也是进一步认识其他几何图形的重要基础。二年级学生已经初步认识了长方形、正方形和三角形，也有一些关于“角”的已有认知（前概念），但这些前概念是模糊的、不完整的，甚至是错误的。教学苏教版小学数学二年级下册《角的初步认识》一课时，笔者基于对知识内涵和学生思维层次的分析，明确了静态与动态两种视角，并据此得到教学思路。

一、教前思考

（一）分析知识内涵，明确两种视角

欧几里得定义角为在平面中两条不平行直线的相对斜度（位置关系）。卡布斯认为角是两条相交直线之间的空间（呈现方式）。为了从不同视角表达角的性质，几何学对角的定义有两种：具有公共端点的两条射线组成的图形（静态定义）；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）。角的符号“∠”是静态的呈现，“  ”是产生角过程的描述，正确、全面体验角的内涵需要学生经历动静两相宜的过程，从而真正理解符号“”。“∠”表达其所夹的平面部分是什么？在学生眼中有两种认识，扇形（）和三角形（）。不论是扇形还是三角形，都会影响学生对角大小内涵的判断。认识角有大小是促进学生体验角内涵的重要支点。

教师应在角的静态认识之后，通过“转动”让学生感知角有大小，引导学生感悟角不是

扇形、三角形，而是一种旋转的弧度，同时利用旋转超越“角是尖尖的”生活经验，形成数学的认识。

（二）解析思维层次，明确教学思路

根据范希尔的几何思维水平层次理论，二年级的学生对角的认知理解应处在以下几个层次：视觉层次，能通过整体轮廓辨认角（生活中的角）、会仿画（描）角或画角；分析层次，能分析角的组成要素及特征（一个顶点、两条直边），利用某一性质进行角的分类（角的大小）；非形式化的演绎层次，能了解建构角的要素，能进一步探求角的内在属性及其包含关系（角与射线、直线、线段、多边形的关系）。

学生对角的实际认识处于怎样的水平呢？角静态定义内涵的调研分析表明：画角的过程显示学生知道角的边是直的；但辨认生活中的角与数学上的角时，大部分学生会遭遇困难，特别是牛角与“”；几乎所有学生都认为角是尖尖的，但也认可钟面上形成的钝角是角。

角动态定义内涵的调研分析表明：学生都知道角有大小，知道旋转能改变角的大小；当所画边

长度相同时，学生都能比较角的大小；当角的大小相等但所画边长度不相等时，几乎所有学生都不能正确地比较大小，都认为角边的长短影响角的大小；当不同大小的角有一边重叠时，学生对角的大小判断呈现较大的差异。

这些现象说明学生对角有一定的认识，但基本是感性认识，很少有反思过的理性认识。由此，得到如下教学思路：静态定义内涵的体验可以充分利用学生的数学认知，引导学生通过看、指、画、想和交流互动进行；动态定义内涵的体验对于二年级学生而言比较难，要引导他们细致操作、经历“角有大小—角可以比较大小—角的大小相等—角有大有小”的思维进阶过程。

二、教学过程

学习活动是实现教学目标、体验教学内容的路径，也是学生积累学习经验的载体。本课教学，从学生熟悉的情境入手，引导学生经历“观察、分类、描角（操作体验）—想象、画角、做角（数学表达）—转角、比角（深化认识）—回顾、反思、提炼（反思提升）”的学习过程，丰富学生的体验，深化学生的理解。

（一）操作体验角的静态定义

教师呈现幼儿园美术主题情境图：手工（剪纸）、画画（在纸扇上画牛）、设计（滑滑梯、连廊布置）等。通过“为什么叫五角星”引出角。

引出角后，教师引导学生指出找到的角（现实情境与主题图情境），通过交流对比（或分类）聚焦边是直的角，引导学生描角，进行第一次抽象，明确数学上的角。

抽象角的形状之后，教师带领学生观察角、（闭眼）想象角，并比一比不同的角有什么相同与不同之处，引导学生描述角的形状，进行第二次抽象，明晰角的组成。

明晰角的组成之后，教师布置画角和判断角的活动，进一步丰富学生对角静态定义内涵的体验。

（二）操作体验角的动态定义

教师提供材料（塑料扣、吸管、圆片等），引導学生自己创造一个角，指一指角的顶点、两条边，比一比创造的角有什么相同与不同，从而引出“角有大小”。

在此基础上，教师引导学生操作，从两个层次（角本身有大小、两个角相比有大有小）体验角的大小内涵：

师  老师也用两个塑料扣做了一个角，（出示两边重叠的活动角）你能让大家一眼看出它是一个角吗？

（学生回答，教师同步转动教具。）

师  生活中有这样的现象吗？

生  时钟。

师  （出示钟面）钟面上藏着的三个角中，哪个角最大？哪个角最小？

（学生回答。）

师  请同学们拿出刚刚做的活动角，把角的两边重叠在一起，然后先将这个角变大，再将这个角变小。

（学生操作。）

师  角的大小跟什么有关呢？

生  角的大小跟转动有关。

生  角的大小跟张口的大小有关。

师  同桌两人比一比各自制作的角的大小，再想办法把两个角变成一样大。

（学生操作。）

师  可以发现，同学们把角变成一样大的方法基本相同：角的顶点对齐，其中一边也对齐，看另外一条边。

（指名学生拿着制作的角上台）他的角和老师的角比，谁的角大，大的部分在哪儿？

（学生回答。）

师  所以，大的部分也是——

生  一个角。

师  如果将一个角变得很小很小，这个角长什么样？

（学生先思考后操作再交流。）

师  如果很大呢？

生  接近平角。

师  还是尖尖的吗？

生  不是。

师  所以，“尖尖的”不是角的特征，一个顶点和两条直的边才是角的特征。请利用圆片的对折找一找角。

……

三、教后心得

除了动静两相宜的教学思路以外，本课教学还特别重视引导学生交流与反思。交流与反思要在符合学生年龄特征的前提下，通过具象的、序列化的活动，帮助学生慢慢积累理性的学习经验，不断发展数学思维品质。

学习活动中的交流，指向学生的数学思维发展、学习方法习得，通过师生互动、生生互动引导学生感悟概念内涵、数学思想方法、学习方法，获得情感体验与交流评价经验。例如，在抽象角的特征、体验角的大小内涵环节，利用“我们找到了这么多数学上的角，你们还能想出更多的角吗？比一比它们有什么相同与不同之处”“既然角有大小，你能想出最小的角长什么样吗？最大的呢”等问题，通过师生互动引发生生互动，学生感悟角的内涵，同时获得数学抽象的路径与经验，在自我观照中获得成功体验。

学习活动后的反思，指向优化知识结构，感悟、明晰学习方法。教师应经常引导学生反思学习历程，提炼、表征学习方法，保持对学习方法的关注，养成“方法”意识。这样才能把教师的教转化为学生的学，实现“以教促学”。本课的反思环节分为两个方面：知识理解与学习方法习得。在学生没有想到方法的现实背景下，通过“回顾我们的学习过程，通过哪些活动去认识角”，培养学生形成从方法视角进行反思的习惯，利用PPT对活动进行序列反思，明确观察比较、操作体验、想象表達、比较抽象等是学习图形的重要方法。