新工科背景下《复变函数与积分变换》课程教学改革探索

崔晓梅，茹 静

(吉林化工学院 理学院，吉林 吉林 132022)

一、研究背景

随着信息技术及其应用在全球的迅猛发展，面对新一轮科技革命、产业革命，世界对工程人才及人才培养提出了新的要求[1]。在教育部的推动下形成了新工科建设的“复旦共识”“天大行动”“北京指南”。“新工科”为我国工程教育人才培养指明了方向，是我国工程教育改革的指引，是高等教育为适应新的工业革命而必须进行的一次教育的改革。相对于传统的工科人才，“新工科”人才应具备活跃的思维、更强的实践能力、创新能力、学习能力，在精深本专业学业基础上学习大量的新知识具有学科交叉融合的特征，因此在未来的新兴产业和新技术中具备更强的国际竞争力[2-5]。当前形势下越来越多的高校围绕“新工科”建设的内涵、目标与途径进行不断探索，以形成适应本校的人才培养模式。新工科建设的提出和实施是现代工程教育发展的必然趋势。它加速了高等学校专业建设和课程改革的步伐，推动新的教学模式、教学手段、评价标准的形成。

“新工科”自2016年提出至今，不断提出人才培养的新方案，探索工程教育改革的新路径。基于新工科培养的理念，课堂教学面临巨大的挑战。《复变函数与积分变换》课程是数学、物理、机电、自动化、电信等理工专业的一门重要的工程基础课，其理论和方法在数学、物理学及工程技术等领域有着非常广泛的应用，在工程人才培养中具有重要的作用。正是这样一门实用性较强的学科，由于知识点众多且概念抽象，加之开课设置学时短任务重，学生真正的收获不尽人意，为了适应新工科发展道路及人才培养的要求，实践探索其教学改革势在必行，而其教学设计、教学内容、教学模式的改革成为重中之重。如何以提高学生学习效率、课堂教学效果出发整合、优化课程内容；如何有效培养学生的融合创新思维、提升工程素质为主体设计课堂教学；如何从学生主体认知特点出发充分发挥学生特长、挖掘学习能力、形成以学习者为中心，以专业需求为导向的工程教育模式，是教师的当务之急。

二、课程目前面临的问题

(一)教学内容与学时安排不合理

复变函数部分从教学内容上看，其主要结论是将实数域中的函数理论推广到复数域中，高等数学课程中的基本概念在复变函数理论中都有相应的延伸拓展，自变量范围以实数域到复数域的拓展使得其内容更加抽象，增加了学生学习的困难，同时从课程应用性来看，积分变换内容是工程数学的基础，其很多内容从理论研究拓展到了工程应用，使得学生应接不暇[6]。作为高等学校理工专业的基础课程，课程知识点多、计算灵活，但是同时面临学时少，难理解的部分没办法深入讲解练习的问题。此时按部就班采用传统教学方法效率必然低，必须优化教学内容，合理安排学时，才能使学生学有所得而不是只应付考试，将本门课程中的收获真正转化为综合能力提升。在学时紧任务重的前提下，针对不同专业需要的知识不尽相同，各专业如电气、电信、自动化、物理、材料等学科进一步细化教学大纲，适当增删内容，调整重难点教学，合理安排教学内容和学时，这需要以专业学科应用为背景做进一步的调查及在授课过程中慢慢摸索，使得各专业内容安排详略得当，进而提高教学质量、教学效率。

(二)学生畏难情绪高，学习兴趣及参与度低

《复变函数与积分变换》作为数学类基础课，具有完美的知识体系，同时它与电信、控制、电子、力学等学科有着知识点的交叉融合[7]。课程着重培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力及科学计算能力，但是其基本概念和计算公式较多，由于它与高等数学的密切联系，一些高等数学没学好的同学自然有畏难情绪，还没学就觉得不好学、学不好，提前放弃。如果采用传统的教学方法，以单纯的教学理论推导为主课堂必然枯燥乏味，学生兴趣不高，加之学生对课程重要性认识不足，课堂能积极跟着老师的同学并不多，课堂氛围死气沉沉，更别说课后的复习、预习自我学习了，而老师也由于每次较多的授课内容疲惫不堪。这样一门抽象难学应用广泛的课程，更要想办法提高学生学习兴趣，以学生为主体增加学生的参与互动，只有真正地参与才能真正提高兴趣，进而达到好的学习效果。

三、教学改革实施路径

依据新技术、新产业发展趋势，以培养大学生工程思维与综合能力为出发点。分析大学生思维方式、行为方式，学习目标、学习方法，针对存在问题，在较短的学时内，在新工科综合应用型人才的培养目标下做如下改革实践。

(一)分模块教学，整合、优化教学内容

为了更合理的安排学时，根据不同专业教学目标教学任务，在保证知识的完整性、合理性前提下，将教学内容进行模块分解，整合、优化，打破传统教学顺序，做到“去繁就简、化简为精”，让学生清晰地看到整个的知识脉络同时，使其以更简洁的方式接受。比如可以将复变函数部分第三章柯西积分公式、高阶导数公式两小节与第五章留数放在一起重组讲解，让学生从留数角度认识并应用这两个公式，进而提高学习效率，培养学生的逻辑思维能力。将周期信号与非周期信号的傅立叶展开、物理意义放在一起对比教学，使学生印象深刻思路清晰。重组教学内容让有限的课堂时间发挥最大的作用，可以提高学习效率。

(二)注重学科交叉，培养融合创新思维

科技日新月异，学科间联系越来越密，工程问题往往需要多学科知识协同灵活应用才能得以解决。学科间的渗透交叉也愈加凸显，而复变函数与积分变换是与通信、电子、力学及控制理论联系非常密切的交叉学科，因此以其为载体，在新工科的建设中，整理分析其与交叉学科的知识点，采用现代教学手段将交叉学科内容融入课程教学过程中，将理论与专业应用相结合，课堂上将授课内容与专业知识相结合，才能提升学生工程思维与综合能力。

从宏观角度，将复变函数与积分变换课程在工程应用中的框架展示给学生，使学生了解相关知识在后继课程中的作用，大幅度的提高学生工程素质。例如电信类专业的学生在其后继《信号与系统》课中，会用到大量积分变换知识，使学生提前了解对信号系统的处理就是对信号在时域、频域、变换域进行分析，实质是对信号进行傅立叶变换、拉普拉斯变换、z变换及其逆变换的过程；传递函数作为控制系统的复数域模型，它可以表征系统的动态特性，对于线性时不变系统在零初始条件下，系统的传递函数等于其响应的拉氏变换与其激励的拉氏变换之比，这是自动化等专业学生在其后继《自动控制原理》课中需要提前了解的内容。教学过程中的这些铺垫为后期专业课学习打下坚实的基础，从而也培养了学生的融合创新思维。

(三)以学生为中心，合理设计教学

学生是教学的中心，让学生参与到整个教学活动中，融入教和学。不但能提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛，更让学生成为课堂教学的主动者，提升教学效率。根据教学内容，选取一些章节开展翻转课堂，增加学生参与度。比如第一章复变函数的极限和连续性；第二章初等函数；第三章原函数与不定积分；第四章复数项级数等。这些内容是高等数学中实数的延伸和平行推导，比较容易理解，开展翻转课堂不会增加学生的压力，当学生真正地参与到教学中来，她的学习兴趣和热情就产生了。

结合工程实际问题和学生专业特点，选取一些章节采用案例式教学，提前布置与课程内容相适应的教学案例，让学生课前充分思考或者小组分析讨论，引导学生对新知识点和专业知识间的联系思考[8]。课上通过问题启发教学，或者学生自讲方式找到案例解决方法，进而掌握相关知识点及工程思维方法与技巧。例如在讲解泰勒级数和洛朗级数时，课前给出某单边信号的z变换，让同学们提前思考此信号的收敛域；在讲解拉氏变换的应用前，给出力学系统某物体运动方程或电路系统中某微分或微分积分方程，让学生思考如何求解。通过提前布置案例在增加了学生参与度的同时，加深了学生知识点的理解运用。

(四)增加实践教学，培养工程素质

新工科理念下，注重人才培养的应用性和综合性。教师需要利用数学软件进行教学展示加深学生理解，学生需要上机实际操作实现复变函数基础运算，进而解决与之相关的专业问题中的工程计算。实验教学设计要由简单到复杂，由基础到创新，循序渐进，才能符合学生认知的规律，更好的启发学生思维、培养创新意识[9]。邀请专业教师进课堂，结合各专业的专业特色，从理论到实践介绍复变和积分变换的理论在专业中的体现和应用，也是一种实践教学[10]。

实践可以使学生直观感受到学习内容，体会到学习获得感，锻炼解决问题的能力。如在讲解复变指数函数与复变对数函数时，利用matlab绘图功能，可以将函数的直观图像展示给学生，加深学生对函数的理解。复变函数的映射是比较难理解的部分，通过上机操作学生们将看到一些看似简单的复变函数，在不同原像下对应的像所发生的神奇变化，让学生们感受到复变函数的魅力，同时理解了像原函数从z平面如何通过复变函数关系映射成w平面上的像，加强了学生对知识的认知，提高了实践探索能力和工程素质。

四、结 语

在近几年的教学实践中，积累了一些经验，教学内容在不断优化，也在不断尝试新的教学设计和方法，取得了一定的成效，学生的作业、出勤、包括成绩有所提高。但是在新工科人才培养理念下，本课程改革还面临着很多的问题，也必然会受到一些条件的制约，从学校层面的硬件设施，从对教师的教学能力，从对学生的配合吸收能力，都是一个巨大的挑战。作为一门被广泛应用在工程领域的基础课，它的教学改革势在必行。改革需要循序渐进，未来还需在实践中不断摸索、思考、前行。