对“椭圆中由两垂直直线引出的‘包络’”再研究

江苏省南通市海门证大中学 (226100) 周雅俊

引理1 如图1，在平面直角坐标系中，两定点F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0,c为常数)，点P是以F2为圆心，2a(a>c，a为常数)为半径的圆上的一点，线段PF1的垂直平分线l与线段PF2的交点为点M，则点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为2a的椭圆，且直线l与椭圆相切于点M.

图1

证明：因为点M在线段PF1的垂直平分线l上，所以MP=MF1，那么MF1+MF2=MP+MF2=PF2=2a，又a>c，所以点M在以F1，F2为焦点，长轴长为2a的椭圆上.从运动的角度来看，当点P跑遍圆F2上的所有点时，点M的轨迹就是该椭圆.

下面证明直线l与椭圆相切于点M.设点N是直线l上异于点M的一点，由三角形两边之和大于第三边可以得到NF1+NF2=NP+NF2>PF2=2a，所以直线l上只有点M在椭圆上，其余的点都在椭圆外，所以直线l与椭圆相切于点M.

图2

所以当直线PQ的斜率存在时，点N在以A为圆心，r0为半径的圆上.从运动的角度来看，当点P跑遍椭圆上的所有点时，点N的轨迹就是以点A为圆心，r0为半径的圆.

在引理2的基础上可以得到引理3.

图3