浅析对“通法”与“巧解”的几点认识

［摘  要］ 在新课改的背景下，高中数学教学越来越关注学生基础知识和基本思想方法的理解与应用，这就要求在解题教学中应重视通法的强化训练，以此培养学生良好的解题习惯. 当然，巧解也有其无法替代的价值，在教学中应协调好兩者的关系，使其相互促进，助力解题能力全面提升.

［关键词］ 通法；巧解；解题能力

在高中数学教学中，部分学生片面地认为“巧解”是提高解题效率的唯一有效途径，为此在日常学习中常常沉迷于解题技巧，忽视了对通法的探究，最终影响了解题效果. 要知道，通法更具普适性，更能凸显问题的本质特征，因此在解题教学中应重视通法，淡化特殊技巧，从而达到“会一题、通一类”的效果. 不过，通法与巧解相比，其解题步骤和运算过程可能更为烦琐，操作也比较机械，因此教学时要处理好通法与巧解的关系，以便学生能找到最优解决方案，以此提高解题效率.

笔者结合具体案例谈几点对通法和巧解的认识，以期在日常教学中师生能够处理好两者的关系，相互促进，协同发展.

认识巧解与通法的差异

1. 巧解灵活但存在局限

巧解因其有助于简化解题过程，提高解题效率而受到了广大师生的爱戴，不过并不是所有的问题都能巧解，其具有一定的局限性，若在学习过程中过度地追求巧解，容易陷入误区，最终影响解题效果.

例1 设f（x）=x（ex+ae-x）（x∈R）是偶函数，则实数a的值为________.

对于例1，其大致有两种普遍的解题方法：解法1为定义法，即利用偶函数的定义f（-x）=f（x），通过等式变形求实数a的值；解法2为特值法，如利用f（-1）=f（1）直接通过解方程求实数a的值. 相信解题时大多数学生会选择解法2，教师也提倡学生应用解法2解题，甚至有的教师讲授例1时仅仅给出特值法，从而让学生认为特值法是解决此类问题唯一的有效途径. 对于本题利用特值法真的高效吗？要知道，f（-1）=f（1）并不能确保函数f（x）一定是偶函数，那么学生解得a值后需要代入验证，看看其是否满足f（-x）=f（x），这样加入验证的过程与解法1的运算过程几乎是相同的，可见，巧解并没有真正地简化解题过程. 另外，应用特值法时，部分学生常常忽视代入验证的过程，盲目地认为f（-1）=f（1）是判断函数f（x）为偶函数的充要条件，这样就增加了错解的风险. 可见，巧解并不一定是最优解题方案.

例2 已知等差数列｛a｝中，a+a=16，a=1，求a的值.

本题的解法比较灵活，但是大多数学生都由a+a=16先算出a=8，然后根据等差数列的性质，得到a，a，a为等差数列，这样直接求出a的值是15. 根据“a，a，a为等差数列”这一条件求解，属于巧解. 那么如果改变题目中的任意下标，此题是否还可以应用以上方法求解呢？答案是否定的. 巧解具有一定的局限性，在教学中仅强调巧解是不够的，应引导学生找到解决问题的一般方法，这样学生才能拥有以不变应万变的能力.

2. 通法机械但应用广泛

纵观历届高考题目，其所考查的都是通法，因此教学中应淡化解题技巧，强化通法. 通法是一种易学的，且具有普适性的方法，虽然解题步骤和运算过程会有一些烦琐，但是在通法的指导下学生可以快速地形成解法思路，以此提高解题效率.

对于例2，其实解决等差（或等比）数列问题时，已知两个条件，那么就可以设公差（或公比），根据已知中的两个条件列出方程组，求出首项、公差（或公比）. 如求解例2可以设等差数列｛a｝的首项为a，公差为d，所以a+a=a+6d+a+8d=2a+14d=16①，a=a+3d=1②，将①②联立成方程组即可求得首项a=-，公差d=. 这样无论下标如何变化，通法都适用，因为通法更具普适性，思维也更加严谨.

例3 如图1所示，△ABC是边长为1的正三角形卡纸，DE∥BC，现沿DE将卡纸剪成两块，记S=，则S的最小值是________.

解：设DE的长为x，则梯形的周长=x+1+2（1-x）=3-x，梯形的面积=（x+1）·

（1-x）=（1-x2），则S=·（0

0，

时，S′（x）<0，S（x）单调递减；当x∈

，1

时，S′（x）>0，S（x）单调递增. 故当x=时，S的最小值是.

从以上解题过程可以看出，本题求解的关键在于对·的处理，这个就可以用通法来解决，即利用求导的思路求函数的最值. 通法能为解题提供重要的思维导向，有助于提高解题效率.

例4 设各项均为正数的数列｛a｝的前n项和为S，已知2a=a+a，数列｛｝是公差为d的等差数列. 求数列｛a｝的通项公式（用n，d表示）.

解：由题设知=+（n-1）d=+（n-1）d，当n≥2时，a=S-S=（-）（+）=2d-3d2+2d2n. 由2a=a+a，得2（2d+d2）=a+2d+3d2，解得=d. 故当n≥2时，a=2nd2-d2. 又a=d2，所以数列｛a｝的通项公式为a=（2n-1）d2.

对于例4，解题的关键就是数列的和与项的转化，即a=S-S，这步转化即为通法，是解决所有S与a关系的通法. 利用通法解决问题可使思维更加有序，让学生快速找到解题的突破口，高效解决问题.

其实，无论是平时的练习题还是高考题，它们都有通法的影子，因此在日常教学中切勿盲目地追求解题技巧，应从这些通法上下功夫，以此提高学生的基本能力，提高学生的数学素养.

处理好巧解和通法

在日常教学中，部分教师为了提高教学效率，展示自己的才能，常常会刻意提出一些巧解，让学生感叹巧解之妙，羡慕教师之能. 这样久而久之学生会对通法的机械、烦琐产生厌烦情绪，这样容易出现“重巧解，轻通法”的现象. 但并不是所有的题目都是有巧解的，一旦学生想不到巧解，就会感觉无所适从，很难顺利解决问题，因此在日常教学中应重视通法的训练. 那么强调通法是不是就要完全摒弃巧解呢？答案自然是否定的. 巧解在提高解题技能、提升思维品质、优化解题思路、简化运算过程等方面有着突出的作用，在学生理解和掌握通法的前提下，也应渗透一些巧解.

其实巧解有时候本身就是一种通法，而通法中也会有巧解的过程，所以不能将两者完全割裂开来，应处理好兩者的关系. 在日常教学中，应先从基本思路出发，重视学生“四基”的培养，在学生已经熟练掌握基本思想方法的基础上适当地介绍一些巧妙的解题方法，以此拓宽学生的思维，开阔学生的视野，提高学生的数学学习兴趣. 在具体教学中应做到以下几点：

1. 对“教”而言，应加强通法的训练

通法是对数学知识的高层次抽象和概括，是对问题本质的理解和感悟，是高考所考查的核心. 对于教师而言，在日常教学中不仅要重视渗透这些思想方法，而且要有针对性地进行强化训练，切实地让学生掌握数学思想方法的本质，只有这样才能让学生拥有“以不变应万变”的能力，才能帮助学生跳出茫茫“题海”. 不过，在日常教学中，为了“赶进度，扩容量，提效率”，大多数教师更侧重巧解，常常会运用一些启发性的问题将学生引入自己提前预设的巧解上来，那么若没有教师的启发和引导，学生是否能够自己发现呢？要知道，教师与学生的认知水平、知识储备有着明显的差异，教师眼中的巧解不一定是学生能够理解和接受的. 因此，在日常教学中，教师要将重心放在通法的掌握和巩固上，巧妙地应用一些变式问题引导学生理解问题的本质，抽象出通法，切实提高解题能力. 值得注意的是，通法并不是简单地模仿和套用，其更能考查思维的灵活性和变通性，更能体现数学知识的推理性和严密性，因此教师应多带领学生体验通法的妙用，以此培养学生的数学学习兴趣，提高教学品质.

2. 对“学”而言，应先通法后巧解

对于学生而言，解题时不要盲目地追求巧解，应先尝试用通法求解，从而通过对通法的巩固和强化提高“用数学”的能力. 要知道，许多问题都能通过通法解决，但并不是所有题目都能找到巧解，因此在日常教学中应遵循“先通法后巧解”的原则，让学生先将基础知识和基本思想方法掌握扎实，这样才能不断优化解题方案，提升解题效率.

3. 对“练”而言，应让巧解与通法同行

在平时的选择题和填空题的练习上，教师应鼓励学生尝试应用通法去解题. 周知，填空题和选择题或多或少都带有一些技巧性，有些还带有一些运气，那么此类问题是否也可以用通法来解决呢？在日常教学中应鼓励学生多思考、多尝试、多探索，鼓励学生应用不同的方法去解决问题，以此拓宽学生的思维，提高学生的综合能力.

总之，在日常教学中，切勿贪多求快，应注重学生“四基”的培养，重视通法的理解与强化，以此让学生的学习品质和思维能力得到持续的优化和提升.

作者简介：詹前兵（1987—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获宜宾市普通高中数学教学质量“二等奖”.