高年级小学生数学建模的表现性评价

江欣怿

（上海市黄浦区教育学院，上海 200023）

在义务教育阶段，模型思想首次出现于2011年颁布的《义务教育数学课程标准》，成为与数学素养相关的十大核心词汇之一。大量研究与文献围绕数学建模的内涵、过程、环节及教学设计、实施策略展开，为数不多的数学建模评价研究聚焦在中学生数学建模能力与水平分类、大规模测评框架和工具的设计等，却鲜有相关研究从小学生的认知发展水平出发，以表现性评价的视角在日常建模教学活动中关注小学生的具体行为表现。

为此，本文通过剖析表现性评价方法适于数学建模的原因，基于表现性评价要素和数学建模评价重点，以高年级小学生为对象，还原建模任务设计、评价标准制定等过程，旨在为教师开展课堂建模评价提供范式；同时于任务实施中提取学生的典型行为和解答，以期为建模教学提供有价值的指导信息和实证案例。

一、表现性评价为何适用于数学建模

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学建模素养是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构造模型解决问题的素养。①中华人民共和国教育部：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，人民教育出版社2020年版，第5页。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解、检验结果、改进模型、最终解决实际问题。②中华人民共和国教育部：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，人民教育出版社2020年版，第5-6页。可见，数学建模是强调学生数学应用与问题解决的活动，学生需要用数学的观点来解释一个实际生活中发生的复杂情境，并用数学的描述、程序、方法和工具来解决现实问题。

已有研究表明：建模水平的评价既要兼顾过程性，即学生经历的建模步骤，还要具有结果性，即学生达到的建模能力水平。①鲁小莉，程靖，徐斌艳，王鸯雨：《学生数学建模素养的评价工具研究》，《课程·教材·教法》2019年第2期，第102-104页。我们固然可以通过纸笔测试来了解学生建模水平，但是学生经历了哪些建模过程、学生表现或者典型行为如何、教师基于教学现场怎样做出及时反馈等问题，难以通过纸笔测验或大规模测评来获得答案。

明确了数学建模的评价目标与重点，就要选择与之匹配的评价方法。表现性评价是基于新型学习理论如建构主义、多元智能等理论，其具体意涵是指：在尽量合乎真实的情境中，运用评分规则对学生完成复杂任务的过程表现或结果做出判断。②周文叶：《中小学表现性评价的理论与技术》，华东师范大学出版社2014年版，第53页。表现性评价具有三大特点：可评价学生综合运用知识进行实作与表现的能力；在真实情境中不仅能评价结果还能评价过程；需要适切的评分规则。

表现性评价特别注重创设真实情境下的开放性任务，强调与学习过程进行有机融合，并在学习者与任务互动的过程中收集证据或表现。通过实施嵌于课堂的表现性建模任务，不仅可以促进学生建模学习过程与效果的改善，还可以赋予学生更多反思和合作的机会，而这些均与数学建模教学与评价的要义高度匹配。

二、数学建模表现性评价任务的设计

1.评价对象的选择

高年级小学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡时期，也是学生数学思维发展的关键期。值此年龄段的学生，其知识储备和认知能力均有了较好的发展，且能比较清晰地表达自己的观点，为建模教学设计与实施铺垫了较好的基础。

2.任务设计的考量

高质量的表现性评价任务设计，因其用于评价高阶思维过程和学习目标，具有复杂性，需要反复思考与探索。一个高质量的表现性任务需要考虑多重因素，并历经任务分析、情境选择、指导语呈现、修改完善的循环过程。以下是笔者开发的高年级小学生建模任务：

为了尽早发现新冠病毒的潜在传染源，有效切断传播途径，上海市各小区最近都在进行网格化核酸检测。

居委会干部小李提前一天接到光明小区采样的任务通知，目前他手中掌握的情况是：光明小区共有10栋楼，全部为20层的高楼，每层楼都是两户人家。根据半年前的不完全统计，小区登记在册人数为1100—1300人。检疫部门一共安排4位检测人员进入小区，共分成两组，每组各有一位负责扫码和采样。按照防疫要求，以20人为一组混合采集成一个样本。根据经验，如果大家提前准备好检测二维码，那么这20人一组从扫码编号到完成采样所花时间约为10分钟。

问题1：上级部门请小李预估一下，光明小区的检测时间大约持续多久？

问题2：得知小李的预估后，上级部门告诉小李，检测小队明日清晨将会提前进入小区做好准备工作，并于7点正式开始采样。同时提出了三点要求：减少聚集，缩短居民排队时间，人人都要检测。上级建议小李按照楼栋号1—10的顺序依次进行，同时设计并制作一张各楼“集合与检测时间安排表”，分发给各楼组长以便通知各户居民。如果你是小李，你会怎么设计这张安排表？还需要哪些辅助工作？

问题3：如果上级部门又增加了“在11点前完成全部检测工作”的要求，你觉得小李能否完成任务？之前设计的时间表是否有优化的空间？除此以外，是否还有其他做法，能够又快又好地完成光明小区检测任务？

请结合文字、算式、符号、图形等多种方式，简要描述你思考问题的过程和设计的原因，并呈现完成整个任务需要的辅助工具，以及最终的计划、表格等学习结果。

在设计上述任务过程中，需要关照以下两点：

（1）情境真实是关键

无论从数学建模的角度，还是表现性评价特性出发，都需要将任务尽量设置在真实的情境中，且越接近真实情况越好。一般来说，情境分为个人生活、社会生活、职业生活和科学情境。考虑到小学生的年龄特点，更为适切的是个人生活情境。

2022年4—6月，恰逢上海新冠肺炎疫情发展最为严重的特殊时期，居家一边上网课一边做核酸检测，成为每位上海学生难以忘记的经历，而这无疑是极其优质的情境资源：与真实生活相连，所有学生都格外熟悉；该情境兼顾小学生个人生活与社会生活，每位学生都有参与的经验；情境真实但问题较复杂，任务形式新颖但结果可多样，这些都能自然而然地激发学生的兴趣和参与热情，进而调动积极性，促进学生更高水平的学习和表现。

（2）任务适切是核心

任务中出现了大量的数字和信息，需要学生识别有效信息，抽象简化后，建立以“乘除运算”为主的数学模型并求解，随后对结果进行简单的检验和分析。该任务形式能让学生感受挑战，但同时并不会特别费力而产生挫败感。

在任务的前期试测阶段，笔者尝试直接给出较为开放的任务，即7点开始11点结束，不提供任何工具和策略提示。从反馈结果来看，因为线上教学很难实施小组合作，加之任务开放度过高，超过了小学生的经验和实际认知水平，导致绝大多数学生不能独立完成任务，相应的建模过程和学生的建模行为便无从体现。鉴于此，笔者在后续试测过程中重新调整，对问题难度进行了梯度设计。在没有任何限制条件的基础上，请学生首先预估检测时间，随后再增设减少聚集、缩短等候时间等条件，并提供了“时间安排表”这一支架。问题3则提出大幅缩短整体时间的更高要求（远低于学生在问题1中的预估），进而暗示学生：需进一步捕捉隐藏信息，或者结合自己的真实体验，对原有模型进行优化和改进。

三、数学建模表现性任务：量表设计与规则制订

1.观察量表的设计

为了获取学生的建模步骤及主要表现，需要在明确建模的具体流程和对应观察的重点基础上，设计适用于该任务的观察量表。

从《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》给出的数学建模过程图可见，建模始于提出真实问题，然后经历建立模型、求解模型、检验结果的循环过程，循环次数取决于检验结果是否合乎实际，如合乎实际便是最终的实际结果。①中华人民共和国教育部：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，人民教育出版社2020年版，第35页。鲁小莉等认为，建模步骤的关键点在于：做出假设，识别变量，选取合适的数学公式，得到数学解答，解释并验证解答，汇报结果。②鲁小莉，程靖，徐斌艳，王鸯雨：《学生数学建模素养的评价工具研究》，《课程·教材·教法》2019年第2期，第102页。而百隆（Blum）和凯撒（Kaiser）提出的数学建模过程中，5个子能力及对应的行为指标描述能较好地关照建模环节和行为重点。故而，笔者以此为基础，形成了如表1前3列所示的观察量表。同时结合任务实施的现场观察，在第4列呈现了学生完成建模任务时的主要行为和解答。

表1 高年级小学生数学建模活动观察量表及学生行为①表1中“建模中的子能力”与“行为描述”两列内容引自鲁小莉，程靖，徐斌艳，王鸯雨：《学生数学建模素养的评价工具研究》，《课程·教材·教法》2019年第2期，第103-104页。

在上述观察表的使用过程中，我们发现：如果学生能建构出后面的模型，就可以判断为其已经理解了现实问题情境。数学化是建模过程中最为关键的步骤，部分学生通过假设每户人数来获取小区总人数，通过乘除运算建立简单的模型，并制订出时间安排表。

2.评分规则的制订

根据鲁小莉等人的研究结果，以其对于学生建模水平“以质性描述为主”的等级划分作为建模评分规则，同时将本任务中学生的典型解答与对应水平进行了呈现（见表2）。

表2 高年级小学生建模水平及本任务中的解答①表2中“水平”与“描述”两列内容引自鲁小莉，程靖，徐斌艳，王鸯雨：《学生数学建模素养的评价工具研究》，《课程·教材·教法》2019年第2期，第104页。

因为表现性评价作为质性评价的一种方式，其受到教师主观感受的影响较大，故而需要综合考量不同评价教师的认识，以保证评价的可信度。在运用评分规则实施评价时，需要由3名以上教师通过讨论、预设答案、基于试测的学生结果来完善评价结果。

四、数学建模表现性评价任务的实践结果

1.关于结果性评价：高年级小学生建模水平参差不齐

据部分学校实践反馈，40%左右的学生不能从大量的文字和数字中分辨有效信息，质疑问题缺乏条件或者不合理，不能予以适当的假设，进而无法建立数学模型或者模型错误，属于水平0到水平2的范畴。

50%左右的学生属于水平3，即能够通过合理假设获得小区大概人数，估算出检测的时间，并根据前期估算指导时间表的制订，但时间表在5小时的预设里，无法达成“提前至11点前结束”的要求。有部分学生表达了时间表需要根据现场情况做及时调整的想法，但是没有明确指出该如何调整，可以理解为：有优化模型的意识但缺乏优化的方法和行为，故仍属于水平3。

约10%的学生能够达到水平4，他们能识别重要的数量和信息，借助图表、公式清晰地表达自己的设想；能注意到要在后续楼栋衔接中预留提前集合的时间，并在时间表中予以具体的安排，但也仅限于“11点完成任务”；部分学生同时关照到特殊人群并落实了具体的时间；仅有极个别学生在问题3的提示下，能体会到后一组扫码和前一组检测存在时间重叠，合理利用便可大幅缩短时长，甚至提前至10点前完成，此类学生属于水平5。除任务中设置的“时间表”模型外，学生均表示再无其他解决办法，这也和小学生的年龄特点及知识结构相符合。

2.关于过程性评价：高年级小学生建模过程普遍存在难点

在评价学生建模结果的同时，教师也试图从每一位学生的回答中了解其思考方式和解决问题的过程。表现性任务里没有完全相同的答案，通过批阅每一位学生的解答，可以充分感受学生极具个性的学习表现，进而知晓他们在数学建模的哪个环节存在困难，具体在哪个步骤出现停滞而导致建模失败。

通过综合分析，发现学生普遍存在如下难点：一是处于低水平的学生不能理解情境，不能关联相应的数学知识，无法进行数学表征；有学生即便意识到要运用乘除法进行计算，也因缺乏合理假设或忽视隐藏信息而建模失败。可见，从实际情境到建立模型的环节，需要教师于课堂教学中引导和点拨。

二是在检验模型环节中，学生表现与许多研究结论一致，即几乎所有的学生都没有结合现实情境，审视自己的安排是否合乎实际。即使在教师的引导下，大多数学生也是进行数学内部的验证，比如关注算式列对与否，以及运算是否准确等，并没有回到现实情境中考虑其可行性和合理性。而是否涉及真实背景且能否在现实检验，是区分“数学建模”与“问题解决”的关键，需要教师在建模教学中不断引导，才能帮助学生真正形成运用数学知识解决现实问题的意识和能力，而这也是数学建模的核心要义。

3.关于评价任务本身：表现性任务受到学生欢迎

伴随着任务实施，笔者通过问卷星对参与的高年级小学生进行了一次微调查。当问及“解答这个问题时，你的感受如何”时：22%的学生感到“十分有趣，我能解决”；回答“有趣，但是有难度”的学生占到52%；而回答“没兴趣，不知道要干什么”的学生为16%；其他回答为10%。这一调查结果，与笔者的预期及任务实践结果的反馈较为一致。

五、表现性建模评价任务的研究反思

1.以逆向设计优化建模教学模式

传统的内容驱动教学模式，是从教材到教学再到评价。而表现性评价倡导将评价嵌入课堂教学设计与实施中，起点是学习目标而非教材或教学内容。①周文叶：《中小学表现性评价的理论与技术》，华东师范大学出版社2014年版，第146-147页。在本研究中，笔者遵循“逆向教学设计”的步骤，以学习目标为任务的起点，明确数学建模的培养重点，评价方案先于教学活动设计。研究发现：教师通过任务单，关注学生的行为表现，预判学生在建模过程中存在的难点和困惑，并在随后的授课环节予以适时的引导和启发，始终以学生的“学”为中心，从而实现教、学、评的一致性。

2.以评价提升建模教学敏感度

文中设计的建模任务，只是笔者引入表现性评价方法于数学建模这一点上的尝试，并不能覆盖小学阶段数学知识的四大板块，且关注点仅聚集在学生的认知层面，尚未涉及学生在建模时与元认知相关的情感、判断与信念等方面。鉴于此，希望一线教师能提高数学建模教学的敏感度，因为好的评价可以引导教师行动，帮助学生衡量自己的进步，从而加速习得这些能力。①琳达·达令-哈蒙德，弗兰克·亚当森：《超越标准化考试：表现性评价如何促进21世纪学习》，陈芳译，湖南教育出版社2020年版，第2页。如教师能善于捕捉身边真实情境并转化为适切的任务，通过评价获取学生建模学习的行为，关注学生是否得到预期的证据并借此予以回应，提前指导学生解读评分规则以激发更良好的表现等，能促进建模教学的实践。

3.评价任务可做横纵拓展延伸

“小区核酸检测安排”表现性任务不仅可以用于在数学学科中考察高年级学生数学建模的水平，还能做横向与纵向层面的拓展。从横向层面来说，该任务可关照到学生的组织规划、表达表现、合作、元认知等多个方面，并能唤醒学生的社会责任感和公民意识。从纵向层面来看，在考虑学生年龄特点和知识结构的基础上，通过提高任务开放程度与变化任务表现形式，能够向更高年段延伸，这不失为有益的尝试。