基于单元整体教学背景下初中数学复习课教学研究*——以沪科版八年级上册“角平分线复习课”为例

安徽省合肥市五十五中学 赵 瑞 吴玉情

1 引言

2021年12月，“基于‘seewo白板5’辅助初中数学几何教学实践研究”已进入中期评估阶段，课题组成员结合课题实施研究及当前单元整体教学的双重背景，设计了一节八年级“角平分线复习课”.本节课由笔者所在校区一位年轻老师执教，课程结束后，得到了听课教师的一致好评.现将本节课的教学过程予以呈现，以飨广大读者.

2 学情分析

沪科版八年级上册代数部分已经学习了平面直角坐标系、一次函数等相关内容，几何部分学习了认识三角形及全等三角形、轴对称图形、等腰三角形等内容.通过检测发现，所执教班级学生基础知识扎实、水平齐整，属于学校重点班优秀学生.

3 教学过程

师：请同学们回忆一下，什么叫做三角形的角平分线？

学生1：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

图1

问题1如图1，在△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，请探究∠BOC与∠A的数量关系.

学生2：如图2，设∠OBC=α,∠OCB=β.

∵∠A=180°-2(α+β)，α+β=180°-∠BOC，

∴∠A=180°-2(180°-∠BOC).

图2

图3

问题2在问题1的条件下，如图3，若连接AO，AO平分∠BAC吗？

图4

学生3：如图4，过点O分别作OE⊥BC,OF⊥AC,OG⊥AB，垂足分别为E，F，G.

∵OB平分∠ABC，

∴OG=OE.

同理，OE=OF.

∴OG=OE.

又∵OG⊥AB,OF⊥AC，

∴AO平分∠BAC.

师：由此可见，三角形内角平分线相交于一点(三角形的内心)，且这个点到三角形的三边距离相等.在图3中我们同样可以得到：

图5

问题3如图5，已知点O为三角形ABC的内心，且AB=7，AC=6，BC=8.若△AOB,△AOC,△BOC的面积分别与S1，S2,S3,则S1∶S2∶S3=.

学生4：如图4,过点O作OE⊥BC,OF⊥AC,OG⊥AB，垂足分别为E，F，G.

∵点O是△ABC的内心，

∴OE=OF=OG.

∵AB=7,AC=6,BC=8,

∴S1∶S2∶S3=7∶6∶8.

变式如图5，若O为△ABC的内心，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△AOB,△AOC，△BOC的面积分别为S1，S2,S3,则S1+S2S3(比较大小).

学生5:设点O到△ABC的边的距离为h.

又∵c+b>a，

∴S1+S2>S3.

图6

问题4如图6，设D，E分别为△ABC的边AB，AC延长线上的一点，BP平分∠CBD，CP平分∠BCE，试探究∠BPC与∠A的数量关系.

学生6:设∠PBC=α,∠PCB=β，

则∠BPC=180°-(α+β)，

2(α+β)=2∠A+(∠ACB+∠ABC)，

∠ACB+∠ABC=180°-∠A.

学生7：根据四边形的内角和等于360°，结合问题1的结果，可以直接得到

师：你怎么知道四边形的内角和等于360°呢？

学生7：四边形OBPC被BC分成了两个三角形，而三角形的内角和等于180°，所以它的内角和是360°.

(此时班级同学自发鼓掌.)

问题5在问题4条件下，求证：点P在∠BAC的平分线上.

图7

学生8：如图7，过点P分别作PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC，垂足分别为E，F，G.

∵点P分别在∠CBE和∠BCG的平分线上，

∴PE=PF,PG=PF，

即PE=PG.

又∵PE⊥AB,PG⊥AC，

∴点P在∠BAC的平分线上.

师：这样我们可以得到，三角形的两个外角平分线与另外一个角的内角平分线交于一点(三角形的旁心)，这个点到三角形三边所在直线的距离相等.

4 拓展应用

如图8，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF=50°，连接DE.

(1)求∠CAD的度数；

(2)求证：DE平分∠ADC；

(3)若AB=7,AD=4,CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积.

图8

5 亮点与特色

5.1 明暗交织，彰显思维

本节复习课遵照研究几何图形的一般套路展开，即“定义—性质—判定—应用”.这是本节课一直要追求的一条教学明线，而这条教学线同时也隐藏在拓展应用这道题中.本道题的设计也是遵照研究几何的一般套路设置3个小问，层层递进，步步为营，智攻难关[1]！这是本节课一条教学暗线，正可谓是明暗交织，相得益彰.

5.2 一图一课，体现本质

本节复习课选择了一个既具有生长能力，又能承载三角形内角平分线交点(内心)、外角平分线交点(旁心)等知识点的基本图形展开，特别是通过教师对基本图形不断深挖、变形，衍生出新问题，步步向上，为学生高阶思维的培养打下良好基础.

5.3 组织结构，注重连贯

在单元整体教学日趋凸显的今天，如何避免知识碎片化是每位教师每节课都应思考的问题[2].本节复习课正是在这种教学理念下展开实施，5个问题设计以学生数学认知基础为起点，以学生数学思维为衔接点，在教师的启发引导下，在现代信息技术的促进下，从而形成以学生认知逻辑链为路径的动态且高效的教学.