操作体验拟“投石” 学会思考定“生慧”*——以“探索凸四边形全等的条件”为主题的研究性学习

⦿江苏省南京市金陵中学溧水分校 陈 华⦿江苏省南京市高淳区第一中学 顾香才

1 引言

在一次以“践行‘做数学’理念”为主题的跨区名师工作室的活动中，基于开展对初中生进行逻辑推理素养培育的实践研究，笔者执教公开课“探索四边形全等的条件”，属于综合与实践的内容.课后，有教师觉得教学设计起点低，立意高，学生在活动中体验知识的发生、发展过程，既关注了学生的思维训练，也注重了学习经验的积累，有较好的参考作用.

2 主题内容解析

本节课的主要内容是：经历四边形全等条件的探索，积累问题解决的活动经验.

四边形全等的判定是指四边形中的边、角满足什么条件可以推断两个四边形全等.“探索四边形全等的条件”这一内容是三角形全等这一章拓展研究的经典素材，也是初中数学综合与实践的重要课题之一.

根据全等图形的定义，能够重合的图形是全等图形，即四条边分别相等，并且四个角也分别相等的两个四边形全等.本节课主要探索能否在上述条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等.为此构建了四边形全等条件的探索：尺规作图、大胆猜想、合情推理、给出证明，经历了完整的探究过程，也为其他类似问题的探索提供了思路和经验.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：四边形全等条件的探索过程，积累问题解决的活动经验.

3 目标与目标解析

本节课的教学目标：

(1)经历操作、猜想、验证、证明四边形全等条件的探索过程，积累发现问题、解决问题的经验；

(2)合理运用三角形全等的性质及判定证明四边形全等的条件.

达成上述目标的标志是：

(1)会从三角形全等的作图方法与判定方法，猜想四边形全等判定方法，并能进行理性思考，完善四边形全等的判定方法.能总结出四边形全等条件的探索思路，归纳出问题解决的活动经验.

(2)会用三角形全等的性质及判定证明四边形全等的判定方法.

4 教学问题诊断分析

学生具备了探索三角形全等判定的思路，当明确至少三组元素相等才能保证两三角形全等时，如何把三组元素相等的所有情况考虑完整.同时，经过近两年的初中数学学习，学生的推理意识与能力都有所加强，在知识储备上，学生已经学习了通过三角形全等证明边、角相关的知识.通过尺规作图，获得三角形全等的判定定理已经有了初步认识，所以四边形全等的判定方法的学习，如果仅仅仿照三角形全等判定的思路，从一组条件开始加，很难在一节课完成四边形全等判定方法的探索，而应当从三角形全等的作图方法与判定方法的关系出发，先操作体验，再大胆猜想，最后进行证明，这种思考方法具有一般性，对学生后续的数学学习有促进作用.但可能有些学生还不能有意识地从作图方法出发，提出判定方法.另外，利用直尺与圆规，用多种方法作已知四边形的全等四边形，学生可能也有困难.

基于以上分析，本节课的教学难点：能利用直尺与圆规，用多种方法作出已知四边形的全等四边形；通过全等四边形的作图方法提出四边形全等判定方法的猜想.

5 教学过程

5.1 课堂导入

同学们，老师把今天的学习标题隐去了，希望同学学完这节课后，能帮老师取一个合适课题.

设计意图：有意隐去学习标题，让学生在操作中充分自然地体验四边形全等条件的探索过程，感受“做数学”的价值.

5.2 探究过程

问题1如图1,已知△ABC.请利用直尺与圆规用两种不同的方法作△A′B′C′,使△A′B′C′≌△ABC.(不写作法，保留作图痕迹)

图1

师生互动：课前学生已完成两种方法的作图，教师搜集整理出常见的三种作图方法(图2～4)，同时做好PPT展示.请三位学生分别介绍各自作图方法，并说明其作图依据，三种作图方法分别应用了“边、夹角、边”“角、夹边、角”“边、边、边”等三角形全等的判定方法.同时，教师板书“三角形全等的判定方法→三角形全等的作图方法(证明)”.

图2

图3

图4

追问1：你认为还有其他作图方法吗？你是怎么想到的？

师生互动：学生独立思考，猜想还有第四种作图方法“角、角、对边”，在教师的追问下，提出是根据三角形全等的判定方法“AAS”想到的.教师适时说明利用直尺和圆规在初二阶段可以作一边的邻角等于已知角，但作一边的对角需要到用到初三的学习内容，同时指出同学的猜想的合理性.

设计意图：通过用多种方法作已知三角形的全等三角形，引导学生初步体验三角形全等的作图方法与三角形全等的判定方法之间的联系；适时追问，引导学生理性思考，为后续四边形全等的判定方法探索做好铺垫.

问题2已知四边形ABCD，如图5.请利用直尺与圆规用多种不同的方法作四边形A′B′C′D′,使四边形A′B′C′D′≌四边形ABCD.(不写作法，保留作图痕迹.)

图5

图6

图7

图8

师生互动：学生使用尺规作图.教师巡视指导学生作图，同时搜集学生不同的作图方法.投影展示学生的作图方法，请学生分别介绍各自的作图方法.有三种常见的作图方法(图6～8)“边、边、边、边、角”“边、夹角、边、夹角、边”“角、夹边、角、夹边、角”.

追问2：根据四边形全等的作图方法，你有什么猜想？

师生互动：学生回答问题，并相互补充.

教师板书：“四边形全等的作图方法→四角形全等的判定方法(猜想)”.

追问3：具体得到哪些判定方法？又分别根据哪个作图方法猜想的？

师生互动：学生回答问题，并相互补充.

教师板书：“边、边、边、边、角”→四边及一角分别对应相等的两个四边形全等；“边、夹角、边、夹角、边”→三边及它们的两个夹角分别对应相等的两个四边形全等；“角、夹边、角、夹边、角”→三角及它们的两条夹边分别对应相等的两个四边形全等.

设计意图：通过多种方法的作图、体验、比较，再次感受由全等四边形作图方法猜想四边形全等的判定方法的合理性，教师要适时追问，引导学生有条理地梳理自己的思路，锻炼学生用数学语言概括结论的能力.课堂中选择3种作图方法的展示，有利于学生归纳四边形全等的作图方法的一般规律，为后续的探究埋下伏笔.

问题3证明：三边及它们的两个夹角分别对应相等的两个四边形全等.

已知：如图9、图10，在四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，∠ABC=∠A′B′C′，∠A=∠A′.

图9

图10

求证：四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′.

分析思路:如图11所示.

图11

师生互动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问“你是怎样想到的？”并对学生思路中的合理成分进行总结.若学生没有思路，教师可引导学生分析：从条件出发，你能够联想到的结论有哪些？从要证明的结论出发，证明两个四边形全等的方法是什么？已经有什么条件？还需要证明什么结论？从而启发学生形成证明思路.

设计意图：通过前面的操作、猜想、验证等活动，学生已无限接近探究目标，再通过严谨的逻辑证明，感受数学的理性思维，不断积累探究问题的经验.由于课堂紧凑，如果学生独立完成上述三个问题的证明，后面探究思考的时间很难保证，学生可以尝试完成其中一个证明，然后教师合理总结，引导学生正确理解四边形全等证明的基本方法，达成共识.

问题4你认为还可能有哪些四边形全等的作图方法？

师生互动：学生先独立思考，然后再小组讨论，教师巡视参与部分小组讨论，听取学生的想法.小组1代表汇报的四边形全等的作图方法分四种情况，即“1角4边，2角3边，3角2边，4角1边”.教师列表格并板书“四边形全等的作图方法(略)”.

追问4：根据前面小组1的总结，你们还有什么补充的？

师生互动：学生积极思考，并相互补充.学生根据三角形全等条件探究经验，发现——(1)在“2角3边”中的“2角”需要再分三种情况进行说明，即两角都是三边的夹角、一角是夹角另一角是对角、两角都是对角；(2)在“3角2边”中的两边也需要再分三种情况进行说明，即两边都是三角的夹边、一边是夹边另一边是对边、两边都是对边.

追问5：以上我们归纳的四边形全等的作图方法都是正确的吗？

师生互动：学生独立思考，尝试作图后，有学生提出满足“角、角、角、角、边”的两个四边形不一定全等，并举出反例.教师总结——如果要说明一个命题是真命题需要进行证明，而要说明一个命题是假命题只需举出一个反例.

设计意图：通过前面学生自主作图、大胆猜想、动手验证、最后证明四边形全等的判定方法或者举出反例，继续引导学生对四边形全等条件的理性思考，帮助学生感受操作体验用于探索思路、发现结论，逻辑推理用于证明结论、完善问题解决的必要过程.

5.3 课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

你认为这节课课题应该是什么？我们是如何探索四边形全等的条件的？探索四边形全等条件的学习经验，你认为还可以适用于解决哪些问题？

设计意图：通过小结，学生梳理本节课所学内容，积累问题解决的活动经验，掌握本节课的核心——构建四边形全等条件的探索思路，提高解决问题的能力.同时，给出本节课的课题“探索凸四边形全等的条件”.

5.4 作业布置

归纳整理凸四边形全等的条件.

设计意图：通过凸四边形全等条件的归纳与整理，完善探索活动的全过程，引导学生经历解决问题的一般过程，积累问题解决的活动经验.

6 教学思考

6.1 操作体验是探索活动的前提

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学课堂教学应激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程.”

对于四边形全等的判定方法的探索，如果按照三角形全等的判定方法探索，从一个元素逐个添加，除了课堂时间很难保证以外，也很难激发学生的学习兴趣.本课从课前学生已完成三种作全等三角形的作图方法出发，引导学生体验全等三角形的作图方法与判定方法的联系，再用多种方法作全等四边形，学生在经历操作、体验、思考、再操作、再体验的过程中，自然由四边形全等的作图方法联想到四边形全等的判定方法.

前后一贯的操作活动，目的是帮助学生体验探索活动.多种作图方法的比较，学生不难发现，四边形全等的作图方法，都是画五组元素对应相等，为后续活动的深入思考埋下伏笔.在创新意识的培养中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，设置有效的操作体验，是学生进行深入探索的前提.

6.2 积累经验是反思意识的标志

反思性数学学习的基本特征是它的探究性，就是在考察自己活动的经历中探究其中的问题和答案，重构自己的理解，激活个人的智慧，并在活动所涉及的各方面的相互作用下，产生超越已有信息以外的信息.

例如，追问1“你认为还有其他作图方法吗？你是怎么想到的？”和追问2“根据四边形全等的作图方法，你有什么猜想？”，前者引导学生由三角形全等的判定方法猜想第四种作图方法，后者由四边形全等的作图方法猜想四边形全等的判定方法，两者一正一反，逐步帮助学生理解四边形全等的作图方法即四边形全等的判定方法，再通过课堂总结“我们是如何探索四边形全等的条件的？探索四边形全等条件的学习经验，你认为还可以适用于哪些问题的解决？”帮助他们学会学习，使学生的数学学习活动成为有目标、有策略的主动行为；增强了学生分析问题、解决问题的能力，提高个人的创造力；有利于学生在学习活动中积累数学活动经验，促进学生的全面和可持续发展.

6.3 学会思考是创新意识的核心

涂荣豹教授说：“数学教学的本质就是教学生学会思考.”数学课堂教学光有学生的积极参与是不够的，要把学生的操作体验提升到数学思考上来.课堂中教师需通过构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考.例如，本节课在探索三角形全等的作图方法与判定方法的关系时，在学生已完成三种作图方法的基础上，追问：你认为还有第四种作图方法吗？第四种作图方法是什么？你怎么想到的？在不断追问中，引导学生思考三角形全等的作图方法与判定方法的关系，从动手操作到理性思考.

再比如，在探索四边形全等的判定方法时，学生已完成三种判定方法的证明时，教师接着追问：你认为还有哪些四边形全等的作图方法？你们怎么想到的？你们还有什么补充？前后逻辑连贯的问题，既是引导学生认知活动的路标，又是促进探索深入的动力，这样才能带领学生进入真正的、深刻的、有效的思维活动中去.

学生的思维需要教师去点燃.这就需要教师能基于学情，设置恰当的数学活动，让学生充分、有效地操作与体验，在数学学习的过程中，学会思考，学会学习.