正、反比例教学的情境设置应向数学知识转移

江苏南通师范学校第一附属小学（226001） 蔡益磊

关于比和比例的论述，最早可以追溯到古希腊的科学著作《原本》的第五卷，这也是人类历史上有据可查的最早的关于比和比例的详细记载。《原本》中对比和比例的介绍，多数与代数和几何图形有关，这对整个数学发展史都起着推动作用，具有里程碑式的意义，甚至可以说加速了整个数学发展的进程。正是由于这样的特殊地位，比和比例在数学教育中风靡了两千年，代代相传，经久不衰。下面，笔者就正、反比例的教学，谈谈如何设置情境。

一、不能拘泥于生活情境

小学数学教材中有关正比例和反比例的课程，苏教版与人教版都编排在了第十二册。以苏教版教材为例，有关正比例的知识介绍，教材采用汽车在公路上行驶的情境作载体（如图1）。通过借助生活情境，让学生切实体验到当汽车行驶的速度一定时，汽车行驶的时间与行驶的路程是两个相关联的量：其中一个量变化，另一个量也随之变化，而且变化方向相同，即对应的两个量的商相同。于是可以说这两个量成正比例关系。

图1

教学反比例时，苏教版教材采用了购物的生活情境（如图2），让学生切实体验到在笔记本的总价不变的前提下，笔记本的单价和购买的本数是两个相关联的量：其中一个量变化，另一个量也随之变化，但是变化方向相反，即对应的两个量的积相同。于是可以说这两个量成反比例关系。

图2

这样的情境设计充分考虑了学生的生活经验，最大限度地在学生熟悉的事物和现象中找到契合比例规律的情境，有利于学生从感性上理解比例。两本教材在小学阶段的最后一个学期编排比例，具有承前启后的意义，一方面是对整个小学所学相关内容的梳理、融通与总结，另一方面可以有效地与初中知识衔接并做好铺垫。因此，教学时，教师如果将比和比例的知识拘泥于生活情境，那对学生后续学习比例知识的理论是极为不利的，会阻碍学生的学科发展和认知升华。情境设计应考虑数学知识本身，如圆的周长与直径（或半径），就是典型的正比例关系。另外，正比例和反比例不是彼此孤立的概念，而是一种数量的相对关系。在同一个代数式中，由于研究对象的不同和角色转换，正、反比例可以互换身份。比如，在行程问题中，如果将速度设为定值，那么路程和时间就构成正比例关系；如果将时间设为定值，那么路程和速度就构成正比例关系；如果将路程设为定值，那么速度和时间就构成反比例关系。事实上，所有的正比例和反比例关系的落脚点都可以抽象成一个简单的代数模型“a×b=c”，如果一个因数（a或b）为定值，那么另外两个数就是变量，且构成正比例关系；如果积c为定值，那么两个因数就是变量，且构成反比例关系。因此，凡是具有乘法或者除法算式形式特征的式子都可以视为正、反比例的混合体。

二、几何中的正、反比例

1.以长方形为例

所有长方形的面积都可以归纳为“长×宽=长方形的面积”这个公式。假设面积为常量，那么长和宽就是变量，因为乘积一定，所以可以判定长和宽构成反比例关系；假设长为定值，那么宽和面积就是变量，因为它们的商一定，所以可以判定宽和面积构成正比例关系。

在图3的长方形中，长为定值，用A1，A2分别指代两块区域的面积，宽a1，a2和对应面积的正比例关系可以这样表示：A1∶A2=a1∶a2。换成分数符号就是继续推进，在图4的长方形中，如果用A1，A2，B1，B2分别指代四块区域的面积，那么根据前述理由，就有进行等量代换后得出长方形的面积与长（或宽）的正比例关系还可以通过等量代换的转移和传递来推广，如图5，如果每个大写字母各自代表所在区域的面积，那么面积之间就有如下比例关系

图3

图4

图5

长方形中的这种面积比例关系有很大的应用价值，如在图4中，四块区域已知其中三块的面积，那么就可以利用快速求出未知区域的面积。

2.以三角形为例

任意三角形的面积与其底和高都存在这样的关系：底×高=三角形面积的2倍。如果将三角形面积设为定值，那么面积的2倍毫无疑问也是定值，此时三角形的底和高就可以判定为反比例关系。反之，如果高（或底）一定，那么三角形面积的2倍和底（或高）就可以判定为正比例关系。

在图6的三角形中，A1，A2指代所在区域的面积，a1，a2则分别指代所标记的底。由于两个三角形等高，所以可以将高视为定值，则面积（或面积的2倍）和底成正比例关系，于是可以列出基础的比例关系式：A1∶a1=A2∶a2（或）。这样的关系还可以无限推广（如图7），类似的正比例关系为A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an（或）。这样的正比例关系只要略微变形就可以体现出面积之比与底之比的对等关系，如

图6

图7

将面积之比转化成长度之比，这一点在今后的应用将非常广泛，如确定三角形的重心就可以运用这种比例关系。

在图8的△ABC中，D，E两点分别是所在边的中点，AD和BE都是△ABC的中线。△ABC的重心就在中线的交点O处。下面需要计算重心O的坐标。首先，因为△ADC和△BCE的面积都只有△ABC的一半，所以它们面积相等。然后，同时挖去重合区域（四边形OECD），就能推断△AOE和△OBD面积相等。同理还可以推知△ABO和四边形OECD面积相等。再来分析△OBD与其相邻的四边形OECD的面积关系，连接O，C两点作辅助线，把四边形一分为二，得到△ODC和△OEC（见图9）。由于D点是BC边的中点，因此△ODC与△OBD面积相等，△OEC与△AOE面积相等。联系前后逻辑可以推知，△ABO的面积等于2个△AOE的面积，也等于2个△OBD的面积。再运用前面所说的面积与底的正比例关系，就可以推知，线段BO之长等于线段OE之长的2倍，同理，线段AO之长等于线段OD之长的2倍。现在O点的坐标就可以确定，即位于任意一条中线靠近对应底边的三等分点处。

图8

图9

三、教学情境改进

综上所述，关于正比例和反比例的教学理应形成三大观点：第一，正比例和反比例其实就是对旧知的一种新提法，本质上具有“两个量之积等于第三个量”这种数量关系的式子（含变量），都可以称之为正（反）比例；第二，正比例和反比例可以兼容到一个表达式里，在教学时，教师可以一体呈现，便于对比辨析，让学生同时掌握；第三，正比例和反比例具有承前启后的功用。因此，选用的情境不应拘泥于生活情境，还应回归数学学科。

“变教为学”教学模式中，呈现知识应当“突出本质、渗透文化、实现关联”。我国的成语典故中也会涉及正、反比例的意识形态。如成语“半斤八两”，古代的1斤=16两，“斤”与“两”就是典型的正比例关系。事实上，所有度量单位的进率换算也都是在应用正比例知识。又如成语“事半功倍”，大意是付出少，收获大。若将“事”定义为工作时间，“功”定义为工作效率，那么整个成语就可以理解为工作总量恒定，工作时间与工作效率是反比例关系，换言之，就是用时越短效率越高。基于这些理论，学习目标就不言自明：先总结具有乘法或者除法算式形式的数量关系，再识别其中正、反比例的关系。按照这个目标，教师不妨设计如下任务。

【任务1】写出你学过或见过的形如“□×□=□”的公式，如“长×宽=长方形的面积”。然后组内交流，集体评议。

完成这样的任务，学生的原始经验就会被激活，他们需要不断搜罗、回忆自己学过的类似的公式，这样的回顾可以对相关知识进行梳理和提炼，以发现共性，为归纳正、反比例的概念做好知识储备。

【任务2】在形如“□×□=□”的三个量中，如果其中一个量为定值，那么另外两个量存在何种关系？试着举例说明。

这个任务主要是为了突出常量和变量的区别，让学生认识常量和变量的概念，同时明确二者的依存与制约关系。

【任务3】自己回想，何为“两个量成正比例关系”，何为“两个量成反比例关系”？组内交流评价。

通过完成这三个任务，学生就可以在比较中进行概括。在此基础上，教师要再次引导学生阅读教材，确认和揣摩正比例和反比例的概念。最后，运用成语典故中涉及正、反比例的知识设计问题，以渗透和巩固正、反比例的概念。

正、反比例看似为一个简单的数学概念，三言两语就可以阐述清楚。教材上也有详细而准确的文字描述，对正、反比例做出了确切精准的定义，还附录了表达式。但是，学生要想真正掌握并内化正、反比例的概念，且做到灵活运用，仅仅靠对这些文字的揣摩和理解还远远不够，还需要通过大量的实例和具象知识来堆积，建立稳固的表象，将抽象的比例概念分解，转化成一个个具体而细微的数学模型，最后共同组建完整的正、反比例知识框架。