将同主题内容置于主题式学习单元之中*——以“反比例函数”章节启示课教学为例

⦿江苏省南京市南站中学(雨花台中学南站校区) 杭秉全

1 引言

现行的数学课程设计与教材编排都体现了“螺旋式上升”的原则[1]．同一内容主题，初一学一点，初二学一些，初三继续学，逐渐加深．这比把一个内容主题，一步到位、体系叙述完善地放在一起，用学时连续的学段学习，更贴近循序渐进地认知发展规律．但遵循“螺旋式上升”原则编写的数学教材，因同主题学习内容分解到各学年段，导致教材中前后章节的学习往往缺乏知识内容的逻辑联系．本文中以“反比例函数”章节启示课教学为例，将反比例函数的学习，置于函数这一主题式学习单元之中，建立各类函数之间的联系，借鉴已学函数研究的基本思路与基本方法，丰富函数研究的经验，实现学生对函数学习认知的螺旋式上升．

2 回顾，为类比学习奠定基础

学习任何一个新知识，都要关注它的来龙去脉，要清楚与之在知识内容、研究方法以及所蕴含的思想等方面相近的前继学习和后续学习．同一主题下不同内容的学习，有很多学习经历趋同、学习经验相通．因此，在同主题学习经历与经验的回顾中，可以为新知识的类比学习奠定基础．

活动1观察与思考

观察表1，并思考以下几个问题：

表1 路程与时间的关系

(1)时间t与路程s之间有何关系？

追问：s是t的函数吗？为什么？

设计意图:让学生通过观察表格，发现两个量之间是正比例关系，两个变量之间是函数关系(s是t的正比例函数)，从而引发学生对前面正比例函数学习的回顾与再认．

(2)在前面的学习中，我们围绕“正比例函数”从哪些方面展开了研究？

(3)经过这些研究，大家对“正比例函数”有哪些认识？

(4)在 “正比例函数”的研究中，我们运用了哪些数学思想方法？

设计意图:让学生有顺序、有层次地全面回顾正比例函数的学习，初步梳理出函数主题式学习单元的研究思路、经验和方法．为后续类比正比例函数的学习奠定基础．

3 类比，探究同主题新内容

类比迁移是解决很多新问题的一个重要而有效的方法．类比迁移发生在具有相同结构特征的两种不同的概念领域，或发生在相同或非常接近的概念领域．同主题下不同内容的学习应充分运用类比迁移的学习策略，在与同主题学习经历与经验的类比中，进行同主题新内容的学习探究．

在“反比例函数”章节启示课的新知探究环节中设计如下2个教学活动，可以引导学生类比正比例函数，将研究基本思路、方法策略等迁移到反比例函数的研究中．

活动2类比与探究

观察表2，并探究以下几个问题：

表2 时间与速度的关系

(1)时间t与速度v之间有何关系？

追问：v是t的函数吗？为什么？

设计意图:让学生通过观察表格，发现两个量之间是反比例关系，两个变量之间是函数关系．

(2)实际生活中，哪些情境下的两个变量也具有类似的关系？

设计意图:让学生举例，其一，体会数学源于生活，其二，为通过归纳下定义提供丰富而具体的例子．

(3)请给这类函数命名，并尝试下定义．

设计意图:让学生在正比例函数学习的回顾，以及多个具体例子的基础上，自主归纳出反比例函数的一般表达式，类比正比例函数定义的表述形式，给出反比例函数的定义．进一步感悟归纳的数学思想方法，和类比的研究策略．

(4)围绕“反比例函数”，在有了定义之后，还可以研究哪些内容？

设计意图：再一次引发学生类比正比例函数的研究经验，梳理出反比例函数的研究主线，架构出本章节的学习内容框架．进一步感悟类比的研究策略，明晰函数主题式学习单元的基本研究思路(如图1)．

图1

活动3猜想与推理

(1)请你猜想反比例函数的图象大致是什么样子？并说说你的依据．

设计意图：在画反比例函数图象之前，引导学生关注反比例函数关系式的特点，由“数”想“形”．初步分析两变量的取值范围以及正负性特征，猜想反比例函数的图象大致分布在哪些象限；根据一个变量随另一个变量增大或减小的变化特点，猜想反比例函数图象的增减性．用猜想、说理的活动，引导学生运用数形结合思想，开启反比例函数图象及性质的研究．

(2)选择一个反比例函数，并画出它的图象，检验之前对反比例函数图象大致样子的猜想是否正确．

追问1：利用描点法画函数图象，有哪些步骤？

追问2：选择怎样的反比例函数，方便描点？

追问3：列表时，自变量取值有限制吗？如何取值能更具代表性，且便于描点？

设计意图：用特例验证之前对反比例函数图象特征的猜想，并为后续归纳反比例函数图象的一般性质提供基础．设计追问1，引导学生回顾用描点法画函数图象的操作经验；设计追问2，进一步引导学生由“数”想“形”，选择适合的反比例函数特例，方便画其图象，即被选择的反比例函数关系式能保证其图象上有多个横、纵坐标都为整数，且数值均不大的点，方便在坐标系中描出它们的位置；追问3，再一次引导学生关注函数关系式，实现从没有思考的“随意”列表，向考量代表性的“有意”列表的转变，让“分析思考”走在“动手操作”之前，进一步让学生体会到对函数关系式特征的分析是画好其图象的前提，感悟数形结合思想．

(3) 观察所画的反比例函数图象，结合反比例函数关系式，归纳反比例函数的性质．

设计意图：由特例归纳一般性结论．在归纳活动中，既有结合特例图象的“几何直观”，又有结合反比例函数关系式的“代数推理”，还有从特殊到一般的归纳思想，以及与同主题“一次函数图象性质”学习经验的类比．促进学生在观察、分析以及类比中，感悟数学思想方法，提升数学核心素养．

追问：结合上面问题的研究结论，你对反比例函数图象的性质有新发现吗？观察前面所画的函数图象，有这样的直观感受吗？

设计意图:因一次函数图象的性质研究中不讨论对称性，所以对于反比例函数图象的对称性的研究没有同主题研究经验指引．因此，设计问题驱动学生用代数推理的方式认识反比例函数图象的对称性，并用特例的几何直观验证．同时，再一次让学生从数(代数推理)与形(几何直观)两个角度认识函数图象的性质，进一步感悟数形结合的思想方法．

4 梳理，丰富学习经验

在个人知识管理流程中，知识结构化是知识提炼环节的一个要点．因此，数学教学不能只有零散的知识点，而应做好相关知识的梳理与提炼．在梳理中，将各知识节点串为知识链，将多条知识链纵横联系，编织成知识网；在提炼中，对新知识的再认，形成这类主题式学习单元的整体性、结构化认识．相同类型的主题应采用相同的诠释框架，尽量使用一致的顺序、一致的用语、一致的图表，在对同主题不同内容的学习梳理中，可以丰富主题式学习单元的学习经验，形成结构稳定的认知．

在“反比例函数”章节启示课的课堂小结环节中，设计如下教学活动，引导学生对函数的学习进行再认，明确函数研究的基本思路与方法，丰富函数主题学习的研究经验．

活动4梳理与再认

(1)填表3：

表3 函数主题单元小结

(2)总结：通过正比例函数、一次函数以及本节课对反比例函数的学习，你对研究某一类函数，有何经验与认识？

设计意图:在梳理中，明晰之前以及本节课所学的各类函数的知识内容，认清所学各类函数之间的区别与联系，形成函数这一主题的知识结构；在总结中，再认函数这一主题的研究基本思路，丰富函数这一主题的研究经验，认识同主题内容的学习应置于主题式学习单元之中的学习策略．

5 结束语

“螺旋式上升”的原则不只是体现在教材编排上，同时也体现在学生对重要概念的获得、思想方法的感悟与数学核心素的提升养．教材把同一内容主题的学习分解到各学年段中，教学时，应联“分”为 “合”，这种“合”不是简单地把教学内容合在一起，而是在各学年段遵循从简单到复杂，将同主题内容的学习置于主题式学习单元之中，加强同主题不同学习内容之间的联系，运用类比的研究策略，实现学生认知与经验、能力与素养的螺旋式上升．