解题素养在高三数学复习课中的体现——以“含根式的函数值域求法”为例

刘伊宸洁

(上海市徐汇中学，上海，200030)

求含有根式的函数式值域的方法比较多，部分学生因数学基础知识薄弱、概念混乱、套用错误的解题模板而不得其解.首先要先确定函数的定义域，观察函数式具有的性质，再合理变形，将其平方或者换元，数形结合，最终使问题被顺利解决.接下来本文将结合具体实例，分析求含有根式的函数值域的不同方法.

1 低起点

高三复习课必须做到低起点.先解决简单问题，再解决复杂问题.基于人才培养教育新的理念要求，有关于高中数学的教学应该更加侧重于数学能力的启蒙与培养，例题的设计需要让学生弄清楚各知识点之间的联系，使知识前后融合，纵横贯通，学生自然就能做到举一反三、触类旁通.

分析1：碰到根式类的函数，第一步应当考虑其定义域，其次观察函数的一般性质，例如奇偶性、单调性等.

分析2：若含根式的函数式没有单调性，也可以尝试两边平方，去掉部分根号，将问题转化.

分析3：对于数学表达式的综合运算，若能整体换元，便能使陌生的数学式变得熟悉，抽象的数学式变得具体,从而使复杂的运算简单化.本题含有两个根式，这里我们可以尝试双换元，观察根式背后的几何意义，数形结合，从而求得函数的值域.

评析：例1较为简单，大部分学生都能解出来.由浅入深，揭开解法背后的数学内涵，能帮助学生理解解法的数学本质，发挥简单问题在解题教学中的示范性和启发性.相较来说，单调性法最为简单.所以做题时，要最先考虑含根式函数式的定义域、函数性质，若无单调性，则可以选择平方，当然也可以考虑运用三角代换法、双换元法、数形结合等方法.

2 渐推进

解题技能的形成是一个阶梯式发展的过程，需要经历模仿和实践两个阶段.前面通过例1的学习，学生对含根式函数式的值域问题的求解有了一个基本的认知，模仿的解题意识已经初步形成，此时教学中教师可以通过变式训练的方式，强化和巩固解题技能.在解题技能形成的初级阶段，“形变而神不变”的变式题是最适合的，使学生能够“跳一跳够得着”.

评析：变式1和变式2的安排完全符合学生的认知规律，如果学生能够通过观察发现变式与例1之间的共性特征，得到和例1相对应的解法也就十分自然了.知识点的复习蕴含在例题之中，教师应注重学生思维的启发、方法的归纳与小结，注重学生能力的提升.内容的逐步加深以及综合性的加强体现了渐推进.

3 找联系

数学解题素养集理解力、逻辑能力、洞察力于一体，通过观察可知，并不是所有的根式类的函数都会具有单调性，平方的做法也略显复杂，下面具体讨论一下双换元的妙处.

或者，也可以利用三角换元去做：

4 重迁移

迁移能力，其实质就是将所学到的知识和方法应用到新情境中所表现出来的一种素养和能力.大多数学生在面对新情境问题时，通常无法将所学的知识与方法建立联系，这就是典型的迁移能力薄弱的表现.提升学生的迁移能力，是课堂教学的重要环节和核心任务.

关于含有根式的函数式求值域的问题，值得研究的地方还有很多.量变才能引发质变.“教是为了不教”，加强对数学解题的示范教学，清晰展示解题要领，教师要让学生在观察模仿的基础上，经历充分的体验，切实帮助学生提升解题素养，让学生不要害怕数学，从而喜欢上数学.