一道福建省质检圆锥曲线试题引发的思考

福建省厦门双十中学漳州校区(363107) 魏东升

(1)建立适当的坐标系,求C的方程;

(2)A、B是C上不同的两点,且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上,求证: 以AB为直径的圆过定点.

此题是圆锥曲线中典型的圆过定点问题,但其中涉及的圆颇多,使得不少考生在对问题进行转化中出现了思维障碍,是一道很有区分度的好题,非常符合新高考“以能力立意,强化对数学学科核心素养的考查”的考查要求.

解析对于第(1)问,以O为坐标原点,椭圆C的长轴短轴所在直线分别为x轴、y轴,建立如图1 的平面直角坐标系,则可设其标准方程为=1(a >b >0),根据题意可得其标准方程为=1,具体过程略.

图1

第(2)问是一个圆过定点的问题,如知道定点,则可转化为向量垂直计算;如不知定点,则利用对称性,可以猜想出定点并证明,或通过推导求出定点.本题初看并不知道定点,所以我们可以利用以下两种推导的思路:

解法1 直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上,所以AB与圆O相切.当直线AB斜率不存在时,可得A(),此时=0,即以AB为直径的圆过原点.

上述解法实际上是在不知道圆所过定点的一种常规解法,计算量颇大.实际上,该题的出题背景是椭圆的直角弦问题.

结论若从椭圆=1(a >b >0)的中心O引两条射线交椭圆于不同两点A,B,则射线OA,OB相互垂直的充要条件是O到直线AB的距离为定值d2=该弦亦谓之椭圆的直角弦.

该命题有多种推广形式,此处不祥述.以下给出结论的两种证明方法:

除了利用向量的数量积为零来体现OA和OB的垂直关系,我们还可以借助直角三角形中存在的射影定理,即证明|MA|·|MB|=|MO|2来得到OA和OB的垂直关系.而这个时候,直线的参数方程便可以闪亮登场了:

较之前几种解法,利用直线的参数方程可以给解题带来极大的便利.而这种思路在高考问题当中并不鲜见,如2021年新高考I 卷,2021 年全国乙卷理科卷和2020 年新高考I 卷等.以下以2021 年全国乙卷理科卷为例,以让大家感受其在高考真题中的应用:

真题(2021 年全国乙卷理科卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求∆PAB面积的最大值.

解析对于第(1)问,经计算可得p=2,详细解略.以下对第(2)问进行探究:

以上例举仅是抛砖引玉,实际上其在历年的高考真题中的应用非常广泛.灵活掌握圆锥曲线的参数方程,不仅能够给学生的学习带来新的视野,其往往还能够在相关问题的解决中大显身手,大放异彩!