糖水不等式及其应用

广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东

设n个小杯中依次盛有b1,b2,···,bn克糖水,并且分别含糖a1,a2,···,an克.

其中(2)(3)称为糖水不等式(我们分别称为糖水不等式1 和2,下文不再说明),恰当运用这些不等式,能给解题带来很大的方便,下面举例说明.

一.利用糖水不等式比较大小

点评原题给出条件55<84,134<85,在我们用了糖水不等式后,该条件就可以去掉,当然如果要比较b,c的大小,仅用糖水不等式是不够的:

点评将对数用换底公式改写成真分数的形式,然后利用糖水不等式和对数的运算法则将需要比较的两个对数的分母或分子化为相同来比较大小.

二.利用糖水不等式解决函数单调性问题

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=lnan,是否存在k(k≥2,k ∈N∗),使得bk、bk+1、bk+2成等比数列.若存在,求出所有符合条件的k值;若不存在,请说明理由.

三.利用糖水不等式处理数列不等式问题

例4(2014 高考全国II 卷第17 题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

这类乘积型的不等式在高考题中经常出现,比如2009广东理科高考题:

已知曲线Cn:x2−2nx+y2=0(n=1,2,···).从点P(−1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn >0)的切线ln,切点为Pn(xn,yn).

(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式;

波利亚曾指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能附近就有好几个.”利用这种手法,还可以得到一连串的不等式群,读者不妨一试!

例6求证: 当n≥2,n ∈N∗时

从上述问题看到,对于涉及到分式的大小或不等式问题,可以观察所给分式的特征,考虑利用糖水不等式进行适当放缩来处理,这往往能够达到意想不到的效果!