概念教学中的数学语言转换

■ 郎宏坤

数学语言是一种科学语言，用数学语言对各种数学概念、公式、规律、性质、公理等进行表述会非常精确和简洁。究其本质，数学教学其实就是数学语言的教学。学生学习数学的过程就是不断阅读、理解、掌握和运用数学语言的过程。如果数学语言水平不高，学生就难以进行数学阅读和交流，就很难准确表达自己的想法，很难理解别人用数学语言表达的观点。反过来说，如果能准确、迅速地用数学语言表达观点，就能有效提高学习效率。可以说，数学语言水平的高低是影响学生数学学习效率高低的重要因素。概念教学是小学数学教学的一个重要内容。如果学生借助已有的生活经验或相关知识对概念的内涵和外延有了比较全面的认识，教师就要及时引导学生用数学语言对概念进行多元表征和准确表述。如果学生能把数学语言与它所代表的数学内容联系起来，就能比较容易地理解数学概念。

一、概念形成阶段，引导学生把自然语言转换为数学语言

概念形成是概念教学的重要阶段。所谓概念形成，就是学生在分析和对比一类事物中发现了这类事物中相同的关键特征，从而把这种关键特征概括为数学概念。概念形成一般包括提供例证并仔细观察、分析例证并提出假设、验证假设并获得概念、修正假设并揭示概念四个阶段。在概念形成过程中，学生是数学概念的主动发现者和建构者，也是把自然语言变成数学语言的主动转换者。在这个过程中，教师要鼓励学生对自然语言进行加工和提炼，引导学生将自然语言“数学化”为数学语言，从而培养学生把自然语言转换为数学语言的能力。

教学“奇妙的图形密铺”时，教师先引导学生观察一些密铺的图形，让学生说说“密铺”的概念。有的学生说：“看到‘密铺’一词，我就想到密密麻麻地铺在一起的图形。”有的学生说：“既然是‘密’，那就应该有很多。无论什么形状的图形，如果能既无空隙又不重叠地铺在平面上，这种铺法应该就是密铺。”有的学生说：“我用很多相同的平行四边形纸片尝试，发现平行四边形可以密铺后，就猜想梯形和三角形也可以密铺。因为两个完全一样的梯形或三角形都能拼成一个平行四边形，平行四边形可以密铺，梯形和三角形应该也可以密铺。”根据学生的发言，教师引导学生围绕“正五边形能否密铺”进行讨论，有的学生认为可以，并拿出自己完成的作业——将正五边形铺成一排。有的学生提出反对意见，认为把图形铺成一排还算不上密铺，只有把这些正五边形不留空隙、不重叠地铺成一片才行。在此基础上，教师适时引导学生进行总结，水到渠成地用数学语言表述“密铺”的概念：“用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，也叫做平面图形的镶嵌。”

教师提供一些有关“密铺”的例子让学生观察和讨论，尝试概括这些例子蕴含的本质属性。学生在概括的过程中谈的都是自己的认识，用的都是自己的语言（自然语言），其中梯形和三角形能够密铺就是学生提出的假设或猜想，教师再引导学生观察并讨论正五边形是否能够密铺，学生在验证假设中习得数学概念，教师最后引导学生总结的“密铺”概念所用语言比较精练，是学生对自然语言表述的提炼和加工，是“数学化”了的自然语言（文字语言），变得比较严谨和科学。学生在提出假设和验证假设的过程中使用的还是自然语言，最终概括的“密铺”概念是数学语言中的文字语言。如果教师在概念教学中经常这样有意识地引导学生把自然语言转换为文字语言或其他数学语言，就能慢慢培养学生相应的语言转换能力。

二、概念理解阶段，引导学生把数学语言转换为自然语言

概念形成后，教师要引导学生及时回归现实，寻找生活原型，帮助学生进一步深化对概念的认识，实现概念的真正理解。所谓概念理解，就是对数学概念的内涵和外延的把握能力。学生在辨认和识别概念的基础上，了解概念的本质与内在联系，对概念实现系统化和具体化的认识，甚至融会贯通。数学概念的每个符号所表示的意义与学生已经知道的日常观念未必一致，这是因为数学概念虽然来源于现实世界，但却是多次抽象的结果。为了帮助学生真正理解数学概念，教师要引导学生用自己熟悉的语言（自然语言）解释概念。学生对自然语言比较亲近，也容易在理解中内化数学概念。这个把数学语言转换为自然语言的过程，就是我们常说的数学概念“通俗化”过程。

例如，“平行线”概念形成后，由于概念比较抽象，学生不能深刻理解“互相平行”是两条直线相互依存的位置关系，总习惯地说成“直线a是平行线”，这种说法无疑是错误的。教师可以借助日常生活中的“朋友关系”和“同学关系”等语言帮助学生理解平行线间的相互依存关系。如小华和小刚两人是同桌的位置关系可以这样描述：小华和小刚互为同桌，小华是小刚的同桌，小刚是小华的同桌。仔细观察图中的两条直线，你们会描述直线a与直线b的位置关系吗？学生很快就准确、完整地用数学语言表述出来：直线a与直线b互相平行，直线a是直线b的平行线，直线b是直线a的平行线。

数学概念往往是用比较精练的数学语言进行表述的，因而具有一定的概括性和抽象性，但小学生受思维发展和语言发展水平的影响，真正理解和掌握较为复杂的数学概念常常有一定的困难，需要教师引导学生运用自然语言来类比、描述和阐释。学生比较容易理解生活中的“同桌关系”，用通俗易懂的自然语言进行解释，有助于学生正确理解平面上两条直线的“平行关系”，学生对两者之间相互依存关系的理解就变得非常容易。把用数学语言表述的抽象复杂、难以理解的数学概念，让学生“用自己的语言说一说”，就是把数学语言转换为自然语言，这样转换有利于学生在类比中深刻理解数学概念的本质。因此，把抽象的数学语言借助恰当的自然语言进行“通俗化”有助于培养学生的数学语言转换能力。

三、概念应用阶段，引导学生实现数学语言之间相互转换

概念学习的目的在于应用。概念应用包括基本应用、变式应用和拓展应用，无论在哪种应用中，学生即使能用数学语言表述概念，也不意味着就能真正理解和掌握数学概念。因此，教师要有的放矢地引导学生在概念应用中进行概念具体化，以便在促进学生巩固概念的同时，培养和发展学生的数学语言转换能力。数学语言中的文字语言、符号语言和图表语言各有优势与不足。如果把数学语言表述的概念进行适当转换，实现文字语言、图表语言和符号语言的优势互补和有机融合，就能帮助学生进一步掌握数学概念。在概念教学中，利用数学对象表征形式的多样性，对同一个数学概念逐步或同时运用不同的数学语言进行表述，引导学生从不同角度加以理解，沟通其联系，以此促进学生数学语言的发展。

例如，“成正比例的量”概念对小学生而言是比较复杂的数学概念。尤其是用符号语言——字母表达式y∶x=k（一定）表示成正比例的量，学生更难理解。因为这个字母表达式虽然比较简洁，但对学生而言未免太抽象了。教师可以分几个层次帮助学生巩固这个概念。

基本应用就是把用数学语言表述的概念直接进行解释。教师可以直接提问学生这个表达式所表示的含义。学生可以根据自己的认识，直接回答为“两种相关联的量，一种量y变化，另一种量x也随之变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值k一定，那么y和x这两种量就是成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。”学生这样直接把符号语言转换为文字语言，成正比例的量和正比例关系的概念虽然还很抽象，但已经比直接用符号表述的概念要容易理解了。

变式应用就是结合具体实例进行解释，培养学生在迁移应用中的数学语言转换能力。教师可以结合“练一练”的教学把这个符号语言表达的概念转换成其他数学语言：先引导学生写出几组相对应的生产零件数量和时间的比，并比较比值的大小，再判断张师傅生产零件的数量和时间是否成正比例，最后说明理由。学生说明理由的过程其实就是把符号语言表达的概念表达式转换为文字语言的过程——生产零件数量∶时间=每小时生产的零件数量（一定）。因此，生产零件的数量和生产零件的时间成正比例。在此基础上，教师最后用图表语言——正比例图像呈现成正比例的量，帮助学生深化对概念的理解。

拓展应用就是教师针对学生在概念学习过程中可能存在的认识误区设计练习，引导学生在拓展中对概念形成正确的认识。学生对“成正比例的量”有了较多的认识后，教师可以直接出示这样的习题让学生判断：正方体的体积和它的底面积是否成正比例？为什么？学生判断并说明理由的过程就是学生符号语言转换的过程：正方体的体积÷它的底面积=正方体的高。如果正方体的棱长（高）是一定的，那么，它的体积和底面积都是一定的，就不是变化的量。因此，正方体的体积和它的底面积不成正比例；如果正方体的体积和底面积都是变化的量，那么，正方体的高（棱长）也是变化的量，比值就不一定，正方体的体积和它的底面积仍然不成正比例。在此基础上，教师引导学生思考有没有类似的例子。学生经过讨论和交流，发现了类似的例子——正方形的面积和它的边长，圆的面积和它的半径……

三种数学语言表述数学概念各有优缺点：用文字语言表述概念可能精练但比较抽象，用图表语言表述概念可能直观但比较繁杂，用符号语言表述可能比较简洁但难以理解。在“成正比例的量”概念教学中，教师巧妙地抓住三种数学语言的特点，引导学生在概念应用中进行灵活转换：符号语言准确简洁地表示概念的本质内涵；图表语言直观易懂地呈现了两种量以及两种量的变化，降低学生理解表达的难度，有利于学生在理解的基础上用文字语言表达数学概念。三种数学语言恰当呈现并适切转换，多元表征的运用，不仅有助于学生深刻理解概念，而且能有效提升学生的数学语言转换能力。三种数学语言形式既各自独立又相互转化。教师引导学生经历多次数学语言转换，学生才能真正理解概念的本质内涵。

总之，数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且由反映概念本质特征的数学语言表示，从而使数学有比其他学科更加简明、准确的表述形式。教师不仅要引导学生从实例中发现共性并形成概念，而且要正确把握概念的内涵与外延，为此可以提供一些相关正例，让学生进一步观察与分析，更要呈现一些与正例明显不同的反例，帮助学生强化对概念的理解。掌握数学概念与转换数学语言是一个相辅相成、内在统一的过程。