通过“做数学”进行单元教学的尝试——以沪教版“圆和扇形”教学为例

王宗信

“做数学”是一种动手动脑相结合的数学活动，是教师根据学生的最近发展区，引导学生在给定的问题情境中，借助一定工具，以“做”为支架，经历操作、观察、实验、归纳、类比、交流，调动多种感官参与学习过程，学思结合，手脑并用，获得数学概念，发现数学规律和应用数学知识的一种学习方式。通过“做数学”进行单元教学，既可以培养学生的关键能力，又可以让学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界，发展其数学学科核心素养，达到学科育人的目的。

笔者于2021 年9 月从江苏调到上海从事初中数学教学与研究工作。经过一段时间的工作，笔者发现上海初中预备年级上册（六年级上册，上海为五四学制）由4 章组成：第一章“数的整除”、第二章“分数”、第三章“比和比例”、第四章“圆和扇形”。这四章密切关联，可以进行结构化教学。其中，“圆和扇形”探究圆的周长和弧长、圆的面积和扇形的面积，这些概念都是整体和部分的关系，整个教材的几何部分也与苏科版教材有相似之处，都注重“做中学”。

一、单元教学目标及课时安排

在领悟了教材的编写意图后，笔者确定了以下单元教学目标：（1）通过点的运动认识圆的特征，理解圆、圆弧、扇形等概念；（2）通过操作实验，对圆的周长和面积、弧长与扇形等面积公式进行验证；（3）通过实验掌握圆的周长和面积、弧长与扇形的面积等公式，并进行简单度量问题的计算；（4）通过近似与精确的数学思想，经历数学实验的研究方法；（5）通过操作实验，感悟教材知识渗透的“化曲为直”和“无限逼近”的数学思想。

基于对目标和教学内容的理解和认识，笔者对本章单元课时进行统筹考虑，课时安排为圆的周长1 课时、弧长1 课时、圆的面积2 课时、扇形的面积2 课时、思维导图1 课时、自习1 课时。同时，笔者设计了4 次数学实验，帮助学生将核心知识结构化。下面是本次单元教学实施的尝试与思考。

二、单元教学流程

第1 课时，学生和教师一起用圆规画圆，得出圆的定义和弧、圆心角、扇形等基本概念。接着，笔者安排了第一个“做数学”的学习内容。

1.圆的周长实验

（1）“化曲为直”实物测量实验——测量圆的周长

实验过程：准备5角硬币、1元硬币、瓶盖或其他圆形物体、细绳、直尺或卷尺，安排学生分组报出测量结果并填表计算。测量5角、1元和圆形瓶盖的周长C和直径d，并求出C与d的比值（得数保留两位小数），把测得的数据填在表中。

物品5角硬币1圆硬币瓶盖（或其他圆形物体）直径d 周长C C与d的比值

圆的周长是曲线，学生没学过测量曲线的长度的方法。由于学生在科学课上做过测量硬币周长的实验，笔者便借助此方法，引导学生用细线缠在硬币的圆周，做好标记，然后展平为直线（线段），测量这条线段的长度，化曲为直测量出圆的周长，并计算圆的周长与直径的比值。由此把比式写成等式，得到圆的周长公式。

（2）利用计算机软件推导圆的周长公式实验

由于实物测量有误差，为了更好地检验结论的正确性，可以用几何画板软件进行绘制、测量、计算。

实验过程：请同学们用几何画板软件画一条线段，以该条线段为直径画圆，利用几何画板软件的度量功能度量圆的直径和周长，计算出圆的周长C和直径d的比值。改变直径的长度，观察圆的周长与直径的比值，把比式写成等式。（见图1）

（图1）

这两个实验从真实情境引出测量和计算圆的周长的方法，引导学生探索科学实验探究的方法，培养其科学精神，体会近似与精确的数学思想；将实物测量与计算机软件运用相结合，培养学生的求真意识；测量硬币等圆形物体的周长，让学生感受“化曲为直”的思想方法。尝试用不同的方法解决问题，既提高了学生解决问题的能力，也可以让学生感受到学科之间是相通的，在潜移默化中实现学科融合。这样的教学使学生经历知识的生成过程，也为后续弧长公式的推出做了很好的铺垫。

2.圆的面积实验

考虑单元教学的需要，笔者将圆的面积前置至第2 课时。这样安排教学课时是因为弧和圆心角可以组成扇形，由周长和圆的面积分别推出弧长公式和扇形面积是从整体到部分的运用，可以更好地将本章知识系统化、结构化。

（1）等分圆实验

实验地点：计算机教室

实验准备：在教学的前一天布置家庭作业，安排学生自行在纸上画一个半径为3 厘米的圆形，第一组学生将其4 等分并裁下，标上相应的圆心角度数；第二组学生将其8 等分并裁下，标上相应的圆心角度数；第三组学生将其12 等分并裁下，标上相应的圆心角度数；第4 组学生将其16 等分并裁下，标上相应的圆心角度数。第二天课上，各组将裁下的扇形带到数学课堂进行拼图实验。

拼图实验：各组按照图2 所示剪图、拼图，观察所拼成图形的整体形状。

（图2）

想象：如果把一个圆形纸片60 等分然后按照上面的拼图方式拼出来的图形整体形状会是怎么样的？180等分、360等分、3600等分、无限等分呢？

思考：把圆等分的份数越多，拼成的图形是不是就越接近于一个长方形？这个长方形的长和宽分别是什么？能否由此推出圆的面积公式？

实验结论：半径为r、面积为S的圆可以拼成一个长为半个圆的周长、宽为半径的长方形。（见图3）

（图3）

（2）圆的面积验证实验

实验过程：打开几何画板软件，画一条线段，以这条线段为半径画圆，利用几何画板软件的度量功能度量半径的长度和圆的面积，计算圆的面积S和半径的平方r2的比值。改变半径的长度，观察圆的面积S和半径的平方r2比值的变化。类比圆的周长公式的推导过程，写出圆的面积S和半径的平方r2的关系式。（见图4）

（图4）

等分圆实验再次巩固了化曲为直的思想方法，也使学生体验了无限逼近以及把未知问题转化为已知问题的思想方法。再次使用几何画板软件进行画图、度量和计算，定量地验证圆的面积公式的正确性，也让学生学会用计算机软件进行模拟实验，有利于学生发展数学学科核心素养、培养关键能力。

3.弧长、扇形面积实验

基于扇形与圆、弧长与圆的周长都是部分与整体的关系，笔者设计了以下教学实验。

弧长公式实验：打开几何画板软件，画一个圆O，设弧AB，计算弧AB的长度与圆的周长的比值、圆心角∠AOB与圆周角的比值。改变圆心角的度数，观察比值，求得弧长公式。（见图5）

（图5）

扇形面积实验：打开几何画板软件，画一个圆O，设扇形AOB，计算扇形AOB的面积与圆的面积的比值、圆心角∠AOB与圆周角的比值。改变圆心角的度数，观察比值，得出扇形面积公式。（见图6）

（图6）

总结推导：推导扇形面积与弧长公式之间的关系，思考问题“把一个圆尽可能多等分，所得的每一个扇形是否为腰为半径的等腰三角形”。再次用化曲为直的思想，得到S扇形＝lr；进而把圆看作扇形，推导出S圆形＝×2πr×r＝πr2。

本教学环节中，笔者设计了探究弧长随着圆心角度数的变化而变化的实验，以动态几何的观点，由特殊到一般，引导学生根据部分与整体的关系归纳得出圆心角为n°的弧长公式和扇形面积公式，形成知识团。

4.单元思维导图实验

实验过程：安排学生分组讨论半径、圆心角、周长、弧长、圆的面积、扇形的面积之间的关系，将本单元知识系统化、结构化。（见图7）

（图7）

三、教学思考

首先，单元向上承接课程目标，向下统领单元内课时目标、内容、活动、作业、评价、资源等。教师在教学时，要注意传递性、结构性的问题，要对教材进行二次开发与重组。所以，单元教学要站在教材的高度去思考和设计，注重知识的结构化。教师、备课组要做好对教材的二次开发，调整教学内容，把碎片化的知识点结构化、体系化、系统化，形成知识团，使教学内容符合学生的最近发展区、符合学生的认知特点与能力。

其次，当知识与经验、实践、应用相结合的时候才会被激活。数学实验通过动手动脑“做数学”，变“听数学”为“做数学”，变“看演示”为“动手操作”，变“机械接受”为“主动探究”，学生在数学实验中作为参与者建构知识，有利于培养其创新精神和创新能力。例如，笔者在教授本单元时，把未知问题圆的面积转化成矩形的面积，把圆的周长转化为线段长，实验中的无限逼近、操作过程中的力求精确有助于学生形成求真的价值观。

“做中学”通过创设恰当的数学实验情境，激发学生参与实验的兴趣，增强学生的动手能力，帮助学生积累基本的数学活动经验。这样的教学可以扩展学生获取知识的空间，改变学生数学学习的方式，促进学生数学思维的发展，提高学生的数学素养，加强学生的主体参与意识，提高学生的创新意识，从而实现初中数学教与学方式的变革，促进数学教学模式的创新。