解析几何中一个结论的探究——两直线的斜率和为零

张卫华

(山东省枣庄市第十六中学)

数学问题的探究对学生各方面能力的培养都有着非常重要的影响,教师应注重将问题探究的意识渗透到数学课堂教学与学习中.在圆锥曲线中,有关直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考的重点内容之一.其中涉及多条直线的斜率关系问题,具有较深刻的几何背景,值得我们好好探究.2022年高考数学新高考Ⅰ卷第21题,发现其蕴含着一个非常优美的类比型结论,现将探究历程整理成文,供感兴趣的读者参考、研讨.

1 探究源起

本题考查双曲线的性质,属于直线与双曲线的相交问题,随着双曲线上的定点A与动点P,Q之间的相应运动与变化规律,有“静”有“动”,有“变量”有“定值”,有“变化”又有“约束”,具有和谐统一的辩证关系.只是在此圆锥曲线动静结合的情境中,到底具有什么几何背景呢? 以此疑问逐步深入,进行多视角的问题探究历程.

2 探究历程

2.1 真题拓展

首先,我们可以将高考真题加以合理抽象化,进而拓展成下列更具一般性的问题,通过对其进行分析与解决,并在此基础上进一步分析与研究,进而总结并归纳相应的一般性结论.

通过该一般性问题的分析、理解与解决,为问题的归纳与总结提供一般性的思路,也为问题的类比与拓展提供依据.由例2及其对应的解析过程,可得相应的结论.

2.2 问题联想

根据以上问题的拓展与结论1的总结,挖掘问题的背景与实质内涵,可知过双曲线上一点A(x0,y0)(y0≠0)作两条斜率之和为0的直线,与双曲线的另外两个交点分别为点P,Q,则直线PQ的斜率为定值.进一步加以探索,这里所叙述的“两条直线斜率之和为0”也可以表述为“两条直线斜率互为相反数”,或借助平面几何中相关角相等或互补其他等价方式表述或叙述,都可以为问题的精彩创设提供丰富的背景.

2.3 问题引申

其实,除了在双曲线问题中有此类一般性的结论外,在抛物线、椭圆中也有此类似的结论,下面对此进行合理拓展,巧妙引申.

感兴趣的读者可以自行参考以上结论1或结论2中的证明过程加以推理论证,这里不多加以叙述.

3 探究感悟

3.1 深入探究,问题为先

数学教育界有一个基本共识,要引导学生在数学学习上养成善于思考、善于提问的好习惯.单墫教授说过,不断地、持续地“思之、思之、思之、思之”,定有意想不到的收获.当我们面对一个陌生的数学问题时,要敢于思考、勇于探索、积极探究,只有如此,我们才能有所发现,有所收获,跳出“题海”,融入能力与素养.

数学家哈尔莫斯说过“问题是数学的心脏”,数学学习完全离不开问题.在具体解题过程中,要积极主动地发现问题、提出问题、解决问题,不能被问题牵着鼻子走,要站在问题所在场面的更高层次,合理挖掘,创新拓展,深入探究.

离开问题的数学教学与数学学习犹如一潭死水,波澜不惊,毫无乐趣,只能被动地解题,持续低效且高强度地重复.只有灵敏地发现问题、善于提出问题、勤于解决问题,才能使数学学习丰富多彩.

3.2 素养导向,核心功能

任子朝先生在«从能力立意到素养导向»一文中提到:“高考评价体系确立了高考中学科素养的考查目标,标志着中国的高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变.”这也是高考数学命题的一个合理的完善与优化.

其实,新高考数学命题理念已经逐渐从原来的“知识立意、能力立意”慢慢向更加全面的“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”等更深层面合理转变与迈进,充分发挥了数学作为一门基础学科的重要作用,同时也充分发挥了高考的选拔与引导作用,为考生进入高校继续学习的潜能开发与引领指明方向,切实体现了高考的育人功能,体现了高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能.