从2021年全国新高考Ⅰ卷第21题说起

王 菊 张 琥特级教师

(1.苏州市苏州高新区第一中学 2.北京外国语大学附属苏州湾外国语学校)

1 解法探究

思路2 设出直线AB的方程,将其与CD的方程联立,求出两根之和及两根之积,再表示出|AT|及|BT|,同理设出直线PQ的方程,表示出|PT|及|QT|,根据|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|,代入化简后可得出结论.

2 问题探源

2.1 源于课本题

2021年新高考Ⅰ卷第21题实际上是源于人教A版高中数学«选修4－4»第38页例4.

例2 如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P,两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1＝∠2.求证:

图1

图2

2.2 源于高考题

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,在涉及直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题中,一般用“设而不求”法可减少计算量,优化解题过程.

3 问题推广

推广2 已知抛物线y2＝2px(p＞0),点P不在抛物线上,过点P的两条直线分别和抛物线交于A,B,C,D四个点,当kAB＋kCD＝0时,则

4 同源问题

在解决问题的过程中,若能对所研究的问题有整体性、通透性、本源性的认识,通过对教材例题、习题的探究、拓展、举一反三,让学生在经历数学思维发展的过程中提升学科核心素养.这就像是在大海中航行的船拥有了指南针,让教师的教、学生的学变得简单清晰起来.