新课标引领下“指数函数与对数函数”单元教学剖析——以人教A版教材为例

哈尔滨师范大学教师教育学院 刘金焕

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)颁布后，各版本新教材纷纷亮相.《标准》中的课程理念和课程目标为中学数学教学指明了新的方向，同时也要求广大数学教育工作者在新课标视角下解读新教材，挖掘其育人价值.

高中数学课程分为四条主线：函数，几何与代数，概率与统计，数学建模活动与数学探究活动[1].函数作为描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具，是高中数学课程的重要内容.而“指数函数与对数函数”单元又是函数主线的重要组成部分，有着广泛的应用，所以在新课标引领下，以人教A版《普通高中教科书· 数学》必修第一册(以下简称“教材”)为研究对象，对此单元进行分析，并分享一些教学启示.

1 章节编排与知识框图

1.1 章节编排

“指数函数与对数函数”章节编排见表1.由表可看出，章节分布非常明晰，先进行基础知识的学习，而后是综合应用.

表1 指数函数与对数函数章节编排

知识分为两块：指数函数与对数函数.每一类函数前都编排了相应的支架知识：指数，对数.而学生之前已经接触过指数，对数是一种新的代数对象，它与指数可以互化，所以将指数与指数函数安排在对数与对数函数之前.

教材很重视应用，不仅本单元末尾设置了“函数的应用”，在每一节的每一知识块后都配备了练习，突出即学即用的特点.此外，函数的应用既包括数学内部的应用，又包括现实生活中的应用，多角度诠释数学的价值.

1.2 知识框图

“指数函数与对数函数”单元中数学知识互相关联，知识框图如图1.

图1

2 主要内容剖析

2.1 指数

(1)主要内容

初中已学过整数指数幂，教材以此为生长点引入n次方根并推出其基本性质，进而定义分数指数幂，给出有理数指数幂的运算性质；而指数由有理数拓展到实数运用了逼近思想.指数的拓展为指数函数(尤指定义域)做铺垫，且指数幂的运算性质对指数函数也适用.

经历指数拓展的过程，体会变化中的不变性，并通过指数幂运算性质的运用进一步熟悉分数指数幂、无理数指数幂，熟练掌握指数幂的运算性质，为指数函数和对数的学习打基础，提升逻辑推理、数学运算素养.

(2)内容剖析

指数拓展过程中既有变化，又有不变性，变的是指数的范围，不变的是运算性质.其实，指数范围拓展的过程与数系扩充的过程类似.不禁联想：指数能否为虚数？可以，且eiθ=cosθ+isinθ，这是著名的欧拉公式.

2.2 指数函数

(1)主要内容

概念一节中，从景区游客人次变化(以下称“情境一”)、生物体内碳14含量变化(以下称“情境二”)两个问题情境出发，将其中的变化规律用数学语言表示出来，归纳其共同特征，从而抽象出指数函数的概念，并给出其定义域R，呼应上节课指数的拓展.

(2)内容剖析

指数范围拓展到了实数，也研究了幂函数，本章用研究幂函数的过程与方法来研究另一基本初等函数：指数函数.它们都遵循着“背景-概念-图象与性质-应用”的研究路径，且都是根据图象来归纳性质[2].后面学习对数函数、三角函数时也是如此，但三角函数具有周期性，所以还有特殊的方法.

对于情境一，从数据和散点图两方面分析游客人次变化趋势，并结合运算得到B地具体的变化情况，建立合适的模型来描述这种规律.该情境贴近学生生活，易于理解，能激发学生学习热情，且整个过程相当于一个小型建模活动，能积累数学活动经验，有效提升数据分析、数学建模、直观想象、逻辑推理、数学运算素养.情境二与情境一总体上大同小异，但不多余，要抽象出指数函数的概念，并归纳函数的共同特征，至少需两个函数，所以情境二是必要的，同时还扩充了学生的知识面.

得出函数关系后，归纳其共同特征，进而给出指数函数的概念.此处抽象归纳的过程类比了抽象幂函数概念的过程，能提升学生数学抽象素养和思维的严谨性.另外，引入指数函数概念后要引导学生区分指数函数与幂函数.

第一课时难点：情境一如何想到做除法找规律？为什么指数函数中a>0,且a≠1？教学过程中教师要适当引导，激活学生的思维，不可直接告知.

2.3 对数

(1)主要内容

在情境一中抛出问题“经过多少年游客人次是2001年的2倍、3倍？”，从而引入对数的概念，并介绍常用对数和自然对数.根据指数与对数的关系得出对数的基本性质，借助指数幂的运算性质来研究对数的运算性质.换底公式则是为了解决底数不同的对数的运算问题.

学生需明晰对数概念，能进行指数与对数的互化，体会对数简化运算的作用，能用对数运算性质解决简单的数学问题和实际问题，为对数函数的学习打基础.

(2)内容剖析

由指数运算性质推出对数运算性质，教材中有详细步骤.性质一由小组合作探究完成，性质二、三可由学生尝试独立完成.这是训炼学生数学思维的好机会，设置合适的问题链进行引导，让学生通过自己的努力获得新知，提升逻辑推理素养，增强学习数学的信心，养成自主思考、合作探究的习惯.

对数是一个新的代数对象，与指数有着类似的研究路径“背景-概念-性质-运算性质-应用”.教师和学生都应该明确这样的研究路径，让学生不仅学会，还能会学.

重视乘方运算、对数运算、开方运算的关系.如果ab=N，那么a，b，N三者知二可求一[3].若已知a与b，求N，是乘方运算(即求指数幂)；若已知b与N求a，是开方运算；若已知a与N，求b，是对数运算.所以，严格来讲，乘方运算的逆运算有两种：一种是开方运算，一种是对数运算[2].另外a，b，N三者确定其一之后，另两个在满足一定条件下可构成函数关系.若a确定，则N是b的指数函数(这里a>0,a≠1)；若b确定，则N是a的幂函数.

对数的发展是个漫长的过程，适当渗透相关数学史，可拓宽学生的视野，学生也能感悟到对数的广泛用途以及数学家们严谨求实的科学精神.

2.4 对数函数

(1)主要内容

在情境二中提出问题：死亡时间x是碳14含量的函数吗？根据指数与对数的关系对函数解析式进行变形，分析图象抽象出对数函数的概念，明确其定义域.

对数函数的图象与性质，整体沿用研究指数函数图象与性质的方法，学生较容易概括出对数函数的性质.此外，需知道反函数的概念，明确底数相同的指数函数和对数函数互为反函数.

学习了幂函数、指数函数与对数函数三种基本初等函数，遇到具体问题该用哪种函数来刻画呢？所以要研究不同函数增长的差异，充分借助信息技术，让学生体会“对数增长，直线上升，指数爆炸”的变化特点.

(2)内容剖析

互为反函数的两个函数，一个函数的定义域是另一函数的值域，而它的值域是另一函数的定义域.学生在大学会更加深入地学习反函数，高中阶段，可借助指数函数与对数函数来简单认识.它们定义域与值域的关系，是从数的角度来看指数函数与对数函数，那么从形的角度来看它们又有什么联系？可引领学生利用信息技术开展探究活动，使学生体会数形结合思想，积累数学活动经验.

2.5 函数的应用(二)

(1)主要内容

将预备知识中二次函数与一元二次方程的关系进行推广：函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解.这其实是将问题进行转换，渗透了转化思想、函数思想、方程思想.那函数何时有零点呢？通过探究得到零点存在定理.

零点存在定理只能判断函数在某区间是否存在零点，如果有零点，具体是几个则不能确定.介绍求方程近似解的方法——二分法，需引导学生探索二分法求方程近似解的思路并画出程序框图，渗透算法化思想，训练学生的数学思维，提升逻辑推理、数学运算素养.二分法的步骤非常明确，且都是重复的，有时运算量比较大，可设计计算程序借助信息技术来完成.这不仅能让学生增长见识，体会到信息技术的强大，也为对这方面感兴趣的学生提供另一解决问题的途径.

以上是函数在数学内部的应用，函数在实际生活中也有着广泛的应用.建立函数模型解决实际问题的内容不容小觑，数学建模已是数学六大核心素养之一，可见它的重要性.这一小节，要让学生学会如何选择合适的函数模型刻画现实问题中的变化规律.

(2)内容剖析

函数零点存在定理看似简单，实则内涵丰富.“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”.需要明确：①两个条件“连续不断”“f(a)f(b)<0”都要满足，结论才是至少有一个零点；②“至少一个零点”，即可能有多个零点，但无法确定个数；③条件是闭区间，结论是开区间，表述很严谨，条件暗中表明函数在[a,b]上是有定义的，而f(a)f(b)<0说明f(a)，f(b)不为0，即a，b都不是零点，结论中用开区间很合理，那如果条件中是开区间呢，须保证a，b处有定义才能写f(a)f(b)，且函数要满足在a处右连续，b处左连续，此时结论也成立，但这种描述与定理是等价的，且定理更加简洁；④若条件是f(a)f(b)≤0，能得到什么结论？这时结论需要改成“若f(a)f(b)<0，(a,b)内存在零点，若f(a)f(b)=0，则a或b是零点”；⑤定理的逆命题为假命题.以上均可借助图形辅助解释.对零点存在定理要细致解读，体会数学语言的严谨性、简洁性.

二分法只是求方程近似解的一种方法， 中外还有很多种求解方法，尤其是比较知名的牛顿逼近法，可作为拓展，让学生自行搜集资料了解相关内容.

建立数学模型解决实际问题是本章的重点内容.教材给出了40多个实际问题，在导入的问题、例题、练习、习题中均有涉及.它们体现了数学与实际生活以及与其他学科的联系，能提高学生运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

3 教学启示

3.1 明确研究路径

新一轮课程改革以“数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性”为追求，强调突出数学本质，不仅要引导学生学会知识，还要引导学生学会学习，为其终身学习提供保障.本单元的学习，要让学生明确研究一类函数的过程与方法，以及研究代数对象的套路.

3.2 重视数学建模

指数函数和对数函数能刻画很多实际问题，且与其他学科密切联系，所以要重视引导学生运用所学知识建立模型解决现实生活中的问题，并与其他学科达到有机地融合.注意把控难度，循序渐进，初始阶段解答并适当引申，后期可开展数学建模活动.

3.3 善用信息技术

《标准》指出：要注重信息技术的运用，实现信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性.善用信息技术，能使抽象的问题形象化，还能提升课堂效率，提升学生直观想象素养，培养学生运用其他工具来研究数学问题的意识.比如：研究情境一，可借助信息技术绘制散点图；研究指数函数与对数函数的图象性质时借用信息技术画图，可以减少工作量，节省时间.

3.4 把握情境“复用”

情境“复用”，是指同样的问题情境多次出现.但“复用”不是简单的重复，而是在原有基础上有所深化，或从另一角度来看待问题，总体而言是螺旋上升的过程.情境“复用”在一定程度上有利于学生融入情境，且从不同角度看待这个情境，学生会有温故而知新的成就感，还有助于培养多角度看问题的能力.比如本单元中情境一出现在指数函数的概念生成与此节例题中，又用来引出对数的概念，得到换底公式之后又用换底公式解决引入对数时该情境中的问题.

3.5 挖掘教材例、习题的育人价值

教材例习题蕴涵丰富的育人价值，解这些题不仅能巩固相关的数学知识，还能让学生体会到数学多方面的价值，激发学习数学的兴趣.比如：氢离子浓度和溶液酸碱度的关系，这和化学有联系；血液中酒精含量的变化，这与生活息息相关，还能渗透法律知识；习题4.5中第6，11题涉及计算机知识；习题4.3中1.01365,0.99365，则是“小问题、大道理”.