一堂高等数学课融入思政元素和建模思想的教学探索——以“定积分的定义”为例

肖其珍 刘宏亮* 欧阳自根 彭湘凌

1.南华大学数理学院（湖南省衡阳市 421001）

2.湖南财经工业职业技术学院公共课部（湖南省衡阳市 421002）

1 引言

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，要坚持把立德树人作为高校思想政治工作的中心环节，要用好课堂教学这个主渠道，思想政治理论课要坚持在改进中加强，提升思想政治教育亲和力和针对性，满足学生成长发展需求和期待，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应[1]。在《高等学校课程思政建设指导纲要》[2]中也明确了课程思政的本质内涵是在传授知识和培养能力的同时，将思政元素润物细无声地穿插贴合进去，逐渐熏陶学生形成正确的世界观、价值观和人生观，同时，在落实立德树人根本任务时，必须将价值塑造、知识传授和能力培养三者融为一体、不可割裂。在此背景下，各高校积极开展专项研究与实践，探索如何将思政元素融入到各类课程教学中，才能起到润物无声的育人效果[3-6]。

《高等数学》作为理工科学生必修的一门公共基础课程，具有知识点多且抽象、授课持续时间长（通常为一年时间）、覆盖学生面广等特点，且通常安排的大学一年级就开始学习。通过学习和训练，能够很好地提高学生思维能力，为后续的专业课学习和解决专业地实际问题提供数学素养。基于以上特点，若该课程能融入思政元素将在高校的人才培养质量及学生的未来发展中起到举足轻重的作用。因此，在课堂教学中不仅要注重基础理论、基本方法及应用能力等方面的传授与培养，而且要挖掘知识点或解题过程中所蕴含的思政元素，才能为立德树人这一根本任务做出应有的贡献[3]。

基于此，本文将以《高等数学》（上册）[7]中的“定积分的定义”为例，结合实际情况，采用“讲好中国故事”和“运用建模思想”相结合的教学模式，在讲解过程中有意识地融入思政元素，让学生更加主动，更有热情地投入到新知识的学习当中。笔者授课对象为南华大学土木工程学院和资源环境与安全工程学院的大一学生，上课时间为周一、三、五上午1-2 节。同学们在高中阶段对定积分的简单计算有一定的基础，具有初步分析和解决问题的能力，但对于定积分概念的深刻理解和应用能力还有不足。绝大部分学生学习态度较为认真，对应用数学知识解决实际问题极感兴趣。因此，在具体的课堂教学过程中，我们通过“情境的创设-问题的提出-概念的凝练-练习与提高”等步骤，将数学理论和思想与实际背景相结合，注重激发学生的学习热情，把培养学生分析问题、解决问题的能力和塑造学生正确“三观”融入到课堂中来。

2 教学过程

2.1 情境的创设

通过PPT 展示某些地方的标志性建筑物（如深圳的地王大厦、广州的“小蛮腰”广州塔、北京故宫等）来吸引学生的注意力。话题一转，问学生们南华大学的“标志性的植物”是什么？接着让学生从窗户看看教室正对面的南华广场上被学生们称为“棒棒糖”的樟树（图1），然后问“同学们能不能求出我们所看到的最大树冠的投影面积（图2）”，同时在黑板上快速地描绘出树冠曲线坐标图（图3），且指出今天课程的主要目标就是利用定积分的知识来计算这一类图形（不规则图形）的面积。从而，引起了学生们的学习兴趣和热情。

图1 “棒棒糖”树

图2 “棒棒糖”树冠轮廓

图3 树冠坐标图

2.2 问题的提出

类似于树冠投影（不规则）的图形，如果知道轮廓函数的表达式，如何求得其面积？这是现实生活中的常见问题，但与中学时期所接触的规则图形（如三角形，矩形等）有所不同。为了解决这个问题，先回顾矩形面积的计算公式，且黑板板书写下S=a×b，接着，介绍曲边梯形的概念，即：

定义1[7]：设y=f（x）在区间[a，b]上非负且连续。由直线x=a，x=b，y=0 及曲线y=f（x）所围成的图形（如图4）称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。

图4 曲边梯形

这时应当给学生强调矩形面积公式已无法用来求解图4 中曲边梯形的面积。那么如何准确计算出图4 中曲边梯形的面积呢？此时，有意识地引导学生往“近似”的思路去思考，也即，用底边长度为｜b-a｜乘以曲线任意一点对应的高度f（x0）所获得的矩形面积近似曲边梯形面积。需指出，此时的误差太大（如图5所示）。但是如果先把曲边梯形“划分”成若干个（许多个）小的曲边梯形（用n来表示小曲边梯形的个数），而每一个小的曲边梯形的面积用一个等底的矩形面积来近似，再把所有的小矩形面积相加，所得到的总的小矩形面积与图4 大的曲边梯形面积的误差就会缩小，并且“划分”越细，误差越小（如图6 所示）。即当n趋于无穷大时，小矩形面积之和将无限地趋向于大的曲边梯形的面积。这时强调这一思想为古希腊“穷竭法”，但是早在魏晋时期我国著名数学家刘徽在其割圆术求圆周率时就体现出来了。正如刘徽在其著作《九章算术》中所言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可见其思想与古希腊穷竭法不谋而合。同时，通过PPT 动画展示割圆术的过程，并且讲述刘晖割圆术的思想来源于他在工地上看到石匠们加工方块石头变成圆柱体石头的过程而获得灵感。这样，即可以让学生们理解抽象的极限过程，即加深印象，又可以增加民族自豪感，激起学习的热情。

图5 矩形近似曲边梯形

图6 划分近似求和示意图

2.3 概念的凝练

引导学生从上述分析求解曲边梯形的过程中，凝练出定积分的定义，过程如下：

（1）分割，即在区间[a，b]内随机插入若干个分点，且记a=x1＜x2＜L＜xn-1＜xn=b，这样区间[a，b]分成了n个小区间，记第i个小区间为[xi-1，xi]。

（2）近似，即在区间[xi-1，xi]内任意取一点ξi，以区间[xi-1，xi]的长度为底，以f（x）在点ξi的取值f（ξi）为高，求出小矩形面积Si=f（ξi）Δxi近似于小曲边梯形面积Ai，即Ai ≈Si。

通过上面的分析过程，训练了学生从具体到抽象的思维能力。此时，教师可以与学生分享上面的“分割”和“求和”的两个步骤中所蕴含的哲学思想，也即分割方法体现出“化整为零”的思想，而求和过程又表现出“集零为整”的哲理，并且指出这一哲学思想其实在“曹冲称象”的故事中就得到了运用。另一方面，“近似”的过程也蕴含着“以不变应万变”的道家处变不惊的处世哲学，“取极限”的过程却表现出“精益求精”的工作和学习态度。这样通过和学生一起总结定积分的思想和方法，使学生对定积分的概念从认识上有了飞跃和升华，同时让学生体会到通过数学的学习还可以了解中国数学史和数学家的故事，以及蕴含在数学推导过程中的哲学道理和生活智慧。

通过对上述过程的分析和凝练，给出定积分的定义和几何意义。

2.3.1 定积分的定义

同时，强调以下三点：

（1）积分值仅与积分函数和积分区间有关，但与积分变量的字母无关，即：

由此与学生分享这里面蕴含的“通过现象看本质”的哲学思维。

（2）注意到区间分法和ξi取值的任意性，强调这是极限思想的体现。

（3）定积分是一个常数，是由极限存在唯一性决定的。

2.3.2 定积分的几何意义

图7 定积分几何意义

2.4 练习与提高

例题：通过合理地假设条件，利用定积分的定义和几何意义给出南华广场上“棒棒糖”树树冠投影面积的表达式。

分析：利用数学建模的思想，不妨假设“棒棒糖”树冠的投影在直角坐标系下的图如图3 所示。为了给出树冠投影面积的表达式，下面利用定积分的定义和几何意义来求解。首先，利用两条平行于y轴的虚线找出投影的最大“宽度”，即找到虚线与投影边界唯一的交点，如图8 中的A点与B点所示，此时A点与B分别在x轴上的投影为a与b。于是，树冠的投影面积就可以用两个曲边梯形的面积之差来表示，也即图形ABCD的面积I就等于曲边梯形AabBDA的面积减去曲边梯形AabBCA的面积。假设弧ADB和弧ACB在区间[a，b]上为连续函数，其表达式分别为f（x）与g（x）。于是利用定积分的定义可求得曲边梯形AabBDA和曲边梯形AabBCA的面积分别为

图8 构造曲边梯形图

因此，“棒棒糖”树树冠投影面积的表达式为

3 结语

课程思政是当前高校思想政治工作的新理念、新模式，是在讲解原有的知识架构和内容的同时挖掘具有正能量的思政元素，融入到课堂教学当中以实现知识的传授、能力的培养和价值观的塑造的教学模式。但在具体的课堂教学中，由于各学科的特点不一，以致课程思政并无定法，目前也无章可循。本文以“讲好中国故事”和“解决实际生活问题”的模式进行设计教学。首先以如何求出南华大学红湘校区同学们最喜爱的“棒棒糖”树树冠投影的面积为情景铺设，引起学生的好奇心，激发学习兴趣和爱校情怀。在分析讲解定积分定义的四个主要步骤中穿插了“中国故事”，以增强同学们的民族自豪感和爱国情感，同时分享了在“分割”和“求和”的过程中所蕴含的 “化整为零”和“集零为整”的哲理思想及解决问题的方法，在“近似”和“取极限”的过程中蕴含着“以不变应万变”的道家处变不惊的处世哲学和“精益求精”的工作学习态度。通过和学生分享和总结定积分的思想和方法，使学生对定积分的概念更加深入地理解，同时塑造了学生正确的“三观”。最后，通过结合数学建模的思想，展示了如何利用定积分的定义和几何意义给出了“棒棒糖”树树冠的投影面积表达式的数学建模过程。这样让学生感受到的是数学知识的实用性，而不再是晦涩难懂的公式。在这一堂课程中，我们在学习定积分的过程中融入了思政元素，起到了塑造学生情感的效果。即便如此，课程思政无处不在，却又法无定法，还需大家共同努力，才能够真正达到“全程育人、全方位育人”的目的。