“自动控制原理”难点知识的背景教学法

孙明玮，孙 月，陈增强

（南开大学人工智能学院 天津 300350）

自动化专业是一个与各个具体工业行业都有紧密联系的通用专业，包括航空航天、机械、化工、电力、冶金、汽车等国民经济和国防安全领域的支柱行业都与自动化密不可分，因此，自动化一直以来都是一个“万金油”专业。自动化专业作为工科专业的一门相对抽象学科，类似于科学中的数学学科，从不同行业提炼不同表象问题的共同特征点而加以研究。因此，与“机械原理”“通信原理”“电路基础”“模拟电路”等具体行业存在直观平台依托的基础课相比，自动化专业的基础课“自动控制原理”的理解难度更大，对于初学者来说比较吃力，尤其是对于没有任何行业背景的通用自动化专业学生而言，难以建立起所学概念与背景的对应关系，又不似纯粹数学那样与实际背景彻底脱离。事实上，从事“自动控制原理”教学的一线教师一直在努力改善相应教法，以期提高授课理解效果，并取得了一定成绩[1-3]。笔者长期从事自动控制理论与应用的教学工作，对上述问题有更深的体会[4]。“自动控制原理”知识点比较零散，体系同时包容近似和解析，对于初学者来说难以把握。

上述共性问题的形成是有历史原因的。由于中华人民共和国成立初期高等教育一切向苏联学习的方针，将各个工业学科中的共同问题集中形成单独的自动化学科，这种策略在短期内集中培养了国民经济建设和国防安全迫切需要的大批自动化专业人才，具有历史的积极意义。但是随着时代的发展，特别是进入过剩经济时代之后，自动化人才的培养也呈现出一定的过剩性，自动化专业学生的就业热点逐渐转向计算机等新经济方向，“自动控制原理”的授课吸引性进一步降低，加上其本身的难度和抽象性，使得课程的讲授难度进一步提高。欧美的高校中一般没有单独的自动化专业，控制理论课程在各个行业专业作为必修课开设，因此学生在掌握行业对象特点的同时，更加有利于深刻掌握自动化的一些通用概念，抽象比较容易落地，便于建立物理对应关系。因此，在现有教学体制下寻求高效而面向学生受众的“自动控制原理”难点知识讲解策略，是一个十分有意义的工作。目前，其他类似比较抽象课程的教学人员已经进行了一些有益的尝试[5-8]。

笔者在多年的教学实践中，根据“自动控制原理”诞生的时代背景，将一些难点和抽象概念嵌入到当时的需求根源上，帮助同学理解相应体系的形成起因。同时，对于一些难点概念进行了物理本质上的剖析，学生通过进行相应的Matlab仿真，有利于深刻直观的理解。通过这些尝试力图在目前的教学环境背景下帮助学生有效掌握“自动控制原理”的重要概念，同时通过科技发展史的讲解也给学生初步展示科技发展历程的必然规律，对于一些未来将要从事科研事业的学生进行启蒙教育。经过多年的教学实践和一代代传承，“自动控制原理”的讲授体系已经相对完善，本文归纳的背景教学法只是一个增量式完善，强调少而精和画龙点睛，避免对教学体系的过大影响。最后分析了这种授课法对于教师的要求。

2 “自动控制原理”诞生的历史背景讲解

学科的重要概念在学科体系上都具有关键性的支点作用，从而编织成相应的网络，而了解初创的历史背景对于学生掌握一门课程的整体框架具有十分重要的作用。在教学过程中根据调研资料和积累，给学生补充介绍相关历史背景，不仅有利于帮助学生宏观理解整个课程的脉络体系，而且可以极大增强课程的趣味性和吸引力。在教学实践中发现，每当讲到相关的历史趣味故事时，学生的注意力更加集中，因此要学会利用这种机会把相关知识点附着讲授，这样显得更加自然。

目前公认的控制论开篇之作Cybernetics作者是美国麻省理工学院(MIT)的维纳(Wiener)教授。专著严格意义上是维纳教授在二战期间于美国本土定期召开学术讨论班内容的提炼，其中参与者包括数学家、生理学家、医生、通信工程师和火炮工程师等。维纳对于其中的一些共同点特别是反馈的概念进行了抽象提炼，形成了现代意义上控制的雏形。但是Cybernetics的出版，当时并没有引起很大的轰动，原因在于维纳是个数学家，抽象能力强，但是专著写出来晦涩难懂，基本没有多大反响。1950年代当时在美国弹道导弹和火箭研制机构并且处于学术巅峰的钱学森，是一个集丰富空气动力学和飞行控制知识于一身并且具有深厚工程经验的大师，由于受到麦卡锡政策的影响，被迫强制离开尖端国防科技工业部门，返回加州理工大学(Caltec)从事教学工作。在此期间，钱学森把在弹道导弹和火箭研制中的相关动力学分析和控制系统设计流程和当时使用的一些基本设计工具进行了系统化的整理，形成讲义。这就是“工程控制论”或者说“自动控制原理”的雏形，“自动控制原理”只是去除了其中的空气动力学部分从而进一步抽象化。这一著作避免了Cybernetics过于抽象费解缺乏系统性的问题。这段历史在“自动控制原理”的课程中很少有人介绍，但是可以极大地激发起学生的学习兴趣。从这段历史中可以看到钱学森这样的伟人，在职业黄金岁月突遭厄运，并不是萎靡不振或者怨天怨地，而是在自己力所能及的范围内继续为人类文明进步贡献力量。对于学生而言，这样的处世方式教育自然地融入课程学习中，也激发了学生对于后续专业课程的好奇心。此外，钱学森能够系统集成当时已有的研究成果，并且以深入浅出的形式撰写和讲解教材，内中体现了对于基础抽象理论和具体问题的同时深入掌握，实现了理论与实际的有机结合。这些历史背景无论对于理解“自动控制原理”的精髓核心，还是引导学生在人生道路上同时注重理论、工程与社会认识的协同进步，都具有重要价值。

除了对于“自动控制原理”诞生的思想背景进行历史背景浸入外，还需要对于这门学科诞生的物质基础条件进行充分讲解，有利于同学认清这套体系的形成动因。“自动控制原理”中的主要成果成形于20世纪20~40年代，这一阶段计算机还没有诞生，但是工业自动化和军事需求已经产生，工程师如何在有限的算力下依然能够完成控制系统的设计和分析，就是一个重要的矛盾体。在教学过程中，通过大家熟悉的例子进行类比。联想代数中高次方程的求解问题，尽管几百年前伽罗华和阿贝尔就已经证明了高于5次的方程没有通用的代数解析求解公式，但是实际中碰到类似的问题怎么办？聪明的先人用图解法解决了这个问题：当不存在计算条件的时候，绘图不仅形象而且是解决问题的重要途径。这也可以帮助学生理解为何“自动控制原理”中存在大量的图解方法，如Bode图、Nyquist曲线、Nichols曲线和根轨迹等。在讲解Nyquist曲线的过程中，引导学生理解这是一种控制系统设计如何影响闭环稳定性的直观图解法，而且还能直接观察到稳定性边界的大小，可以与后面的稳定裕度概念建立起联系。尽管控制理论诞生的年代没有计算机等高性能辅助工具，但是图解法直到今天依然是现场工程师喜欢使用的工具，焕发着持久的生命力。引导学生体会到在工程上存在灵活的变通方法。直观图形显示比计算机计算更能揭示系统的本质，同时设计结果的可解释性具有强大的吸引力，因此以后即使不直接从事自动控制工作，这个原则也是需要认真考虑的。结合技术发展史背景的讲解，可以使得学生对于体系的把握更加清晰。

2 “自动控制原理”难点的物理背景讲解

“自动控制原理”主要包括频域和时域两大模块，其中频域分析是比较独特的部分，对于大多数学生而言显得比较抽象。对于重要概念进行物理背景解释，可以帮助学生加深理解。本文以两个典型例子展示这一过程。

根轨迹是课程的一个重要内容，核心目的是研究可变增益对于闭环系统极点的影响，在教材中给出了大量的规则，可以辅助生成近似的根轨迹。随着今天Matlab软件的普及，这个以前通过绘图纸绘制的过程，已经可以通过专用的rlocus函数自动生成了。然而，这一过程完成后，学生往往反映不知道这一工具解决了怎样的问题，因此难以深刻掌握思想深邃。为此，在课堂上给学生布置一个分别采用几何法和代数法求取临界稳定增益的作业。首先通过根轨迹函数rlocus绘制出完整根轨迹，然后采用目视法确定出根轨迹穿越虚轴时刻的可调增益近似值。其次，采用解析求解方法，根据穿越的充分必要条件，列写出实部和虚部方程，利用多项式求根函数roots函数得到数值解，并与图解法进行对比。最后，搭建simulink仿真模型，对于可调增益的上述求取值进行时域响应验算。通过这几个角度思考同一个问题，可以加深学生对于根轨迹的理解。

稳定裕度是经典自动控制中非常重要的概念，至今依然是控制工程师系统设计的最重要指标。但是在与几届学生的交流中，绝大多数学生对于稳定裕度的概念十分困惑，往往只是对于稳定裕度在Bode图上的定义形式有一些浅显印象，而对于其物理本质不甚理解。在改进授课过程中，以稳定裕度为突破口，详细讲解控制系统对于不确定性的鲁棒容忍性问题，引导学生建立控制系统设计的基本理念。为此，针对图1讲解稳定裕度的概念。事实上，这里的A表示被控对象的增益不确定性，表示被控对象的时延不确定性，二者集中刻画了实际对象在空间和时间尺度上可能存在的不确定性范围，它们的摄动上界就分别对应幅值裕度和相位裕度。特别强调前提要求是这些不确定性必须发生在对象上，而不是其他地方。在实操作业中，让学生针对一个具体的对象传递函数，利用Matlab中的margin函数，计算出相应的幅值裕度A*和相位裕度；然后在simulink仿真中，引导学生将A*从1逐渐增加到A*，观察阶跃响应波形从过阻尼逐渐过渡到欠阻尼模式，连续历经衰减振荡、等幅振荡和发散振荡阶段，而对应于等幅振荡的A基本上就是计算出来的A*，这样就建立起了稳定裕度的直接物理概念。为了进一步提高学生对于稳定裕度的深入理解，进一步引入图2的存在3个控制器的串级控制结构，分析其稳定裕度的计算方法。

先布置作业要求学生计算这个控制结构的稳定裕度。学生得到结果后，将幅值裕度代入真正反映对象不确定性的位置，也就是与对象进行乘积，大概率发现临界稳定点的仿真结果与计算结果不一致。这样可以促进学生思考问题出在哪里。事实上，计算稳定裕度需要得到开环传递函数，但是串级多回路系统的传统计算都是由里到外依次计算的，很容易使得最终的整个开环传递函数与真正的被控对象不是严格的正比例函数关系，这样计算的结果必然导致与真实结果的不一致。让学生观察到这一现象后，再循循善诱地给他们解释原因。当学生真正理解稳定裕度的物理背景后，再引导准确计算开环传递函数的基本思路，以保证在闭环极点不变的前提下使得开环传递函数与实际被控对象的严格正比例关系，最终得到正确的结果，这就需要学生产生一定的创新了，因为目前的教科书基本都不涉及这一点。没有问题就没有思考，也就没有深入的认识，这一点融入教学中可以起到事半功倍的效果。在这一过程中，从稳定裕度的严格物理背景概念出发，师生之间讲授、练习与点拨互动，可以帮助学生洞悉概念本质，形成感性认识，同时对于前期学习过的环路变换知识也有新的认识，达到一举多得的目的。在这一过程中，还可以结合模拟控制与数字控制时代的差别，理解二者对于稳定裕度的计算存在差异，根源在于前者的控制器也存在不确定性，而后者的控制器则完全是确定的。这样通过进一步延伸，保证了学生对于这个概念的准确理解。通过恰当合理的讨论形式[9]，制造一个争议而容易引起学生好奇心的问题，促进学生的思考[10]，最后归纳出准确的概念理解。此外，与稳定裕度相关的一些指标，也需要从物理背景上知其所以然，例如常用的6dB幅值裕度的出处，详细解释就是对应2倍的不确定性，这样学生学习起来目标更明确，印象也更深刻。

3 背景教学法对于任课教师的要求

“自动控制原理”的背景教学法是在我国目前现有体制下，尊重已经成熟的教学方式和经验而开展的一项增量型教学改革方式，与传统的教学方式具有继承关系，而不是互相排斥。根据学生的特点，重点提炼出一些难点关键问题，放置在诞生年代的历史背景中，结合最初期望解决的问题，寻根溯源，将抽象概念形象化。为此，任课老师对于自动控制发展史、数学史和科学技术史都要有一定的了解，而不能仅仅局限于技术本身。特别的，要求任课老师对于某一具体行业领域具有比较清晰的认识，才能将抽象概念具体化。因此，任课老师需要在业余时间多了解一些相关知识，才有利于深入浅出地将“自动控制原理”的一些关键抽象概念给学生讲解明白。这种讲法也有利于学生充分吸收课程的思想精髓，体会到学科协调、自洽和自然的美感[11-12]，即使大多数学生未来不直接从事自动化行业的工作，也对学生的人生具有一定的启迪作用。