见山非山 举一反三——以2022年全国新高考I卷第21题为例

广东 黄林盛

《中国高考评价体系》指出，综合性要强调融会贯通.直线与圆锥曲线的问题具有很强的综合性，考查的落脚在定点、动点、定直线、动直线与曲线的位置关系.在考查“四基”与“四能”的同时体现核心素养立意，引导师生在经历解决问题的过程中探究问题背景知识的发生与发展过程，以达到掌握问题的本质.本文对2022年全国新高考Ⅰ卷第21题进行多角度剖析、一题多解，为圆锥曲线的教学提出几点思考，与同行交流.

1.真题呈现，妙法迭出

(1)求l的斜率;

1.1 试题分析

本题文字叙述简洁明了，设问方式平易近人，第(1)问与以往不同，不是简单的求曲线方程，容易给考生带来一定心理压力.本题从知识层面看，主要考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系以及张角模型中三角形面积问题.试题的重点是将题设中的几何条件进行代数化，难点是选择恰当的方法优化运算；从能力层面上看，突出考查考生数形结合思想和逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是学科素养中“研究探索”方面的要求.

1.2 解法剖析

剖析一：问“道”于题，循“叙”渐进

设直线l的方程为y=kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由题知A(2,1),

∴2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,

∴2k2+k-1+km+m=0，(k+1)(2k-1+m)=0,

当2k-1+m=0时,m=1-2k,

直线l方程为y=kx+1-2k=k(x-2)+1，恒过定点A(2,1)不可能，舍去.

∴k=-1.

以下同算法1.

评注：此解法是通法，遵循题目的表述，翻译成数学符号，逢相交便联立，遇交点求坐标，是圆锥曲线综合问题的常规求解思路，但未经等价转化的运算比较繁杂.

剖析二：活用“算”理，统筹全局

解法二：(齐次化)设PQ:m(x-2)+n(y-1)=1，

(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0，

联立(齐次化)可得

即PQ:m(x+y-3)=1，

故kPQ=-1，在第(2)中易得kPAkQA=-2，

则lPQ:3x+3y-5=0，以下同解法一.

评注：抓住题目条件与特征，结合两直线斜率和为零的条件，求解另一直线的斜率为定值.充分厘清题目的背景与题意，同时又要跳出“题面”，进行全局审视，通过构造关于斜率的一元二次方程，借助整体思维，从而得到这个关键代数式，达到转化求解的目的.

剖析三：转换视角，从“曲”到“直”

对于斜率最容易想到的就是利用斜率公式来进行表示，在圆锥曲线中，如果要表示某条弦所在直线的斜率，常用两种方法：利用斜率公式和利用点差法.

本题可以运用点差法将点在双曲线上转化到直线上，从而同构出直线方程，以达到减少运算量的目的.

解法三：(同构直线)算法1(点差法)：

由题意可得kAP+kAQ=0,

化简有2y1y2+2(y2-y1)+x1x2+2(x2-x1)-6=0④，

2y1y2+2(y1-y2)+x1x2+2(x1-x2)-6=0⑤，

将P(x1,y1),Q(x2,y2)代入上式有

以下同算法1.

评注：通过点差法将点在双曲线上转换到直线上，体现整体思想.对运算法则、运算思路、选择运算方法有较高的要求.有些学生对圆锥曲线上的两个动点运用点差法很熟练，但是当其中一个点换成定点之后就想不到用点差法了，这是对点差法理解不够深刻的原因.设点过程中若不能“减元设点”，意味着参与运算的变量过多，进而导致“趋同组合”的方式灵活多变，操作难度加大，不过若“趋同组合”成功，解题便柳暗花明变得异常简单，所以设点法的运算具有“多想少算”的特点.

2 真题互鉴，题源追溯

2.1 真题互鉴

(1)求C的方程；

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

(1)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;

(2)若∠APB=60°，求△PAB的面积.

从真题1、真题2、真题3以及2022年全国新高考Ⅰ卷第21题来看，考查一致的核心知识点是直线与圆锥曲线的位置关系、两直线斜率之和为定值的问题.2022年全国新高考Ⅰ卷第21题第(1)问是2021年全国新高考Ⅰ卷四点共圆的退化情形，是真题2的特殊，与真题3更是如出一辙.本文从基本解法到巧妙解法的呈现遵循了“拾级而上”的思维升华，体现了丰富的数学思想方法.通过对思想方法进行深度挖掘，探究其本质，掌握其规律,以达到运用数学的思想方法促使数学试题“成群生长”的目的.

2.2 题源追溯

通过对试题的剖析和多种解法及与三道历年真题互鉴，发现2022年全国新高考Ⅰ卷第21题第(1)问是一类两直线斜率的和为定值，使得直线斜率为定值(或定点)的问题.下面进行题源追溯，可得到更多一般结论.

结论1(普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修4-4坐标系与参数方程第38页例4引申)已知AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

结论2(2022年全国新高考Ⅰ卷第21题出题背景)当点P(x0,y0)(y0≠0)在曲线上时，过点P作两条斜率互为相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为A,C，则直线AC的斜率为定值.

证明过程略.

将结论2的两直线斜率和与积的定值一般化，可得到结论2的推广.

推广：设P(x0,y0)是曲线λx2+μy2=1(λμ≠0)上的一个定点,PA,PB是该曲线的两条弦,其所在直线的斜率分别为k1,k2.则

k1+k2=0⟺直线AB的方向向量为(μy0,λx0).

通过对试题第⑵问剖析真题3进行互鉴，可以发现这是圆锥曲线张角模型中三角形面积问题，可得到一般结论.

运用结论3.1解答2022年全国新高考Ⅰ卷第21题第(2)问如下：