指向数学模型观念培养的项目化学习——以“哥尼斯堡七桥问题”为例

孟泽琪|浙江省杭州市勇进实验学校

项目化学习“是一种促进以学生为主、对现实世界的主题或问题进行探究的创新方法”[1]，旨在通过项目提高学生探究、协作、批判性思考和解决问题的能力，是培养学生数学模型观念的有效方法.其流程大致可以分为“提出问题、建立联系、个性展示”三个阶段[2]，以及“学情分析、教材分析、确定学习主题、选择认知策略、开展探究活动、取得最终成果和选择展示方式、形成性评价和终结性评价”七个部分.以下，笔者以“哥尼斯堡七桥问题”为情境，构建初中数学项目化学习模式.项目化教学流程详见图1.

图1 项目化教学流程

一、综合分析，确定学习主题并制订学习目标

主题是项目化学习的核心.开展探究、展示、反思等活动始终需要围绕某个主题进行，因此在确定项目化学习研究主题前，教师应先在研习课标的基础上综合分析教材和学生需求，再设计出符合学生认知基础、贴近学生实际生活的主题.

（一）分析教材及学情，确定学习主题

笔者翻阅国内许多版本小学到高中的数学教材发现，“哥尼斯堡七桥问题”（以下简称“七桥问题”）在北师大版高三、湘教版高二、人教版六年级等都有出现，由此可见其适用于小学高段及以上学生学习.此外，笔者通过对学生问卷调查和个别面谈发现，初中生虽然欠缺对实际问题的理解，综合实践能力较弱，但“一次性不重复走完七座桥并回到出发点”这一探究设定引起了他们极大的兴趣.因此，笔者确定此次项目化学习以学生为主，教师为辅.“七桥问题”属于路线规划问题，学生经充分探讨，将此次项目化学习主题确定为“用一笔画探究七桥问题”，然后围绕主题进行调查、实践、文章撰写、小组合作等活动.

（二）关注素养，制订学习目标

指向数学模型观念培养的项目化学习应聚焦“提出问题、收集信息、工具选择、方案设计和改进”等方面，因此针对“用一笔画探究七桥问题”学习主题，笔者制订以下学习目标.

（1）分组讨论，描述“七桥问题”的主要特征.

（2）分组搜集资料，确定研究“七桥问题”的方案.

（3）与其他小组交流并互换意见，形成文章或报告，并在课堂上展示.

二、自主学习，探究学习主题

传统教学受多重因素限制，如依赖课本和家庭作业、单一的师生交流等，这些因素都会影响学生的创新精神和应用意识，不利于学生建立模型观念.因此，笔者充分调动学生的学习兴趣，使其运用“提出问题、收集信息、协助探究、个性展示”等高阶认知策略，对“七桥问题”进行深入探究.

（一）提出问题，寻找问题的切入点

在项目化学习中，教师是学习的引导者，而不是主导者.换句话说，教师需要指导学生对项目进行规划，并在学生需要的时候协助他们.

问题呈现：流经哥尼斯堡的河上有七座桥，有人想从某处出发，经过这七座桥再回到出发点，而且任一桥不走第二次.他能完成吗？

学生对这个问题产生了浓厚的兴趣，主动和同桌讨论，有的甚至直接开始画路线图.在活动中学生发现，“七桥问题”其实可以简化为“一笔画问题”，将七座桥看成七个点，如果能将七个点一笔画完并回到起始点，这个问题就可以解决.

（二）收集信息，分析问题的数量关系

项目化学习具有开放性的特点，开展教学活动时不必局限于课内，而是可以将课堂从课内延伸到课外，扩展学生的活动范围.学生可以通过上网查阅资料，翻看相关书籍，小组合作做实验等途径来解决问题.

为了帮助学生围绕主题完成调查和探究，笔者在正式开课前三天发布所要研究的问题及其涉及的背景知识和使用工具，安排学生以小组为单位收集资料、制订计划和研究路线，让学生有心理预期，以使课堂交流更有效、深入.

（三）协助探究，讨论问题的解决途径

1.学生展示思路，提出解决问题的基本思路

由于各小组之间的研究进度会有所差异，笔者通过调查、提问了解各小组的研究进度，并邀请某小组分享研究进度.

师：同学们，通过查阅资料，你们是如何研究“七桥问题”的？

生：我们小组通过查阅资料，发现“七桥问题”牵扯到一笔画模型，课前我们已经画出简图，由于这个简图相对复杂，我们决定先研究基本图形.我们选取三角形、正方形、圆形等基本图形进行一笔画研究，以正方形及其三种变式为典型代表（详见图2），发现前三幅图都可以一笔画出来，只有变3不能.经过讨论，我们发现前三幅图分别有4、6、5个交点，而不能一笔画成的第四幅图有5个交点.然后我们猜测图形能否组成一笔画是由交点的个数决定的，如果交点是偶数个，就可以一笔画成，如果交点是奇数个，就不一定能一笔画成，因此需要更进一步研究讨论.

图2 正方形及其变式一笔画研究示意

师：根据你们的研究结果，老师对知识点进行归纳：（1）所有包含线段的图形称为连通图；（2）奇点：与奇数条边相连的点为奇点；（3）偶点：与偶数条边相连的点为偶点．

项目化学习的目的是让学生围绕问题展开相关调查，并学会将探究活动与日常生活联系起来.学生在自主设计连通图的过程中，由浅入深地体会了一笔画的基本特征，发展了数学推理能力.教师再适当引导学生探索发现并归纳知识点，有助于为学生下一步的推理、论证做好准备.而从师生对话中，笔者发现学生错误地将研究方向瞄准交点个数的奇偶性，于是介入进行调整.

2.教师协助探究，确定解决问题的关键因素

项目化学习的时间和方式非常灵活，教师可以在学生课余时间、课后托管或者其他课上对学生进行指导，其中最耗时的如小组活动、个性展示等环节，也可以通过家庭作业的形式来进行.这样既可以调动学生的学习积极性，又可以适时调整学生的错误研究方向.以下是笔者为纠正学生的错误研究方向而布置的一次家庭作业，并让学生在课后托管课上进行了展示.

作业内容：能否笔不离纸画出两种信封（详见图3），且任何一条线段都只能画一次？通过画图你能得出什么猜想或者结论？可否在课堂上分享一下？

图3 能否一笔画两种信封示意

生：由于信封1有2个奇点和4个偶点共6个交点，能从点A或点B出发一笔画出开口信封，却无法从其他点出发画出开口信封；信封2有4个奇点和2个偶点共6个交点，不管是从奇点或偶点出发，均不能一笔画出封口信封.由此可知，交点个数为奇数或偶数的图形都不一定能一笔画成，因此，能否组成一笔画并不是由交点的个数决定的，需要继续讨论.

师：信封1和信封2上的交点个数都是偶数个，信封1可以一笔画成，信封2却不能，这是为什么？此外，之前我们画奇数个交点的图是否可以一笔画成？

生：信封1比信封2多了两条线段，图2中的变2和变3也多了两条线段，随着某些点所连线段的数量改变，能够一笔画的结果也随之改变，因此我们猜测一笔画可能与奇点和偶点的个数有关.

在这个案例中，学生通过分类讨论，从交点个数的角度出发，分析形成一笔画的构成条件，论证了交点总数为奇数个或偶数个并不是构成一笔画的关键条件，猜测一笔画可能与奇点和偶点的个数有关，笔者顺势引导学生对一笔画问题进行又一次猜想，把对问题的关注点转移到“奇偶点”上面.

3.学生检验猜想，发现解决问题的研究方法

为检验猜想是否正确，学生会主动调查、设计解决问题的相关方法.这就促使他们通过大量的数据收集，以某种可以揭示模型和关系的形式呈现数据.笔者经观察发现，学生主要通过制表、绘图来描述数据，这样能够更直观地表述数据的意义.以下是学生通过绘图、制表来分析问题的展示过程.

学生在教师的指导下猜测一笔画可能与奇点和偶点的个数有关，将问题研究的重心放在交点总数为奇数的图形上面.最终确定5个图形作为研究对象（详见图4）.

图4 奇数个交点图形示意

这些图的交点总数都为奇数个.在上述作业研究的基础上，学生将关注点转移到奇点的个数上，发现能够一笔画完的图形奇点个数均为两个.学生还发现能够一笔画完的图形具有两种规律：（1）每个交点经过的线段条数都为偶数；（2）其中两个交点经过的线段条数为奇数，其余为偶数.

为避免再次犯错，学生重新对交点个数全为偶数个的图形进行了检验，发现正方形都是偶点，符合第一个规律；图2的变1与图3的信封1都有2个奇点，其他都是偶点，符合第二个规律.这些符合规律的图形都能一笔画出，而图3的信封2有4个奇点不能画出，因此这两条规律均适用于交点总数为奇数和偶数的图形.

至此，学生通过数据统计已经发现以一笔画完成“七桥问题”路线是不可能的.这时，学生产生了新的疑问：为什么想要一笔画出图形，经过线段条数为奇数的点不能多于两个呢？于是，他们决定继续探究这个问题.

从经过线段为奇数的交点的性质出发，经过的线段为奇数条（三条）时，必然有两种情况：有一条进入的线段，两条出去的线段；有两条进入的线段，一条出去的线段.

而这两种情况不是起点就是终点，而且中途经过的点必须只能经过偶数条线段.一个图形若想要一笔画完，则必然只有一个起点与一个终点，也就是说是只能有两个交点经过奇数条线段，这就是这个问题的答案.而如果所有的点都经过偶数条线段的话，无论从哪个位置开始画，都可以回到出发点.

项目化学习旨在激发学生对问题的思考，使学生在经历分析、综合、抽象、概括问题的过程中，剖析问题和数据背后的深层关系，进而产生新的想法和获取新知的动力.从学生的表现可知，学生在研究“七桥问题”的过程中确实提出了新的问题，如“为什么经过线段条数为奇数的点不能多于两个”，这就促使他们顺利地从感性认知进阶为理性认知.

（四）个性展示，总结问题的本质规律

展示是评价体系的一个重要维度，学生对自己的学习主题进行了仔细的研究和认真的调查之后，会有强烈的欲望想将信息展示给受众，此时，教师应该尊重他们的自主权，让学生选择一种展示类型进行展示，既可以是个人展示，也可以是团队展示.学生的个性展示方式详见表1.

表1 学生个性展示方式

学生画出“七桥问题”连通图（详见图5），发现图中的四个交点全部都是奇点，再联系之前的研究，确定这个问题是无解的.这有三方面原因.

图5 “七桥问题”连通示意

（1）能够一笔画完的图形有两种规律，符合其一即可；（2）一个图形若想要一笔画成，则必然只有一个起点与一个终点，也就是说只能有两个交点经过奇数条线段；（3）“七桥问题”含有4个奇点，任一奇点都不能既作为起点又成为终点.

学生通过自己的努力探索并解决了“七桥问题”，但他们并没有因为问题的解决而停止探索，如：学生继续探索一笔画图形的主要特征；渴望了解“七桥问题”在数学史的地位等.这样的项目化学习，不仅培养了学生的正确学习观，更激发了学生对学习的兴趣.

由上可知，经历数学与外部世界的联系是建立数学模型观念的基本思路，而回顾解决问题的思维历程则有助于学生梳理、归纳所学知识，提升独立思考的能力，进而完善模型观念.

三、项目评估，形成评价报告

教学中，评估往往是不可或缺的，它旨在衡量学生对知识和技能的掌握情况，并且教育成果的大多数指标都是通过评估来确定的.因此，教师要有目的地对项目进行计划、管理和评估.项目化学习的评估不能只关注结果，也要权衡过程，这就要求教师对学生的项目成果实施过程性评价和终结性评价相结合的方式.

此次项目化学习，笔者综合考量了学生的项目成果和行为表现，包括家庭作业、课堂测验、小组会议、个性展示、报告撰写等，设置了“优秀、完成、未完成”三个等级，详见表2.

表2 项目化学习评价

四、反思与总结

（一）立足核心素养，体会数学文化的价值

项目化学习具有一定的包容性，因此，我们对项目化学习的设计不妨跳出中考对基础性数学课程的限制，将教学设计和实施的重心从关注学生掌握了多少知识和技能，转移到关心学生的核心素养是否得到提升，以及是否获得良好的价值观和数学文化熏陶上.由课堂中学生对数学史表现出的浓厚兴趣，我们发现：只要给学生参与问题研究的机会，学生就可以充分发挥其主观能动性，深入搜索感兴趣的信息去进一步学习.

（二）关注学习主题，聚焦问题导向的学习

初中数学教育偏重解题技巧、公式及定理的运用，这是初中教育中解决问题的普遍现象.但在对实际问题进行模型化的过程中，存在问题导向的不确定性，这就要求教师应着重引导学生对问题进行观察、操作、实验，让问题贯穿于项目化学习的全过程[3]，发挥学生自身的自主学习能力.

（三）顺应学生发展，注意教师的指导作用

项目化学习属于探究型课程，因此其教学不能仅按照教师预设的形式进行，而应根据学生的理解程度因势利导，这势必会对教师提出更高的要求.教师不仅要参与指导学生的探究活动，还要积极发挥启发、引导的作用，使每个学生都能获得学习的成就感.

笔者经过实践发现，指向数学模型观念培养的项目化学习具有时间跨度长、思维难度高等特点，对教师的计划、管理、评估等能力的要求较高，需要教师付出较大的精力去付诸实践，但是，其效果也是很明显的，它提供了一条学生体会、理解数学与外部世界联系的有效途径，具有较好的可操作性，值得广大一线教师参考、借鉴并运用.□◢