例谈三类二次函数问题的解法

杜佳星

二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.

一、二次函数的最值问题

二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，若a>0，则抛物线的开口向上；若a<0，则抛物线的开口向下.当x=-b2a时，函数在R上有最值b2-4ac4a.若函数的定义域为[m，n]，则需分三种情况考虑：（1）当-b2a∈[m，n]时，函数在x=-b2a处取得最值；（2）当x=-b2a，在[m，n]的左侧时，若a>0，则函数在x=m处取最小值，在x=n处取最大值，若a<0，则相反；（3）当x=-b2a在[m，n]的右侧时，若a>0，则函数在x=m处取最大值，在x=n处取最小值；若a<0，则相反.

例1.

所以二次函数图象的开口向下，当x=-65时，函数有最大值1.

利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y=x2＋4x＋3=（x+2）2-1，可知当x=-2时函数的最小值为-1.

例2.

第一个问题中的函数对称轴x=-32∈[-2，3]，所以函数在x=-32处取得最小值，在距离对称轴较远的点处取最大值.第二个问题中的函数对称轴为x=-2a-12，其中含有参数，需对其取值范围及其与定义域[-1，3]之间的关系进行讨论，才能确定函数的最小值.

二、二次函数的零点问题

我们知道，一元二次方程的根就是二次函数与x轴的交点的横坐标，即二次函数的零点.在求解二次函数的零点问题时，可以通过求一元二次方程的根来求函数的零点.求解一元二次方程的根的方法很多，比如利用求根公式、配方法、十字相乘法.

例3.

一元二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的零点与一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的判别式Δ有以下关系：

当Δ>0时，ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，即x1，x2是函数的零点；

当Δ=0时，ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个相等的实数根x1=x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，即x1（x2）是函数的零点；

当Δ<0时，ax2＋bx＋c=0（a≠0）无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点，即函数没有零点.

三、二次函数不等式问题

解二次函数不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，往往要先求方程ax2＋bx＋c=0的根，然后根据二次函数的图象，确定y>0或<0时对应的x的取值.一般地，ax2+bx+c>0（a≠0，Δ=b2-4ac）的解有以下幾种情况.

例4.

解含参数的二次函数不等式的一般步骤为：第一步，将不等式化二次项系数大于0的方程；第二步，根据求根公式，或通过因式分解，求得方程的根；第三步，根据一元二次方程根的分布情况画出对应的二次函数草图；第四步，根据图象写出不等式的解集.

可见，求解二次函数的最值、零点问题、不等式问题，都需要运用函数的图象、性质，方程的根以及判别式，因此，在解答二次函数问题时，同学们要学会将问题与函数的图象、方程关联起来，灵活运用数形结合思想、方程思想来辅助解题.

（作者单位：甘肃省靖远县第一中学）