有向图的顶点加权zeta 函数

杨文玲， 朱 林

（上海理工大学 理学院，上海200093）

1 问题的提出

所有zeta 函数中最原始且最出名的就是Riemann zeta 函数。在此之后，许多数学家定义并研究了各种不同数学对象的zeta 函数。20 世纪60 年代，Ihara[1]定义了正则图上的Ihara zeta 函数并证明了正则图的Ihara zeta 函数的倒数是一个多项式。Sunada[2-3]将正则图G的 zeta 函数与G的基本群的酉表示联系起来。Bass[4]将Ihara 的结果进一步推广到了非正则图，并给出了相应的行列式表达式。Stark 等[5]给出了Bass 定理的一个初等证明，并讨论了任意图的3 种不同类型的zeta 函数。此外，Foata 等[6]和Kotani 等[7]用 不 同 的 方 法 证 明了Bass 定理。Mizuno 等[8-10]逐步定义了有向图的Ihara zeta 函数、有向图和无向图的边加权Ihara zeta 函数，并给出了这些zeta 函数的行列式表达式。2007年，Horton[11]讨论了有向图的Ihara zeta 函数的相关性质。2019 年，Konno 等[12]通过给无向图的顶点加权，定义了图G的一个新的加权Ihara zeta 函数，并给出了它的行列式表达式。2021 年，Zhu[13]定义了图G的一个顶点加权Bartholdi zeta 函数，并给出其行列式表达式。

本文定义了有向图的顶点加权zeta 函数，并给出了它的行列式表达式，这一结果推广了文献[12]中的结果。

本文中出现的有向图都是有限的。令G是有向图，其顶点集与有向边集分别用V(G)和D(G)表示，其中，|V(G)|=n， |D(G)|=m。对于有向边e=(u,v)∈D(G)， 顶点u称 为有向边e的 起点，记为o(e)，v称为有向边e的终点，记为t(e)。 当e=(u,v)满足o(e)=t(e)时 ，称e=(u,v)是一个自环。有相同起点和终点的有向边称为重边。本文研究的有向图不含自环和重边。当t(e)=o(f)时 ，称有向边e与f相邻，再 者，若t(e)=o(f)，t(f)=o(e)， 则 称f是e的逆，记为f=e-1， 反之亦然。对于v∈V(G) ，degG+(v)=|{e∈D(G):t(e)=v}|和 degG-(v)=|{e∈D(G):o(e)=v}|分别称为v的入度和出度。

令P=(e1,e2,···,er)在有向图中，如果对任意的i=1,2,···,r，有ei∈D(G)， 且对任意的ei，i=1,2,···,r-1， 有t(ei)=o(ei+1)， 则P=(e1,e2,···,er) 是G中的一条路，并且称路P的长度 |P|=r。若在路P中存在一个ei(i=1,2,···,r-1)， 有ei+1=e-i1，则称路P是有回路的。且对上述路P，若进一步有t(er)=o(e1)，则称P为一个圈。为了方便，本文统一用C表示圈。Cs为C的 幂，其中，Cs表 示C绕自己s圈 。若C不能表示成更小圈的幂，则C是素圈。

若圈C和C2无回路，则C是约化的。对圈C1=(e1,e2,···,er)，C2=(f1,f2,···,fr)，若存在正整数k，使得对所有的j∈{1,2,···,r}， 有fj=ej+k，其中，下标关于模r同余，则C1与C2等 价。令 [C]是包含圈C的等价类。

在文献[1]中，当u∈C 且 |u|足 够小，图G的 Ihara zeta 函数定义为

Foata 等[6]运用Lyndon 字和Amitsur 恒等式给出了图的Ihara zeta 函数的行列式表达式的一个新的证明。给定一个有限全序集X， 考虑X上的所有字组成的集合X∗， 且X∗上有自然的字典序，它由X上的全序诱导。全序集X中的Lyndon 字 π是X∗中的一个非空字，满足在其循环重排类中最小且 π不能写成更短的字的幂次。

令M1,M2,···,Mk是阶数相同的方阵，L是 {1,2,···,k}上 所有Lyndon 字的集合。对于L中的每个Lyndon 字 π=i1i2···ip， 记Mπ=Mi1Mi2···Mip，那么，Amitsur 恒等式为[14]

2 有向图的顶点加权zeta 函数

3 例 子

图1 有向图GFig. 1 DigraphG