核心素养导向下的“概率的基本性质”教学思考

张 伟，王绍锋

（人民教育出版社 课程教材研究所；中国人民大学附属中学朝阳学校）

一、问题提出

人教A版《普通高中教科书·数学》（依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写，以下统称“新教材”）自2019年9月开始使用，与人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（依据《普通高中数学课程标准（实验）》编写，以下统称“旧教材”）相比，新教材更加关注知识的整体性、过程性和思想性，在编写理念、内容安排和内容呈现等诸多方面都发生了较大变化.“概率的基本性质”这一内容安排在新教材必修第二册第十章第一节，与旧教材相比，新教材在研究方法上发生了较大变化.根据概率的定义，如果一个随机试验的样本空间为Ω，那么对任意的事件A⊆Ω，都有唯一确定的实数P(A)与之对应，故概率可以看成定义在样本空间（有限样本点）子集上的“集函数”，因此新教材类比函数的研究方法来研究概率的性质.为了更好地理解新教材变化的意图，在具体教学过程中，教师要充分思考新教材变化背后的原因，只有理解了变化的真实意图，才能落实好新教材的编写理念.

二、新、旧教材的对比

与旧教材相比，从结构上看，新教材引入了样本点和样本空间的概念，并把古典概型放在了概率的基本性质之前，为概率的基本性质的研究提供了具体的案例支撑；从研究方法上看，新教材更加关注知识的整体性和关联性，注重研究方法与研究函数的性质的类比.表1给出了新、旧教材具体的变化.

表1 新、旧教材中“概率的基本性质”内容的具体变化

续表

由表1可以看出，新教材在性质的引入、呈现、证明及应用方面都发生了变化，具体如下.

（1）新教材的节引言开宗明义，直接明确引入一个新的数学对象后接下来就要从定义出发研究这个新对象的性质.由于概率是定义在样本空间（有限样本点）子集上的“集函数”，于是给出了研究的路径和方法：可以类比研究指数函数性质的内容和方法研究概率的基本性质，借助集合的关系和运算研究事件的关系和运算.

（2）与旧教材相比，多了性质5（概率的单调性）和性质6（对互斥条件下概率的加法公式的推广），为求复杂事件的概率提供了强有力的工具.

（3）旧教材采用的做法是直接给出性质，没有说理和证明.新教材在发现性质时，除了类比函数发现性质外，对性质3和性质6则是通过特殊例子发现性质，然后借助古典概型进行说理和“证明”，进而得到结论.

（4）新教材在学习了古典概型之后安排“概率的基本性质”，这为概率的基本性质的应用提供了丰富的案例.

基于新、旧教材的以上变化，笔者对该部分内容进行了深入和认真的思考，并给出了“概率的基本性质”这一课时的教学设计，与读者探讨和交流.

三、教学设计

1.复习旧知，引出研究内容

问题1：确定一个数学研究对象后，我们应该研究什么呢？

师生活动：以函数为例，教师带领学生回顾研究函数的思路和方法，明确研究路径.

【设计意图】类比指数函数的研究路径，找到研究概率的性质的路径和方法.

问题2：在前面的学习中，我们是怎样定义概率的？

师生活动：以教师引导为主，带领学生回顾概率的定义，体会概率的意义.

【设计意图】通过类比概率的定义和函数的定义，启发学生类比函数的性质的研究思路建立概率的性质的研究路径，使学生对本节课的研究思路有充分的了解和认识，进而发现概率可以看作定义在样本空间（有限样本点）子集上的“集函数”.

2.类比联想，探究概率的性质

问题3：以古典概型为例，你认为可以从哪些角度研究概率的性质？

师生活动：教师提出问题，学生分组讨论.

预设：类比函数的研究，学生可能会提到研究样本空间、概率的取值范围、单调性、特殊事件的概率等.学生可能会得到如下猜想.

猜想1：对于任意的事件A，均有P(A)≥0.

猜想2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0.

猜想3：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).

【设计意图】类比函数的研究要素——定义域、值域、特殊点、单调性，分析问题，提出概率中要研究的问题.根据学生的已有经验，从学生思维的“最近发展区”提出问题，培养学生的高阶思维能力.

问题4：对于猜想3，你能给出“证明”吗？

师生活动：在教师的引导下，学生尝试给出“证明”.

【设计意图】类比、猜想得到的结论不一定正确，需要给出严格的“证明”，培养学生思维的严谨性.这里用古典概型“证明”猜想的合理性，让学生体会概率的性质1、性质2和性质5的含义.

问题5：前面我们研究了事件的关系和运算，将复杂事件转化为简单事件的和事件.下面我们研究具有一定关系的事件的概率之间的关系.设事件A和事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A和事件B的概率之间具有怎样的关系？

师生活动：以10.1.2节的例6为例进行研究，学生分别计算P(R∪G)，P(R)，P(G)的值.由事件R=“两次都摸到红球”和事件G=“两次都摸到绿球”互斥，考虑R∪G=“两次摸到的球颜色相同”的概率与事件R和事件G的概率的关系，可以发现

【设计意图】借助具体实例，探究互斥事件和事件的概率等于两个互斥事件概率的和.

追问1：对于一般的事件A和事件B，当事件A和事件B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)成立吗？

师生活动：在教师的引导下，学生尝试说理，并给出在古典概型下的一般性“证明”.

预设：如图1，因为事件A和事件B互斥，所以事件A和事件B不含有相同的样本点.所以n(A∪B)=n(A)+n(B).则有P(A∪B)=P(A)+P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和.

【设计意图】将由特殊案例得到的结论进行一般化，即通过推理论证得出互斥事件概率的加法公式（性质3）.

追问2：对于多个互斥事件，这个结论还成立吗？

师生活动：教师进一步引导学生，将上述结论推广到多个事件的情形，进而得到以下结论.

结论：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪ … ∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

【设计意图】将得到的结论推广到更一般的情形，这是研究问题时常用的方法，也为学生后续应用这一性质解决概率的计算问题奠定了基础.

追问3：特别地，当A和B互为对立事件时，它们的概率有什么关系呢？

师生活动：如图2，在性质3的基础上，学生给出P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.

【设计意图】对立事件是特殊的互斥事件，它们的并事件是样本空间，因此这类事件有一定的特殊性和代表性，有必要单独研究.通过追问，将得到的结论特殊化也是研究问题时常用的方法.

问题6：在10.1.2节例6的摸球试验中，“两个球中有红球”=R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).

师生活动：以10.1.2节例6为例，教师引导学生分别计算P(R1∪R2)，P(R1)，P(R2)的值，可以发现P(R1∪R2)＜P(R1)+P(R2).

【设计意图】引起认知冲突，进而引导学生发现导致这种结果的原因是事件R1和事件R2不互斥.

追问：为什么P(R1∪R2)＜P(R1)+P(R2)？你能尝试说明理由吗？

师生活动：教师引导学生将事件R1和事件R2与问题5中的事件R和事件G进行对比，进而引导学生发现事件R1和事件R2不互斥.

【设计意图】借助韦恩图，让学生探索当两个事件不互斥时，P(A∪B)与P(A)和P(B)的关系，在此基础上给出概率的基本性质6.

3.新知应用，巩固概率的性质

例1从一副不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“取到红心”，事件B=“取到方片”，.

（1）C=“取到红花色”，求P(C)；

（2）D=“取到黑花色”，求P(D).

分析：在该问题中，事先已经给出了各个事件的字母表示.因为事件A和事件B互斥，所以要想求事件C发生的概率，只需要判定事件C与事件A和事件B的关系.可以发现C=A∪B，因此可以利用概率的加法公式求事件C的概率.又因为事件D和事件C互为对立事件，所以可以借助性质4求事件D的概率.

师生活动：学生独立思考，探索事件C与事件A和事件B的关系，以及事件D和事件C的关系，进而借助概率的基本性质求P(C)和P(D).教师对学生的解答进行补充、完善.

【设计意图】通过例题的教学，初步体会利用概率的基本性质解决问题的便利性和简洁性，让学生在解决问题的过程中体会利用概率的基本性质可以简化复杂事件概率的计算.

例2为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，中奖的概率是多少？

分析：“中奖”是一个复杂事件，它包含三种情况：第一罐中奖但第二罐不中奖，第一罐不中奖但第二罐中奖，两罐都中奖.若记A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，则因为中奖和不中奖为互斥事件，所以.需要注意的是，在这个问题中，学生很容易写成A=A1∪A2，然后利用P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)求事件A发生的概率.但很难求出P(A1)与P(A2)的值，需要教师给予适时点拨，即引导学生将复杂事件表示为简单事件（也就是），进而利用互斥事件的和事件的概率的加法公式解决问题.另外，由于“中奖”这一事件比较复杂，因此也可以考虑求其对立事件发生的概率，然后利用性质4解决问题.在该问题中，计数是重点，由于样本空间包含的样本点较多，如何不重不漏地表示各个事件包含的样本点的个数是正确解决该问题的关键.

师生活动：学生先独立思考，再小组交流，思考解决该问题的方法.对于有困难的学生，教师可以给出如下引导：如何表示“中奖”这一复杂事件？如何不重不漏地表示出所有的样本点？

对于样本点的表示有以下预设.

预设1：记2罐有奖饮料分别为a，b，记4罐无奖饮料分别为C，D，E，F，则可以借助表格列出所有的样本点，如表2所示.

表2 所有的样本点

预设2：记2罐有奖饮料分别为a，b，记4罐无奖饮料分别为C，D，E，F，则可以借助树状图列出所有的样本点，如图4所示.

预设3：可以借助树状图来表示相应事件的样本点数，如图5所示.

【设计意图】例2为运用概率的基本性质求解较复杂的概率问题，主要让学生体会可以根据事件的关系和运算，利用简单事件表示复杂事件，并借助表格和树状图等表示所有样本点.体会图表表征的直观性，以及数学运算的本质是化繁为简，提升学生的直观想象和数学运算等素养.

4.反思总结，构建知识网络

问题7：回顾我们的研究过程，你运用了哪些方法？有什么体会？

师生活动：在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，结合本节课的研究过程，并尝试给出表3.

表3

【设计意图】引导学生回顾并内化本节课研究问题的思路和方法，加深学生对概率的基本性质的理解和认识.

四、对教学过程的说明

1.类比函数的研究，形成研究思路

概率论的研究对象是随机现象，与函数、几何与代数等主题不同的是概率论的研究对象更加复杂.因此，在中学阶段，对于学生来说概率论的学习是一个难点.

我们有很多种方法构建概率的研究路径.例如，可以从事件的关系和运算入手，也可以类比长度、面积的性质等来研究概率的性质.但是新教材的编写理念是概率的研究路径应该体现“研究一个数学对象的基本套路”.根据概率的定义，如果一个随机试验的样本空间为Ω，那么对于任意的事件A⊆Ω，都有唯一确定的实数P(A)与之对应，可以发现概率可以看成定义在样本空间（有限样本点）子集上的“集函数”，因此可以类比函数的研究方法来研究概率.尽管函数的研究对象、研究内容和研究方法都与概率有很大不同，但是这样的类比至少在入门阶段可以给学生提供研究方向的指引，有效消除学生对概率的陌生感.

2.重视思维的训练，促进素养发展

在理解教材编写意图的基础上，引导学生发现问题和提出问题，并以问题串的形式引领学生的思维.问题1从研究一个数学对象的角度提问题，问题2带领学生回顾概率的定义，问题3让学生思考应该从哪些角度研究概率.三个总领性的问题，有助于引导学生经历从数学角度发现问题和提出问题.问题4重在培养学生思维的严谨性，对猜想得出的命题，要经过严格的“证明”才能作为结论，有助于学生经历从数学的角度分析问题.概率的基本性质有助于简化概率的计算，在新知应用环节，借助树状图和表格等可以直观看出各事件间的关系，为利用性质求解复杂事件的概率做出了示范，这有助于学生经历从数学的角度解决问题.这样的教学有利于发展学生的“四基”，提高学生的“四能”，促进学生核心素养的发展.

3.关注学生的发展，体现立德树人

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）明确指出，数学核心素养的发展具有连续性和阶段性，要引导学生从整体上把握课程，实现学生数学核心素养的形成和发展.注重从整体的角度理解和把握教学内容，能够根据学生的实际情况，在学生思维的最近发展区提问题，并让学生经历获得数学对象、研究数学对象和应用数学对象的全过程.在教学过程中，注重数学思想方法的渗透和学生的主体地位，在教给学生知识的同时，关注学生能力的提高和长远的发展.整个教学过程给学生渗透数学是“讲理”的，让学生在数学的学习过程中养成理性思考、严谨做事的习惯，从而达到数学育人的目的.

五、结束语

教无定法，贵在得法.在新教材的实施过程中，肯定会遇到各种困难，作为一线教师，要认真研读《标准》，理解新教材.在“双减”的大背景下，正确理解教材的编写意图是做好教学的关键.核心素养的培养不是一蹴而就的，需要教师在平时的教学中深入思考每个问题的本质和来龙去脉，这样才能让学生真正理解数学，才能逐步培养学生思维的深刻性，才能提升学生的数学核心素养.