函数概念的认知困难与教学片断设计

吴文卉，陈丽敏

（沈阳师范大学）

高中函数概念既承接了初中自变量与因变量的关系，也为后期基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等）的学习奠定了基础，甚至对于高等数学的学习也具有基础性作用.因此，函数在高中数学中占有重要地位.但是，学生在高中函数概念的学习中存在诸多问题.例如，学生对于用对应关系说刻画函数的必要性、两个函数是否相同的判断、抽象函数定义域的求法、抽象函数表达式的求法等存在困惑.本研究以生成学习理论为基础，针对学生函数学习过程中存在的四种认知困难，对函数概念进行了教学片断设计，并提出了教学建议.

一、函数概念学习中存在的认知困难

1.在用对应关系说刻画函数方面

学生在学习函数概念时常常会心存疑惑，主要表现在两个方面：一方面，不理解f(x)与初中所学的因变量y有什么区别，即不知道为什么出现这个符号；另一方面，不理解f(x)这个符号的每个部分，如f表示什么，括号有什么意义.产生这种现象的原因在于学生未能建立起“已有认知结构中的y”与“新知识f(x)”之间的联系.没有联系，就失去了区分两者的前提，也就不能理解用f(x)这个符号来表示函数的必要性.

2.在两个函数是否相同的判断方面

在判断两个函数表达式“是否表示同一个函数”的时候，学生存在一些认知困难.例如，对于下面两个问题，学生可能给出如下错误答案.

错误1：不是同一个函数，因为f与g这两个函数的符号不一样.

错误2：不是同一个函数，因为x与t不一样，自变量不一样.

错误1：不是同一个函数，因为f与g这两个函数的表达式不同.

错误2：是同一个函数，因为f与g这两个函数解析式化简之后相同.

这些错误表明，学生不理解函数的对应关系是否受到表示变量所用字母的影响、数学表达形式的影响和定义域对于函数的影响等.产生这种错误的原因是学生不能很好地掌握构成函数的要素（定义域、对应关系和值域）.判断两个函数相同需要判断两个函数的三要素完全相同.事实上，值域可以由定义域和对应关系完全确定，所以只需要根据“定义域相同”和“对应关系相同”两个条件来判断两个函数是否相同即可.

3.在抽象函数定义域的求法方面

在求解抽象函数定义域时，学生会存在认知困难，导致无法正确作答.

问题3：f(x+3)的定义域为[1，2]，求f(2x+3)的定义域.

错误解法1：f(x+3)的定义域为[1，2]，f(2x+3)的定义域也为[1，2].

错误解法2：f(x+3)的定义域为[1，2]，x+3∈[1，2]，因此x∈[-2，-1]，则有2x+3∈[-1，1].所以f(2x+3)的定义域为[-1，1].

这些错误表明，学生并不理解这类题型考查的内容.即使部分学生给出正确答案，也存在生搬硬套教师的做法（如“换元法”），却对原理模糊不清.产生这种现象的原因有两个方面：一方面，学生对“函数的定义域”的概念模糊不清，教师没有深入引导学生思考“函数的定义域”这一抽象概念的本质属性；另一方面，抽象函数和复合函数的概念超出学生的认知范围.

4.在抽象函数表达式的求法方面

在转化抽象函数表达式时，学生会存在诸多认知困难，导致难以入手，正确率较低.

错误表明，学生通常不理解上面这类题型考查的重点，使用拼凑法做不出来的时候会选择换元法，却不知道用谁来替换谁，或者忽视定义域.产生这种现象的原因来源于两个方面：一方面，学生不能很好地把握函数的抽象概念；另一方面，在基本初等函数的内容中还没有安排“复合函数”的相关知识，对于f(g(x))型函数，学生的理解存在困难.

从上面的分析中我们可以看出，学生对于高中函数概念的理解存在诸多困难.为了解决学生的认知困难，本研究以生成学习为理论基础，通过引起学生的选择性注意，帮助学生主动建构，进行教学片断的设计，并给出教学建议.

二、生成学习理论介绍

美国教育心理学家M.C.维特罗克提出的生成学习理论，解释了个体知识的建构过程，将学习定义为：在先前的结构性与非结构性知识经验的基础上，学习者主动构建内部心理表征的过程.

生成学习的发生需要具备两个前提：第一，人们在头脑中生成新事物的意义总是与他们以前的经验相结合，即理解总是涉及学习者的认知过程及其认知结构，包括原有记忆中的语义、图示、规则、表象或言语信息，以及信息加工策略；第二，人脑并不是被动地接受环境中的感觉信息，它总是主动地注意和选择一些信息，并从中得到推论，在建构中生成信息的意义.

根据生成学习理论，学习的生成过程就是从学习者主动地对信息进行选择和注意开始，并在学习者原有认知结构与新信息（知识）的相互作用中，建构新信息意义的过程.一方面，该过程强调了已有经验会影响学习者在学习过程中对信息的选择与注意；另一方面，该过程强调了试图理解，就是在反复构建联系、检验联系，直到新信息与头脑中已有经验达到同化或者重组的过程.

三、基于生成学习理论的教学设计

片断1：“用对应关系说刻画函数的必要性”教学片断.

师：同学们，初中阶段我们学习过哪些函数？

生1：一次函数、反比例函数和二次函数.

师：在一个变化的过程中，我们怎么判断因变量y是关于自变量x的函数？

生2：每一个x都有唯一确定的y与之对应.

师：以往的各种函数，无论是一次函数、二次函数还是反比例函数，都是在用函数的解析式描述一个变化的过程.请大家看下面的几道例题.

例1某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为s=350t.

师：s是t的函数吗？当时间t=1 h时，路程是多少？t的取值范围是什么？对应的s的取值范围是什么？你能用集合表示s和t的范围吗？（学生回答略.）

师：这个函数其实是“t的变化范围的集合”与“s的变化范围的集合”之间的对应关系.

例2某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多工作6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是关于他工作天数d的函数吗？

师：你能写出w关于d的表达式吗？根据表达式，对于任何d都可以计算出对应的w吗？（学生回答略.）

师：我们应该强调d和w的取值范围，你能用集合的语言表达d和w的取值范围吗？w是关于d的函数吗？

例3图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数（AQI）的值I？

师：I是关于t的函数吗？你能写出I关于t的表达式吗？t的集合是什么？I的集合是什么？两者存在对应关系吗？（学生回答略.）

师：虽然在这个情境中I和t之间的关系无法用解析式表示，只能用图象表示，但是它也是函数.

表1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况

师：你认为年份y与恩格尔系数r之间是函数关系吗？你能用集合语言与对应关系表达吗？（学生回答略.）

师：由上面的四个例子我们可以看出，函数的表达形式有很多种，可以是解析式、图象或表格.它们有哪些共同的特点？（学生回答略.）

师：我们可以从集合对应关系的角度重新给函数下一个定义，这样我们就能够将各种表达形式的函数统一表示出来.

函数定义：给定两个非空实数集合A和B，以及对应关系f，若对于集合A中的每一个实数x，集合B中有唯一实数y和它对应，则称y=f(x)为集合A上的函数，记作：y=f(x)，x∈A.

教师示范书写函数的某几组对应关系.例如，f(2 006)=36.69，强调书写规范.

师：观察一下怎么书写.

生3：把自变量x写在f后面的括号里，然后就可以等于因变量y了.

师：总结得很好！那么，为什么用字母f呢？这是因为函数在英语中是function，所以我们简写为f.

师：函数的新定义强调了对应关系，但是仍然需要关注它的定义域和值域.如果我们把函数类比为一台机器，它可以接受输入的指令，依照它的程序——也就是对应关系，会得到唯一确定的输出.那么这台机器可以接受的所有输入指令，就叫做这台机器的定义域，所有输出叫做这台机器的值域.例如，，这台机器可以做出的运算为“取算数平方根再加1”；它可以接受的范围是x∈[0，+∞)，因此[0，+∞)就是这个函数的定义域；它可以输出的范围是f(x)∈[1，+∞)，因此[1，+∞)就是这个函数的值域.

【设计意图】函数概念的生成，需要学生主动对信息进行选择和注意，并在原有认知结构与新知识的相互作用中建构函数的意义.该教学片断的核心有两个：一是通过四个函数的例子引发学生的认知冲突，使学生意识到用集合语言与对应关系刻画函数相比于初中函数概念的定义更加完善.二是通过将函数类比于“机器”，更加生动地建立起学生对函数概念的心理表征.此处如果能通过声音、画面进行多元表征，可以达到更好的效果.从生成学习理论来看，充分的例证可以使学生反复理解、构建联系、检验联系，直到新信息与头脑中已有经验达到同化或者重组.

片断2：“两个函数是否相同的判断”教学片断.

问题1：函数的三要素是什么？（学生回答：定义域、对应关系和值域.）

问题2：如果两个函数的三要素相同，我们当然可以认为它们是同一个函数.如果只有定义域相同，函数能不能确定？（教师追问：只有对应关系相同呢？只有值域相同呢？）

问题3：如果函数的三要素中只有两个要素相同，我们可以认为函数相同吗？

教师引导学生进行思考并自主分析，或者引导学生举出反例，正、反例如表2所示.

表2

师：我们可以通过判断两个函数的定义域和对应关系来判断两个函数是否一致.就像两台机器，只要它们的操作程序相同，可以接受输入的指令相同，它们的输出一定会相同.例如，.这两个函数的操作，本质都是求算术平方根，这台机器叫做f还是g，不影响它的本质；这两个函数的操作对象，都是区间[0，+∞)上的所有数，我们把在括号放入的内容叫做x还是t，不影响它的本质.也就是说“字母是浮云”.

习题与讲解如下.

练习1：f(x)=x2与g(x)=|x|是否为同一函数？

讲解：这两个函数的定义域和值域相同，但是对应关系不同.

练习2：f(x)=x2，x∈[0，+∞)与g(x)=x2，x∈[-1，+∞)是否为同一函数？

讲解：这两个函数的定义域不同，不是同一个函数.也就是说，把x=-1分别输入这两个机器，机器g会算，而机器f不会算.

练习3：f(x)=x(x+1)-x与g(x)=x2是否为同一函数？

讲解：这两个函数经过化简，对应关系相同，定义域都是全体实数R，所以是同一个函数.

讲解：这两个函数经过化简，对应关系相同，但是f的定义域是x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，g的定义域是全体实数R，所以不是同一个函数.

【设计意图】生成学习理论认为，人脑并不是被动地接受环境中的感觉信息，它总是主动地注意与选择一些信息，并从中得到推论，在建构中生成信息的意义.该教学片断有三个核心：一是通过学生的自主讨论，明确判定两个函数相同的充分必要条件是定义域和对应关系相同；二是“字母是浮云”的总结，从学生的兴趣点出发，形象、生动地体现出“函数的表达与字母的使用无关”，这种生动的表达可以使学生具有持续的兴趣保持选择性知觉，符合生成学习理论；三是问题串的设计，概括了多种变式与常见的反例，通过实例与操作，使得学生可以充分理解“判定两个函数相同的方法既要看对应关系，又要看定义域”这个结论.

片断3：“抽象函数定义域的求法”教学片断.

师：我们把f的操作对象，也就是想要操作的东西放在了括号里，因此括号就是f的接收口，放在括号里的可以是数字，也可以是代数式.例如，，就是首先把9放在括号里，通过机器对应一次之后，再把答案3继续放在括号里，再次经过机器输出.而f(-f(9))就是把9放在括号里，通过机器对应一次之后，再把答案3变成相反数-3，继续放在括号里，但是不符合定义域了，所以无法继续计算.f(x+1)就是把x+1放进了括号里.

问题3：f(x)和f(x+1)这两个函数都是f，定义域却不同，矛盾吗？（学生回答：不矛盾，对于函数f(x+1)来说，当x∈[-1，+∞)时，x+1∈[0，+∞).因此对于这两个函数来说，放入括号中的内容都是[0，+∞).）

问题4：阅读问题“f(x+1)的定义域为[2，5]，求f(x)的定义域”，并思考.

（1）什么叫做定义域？题目中的定义域指的是自变量的取值范围，还是f的可操作范围？（学生可以自由表达.）

（2）如果我们想表达f的可操作范围是[2，5]，我们应该如何书写？大家用数学语言试一试.（学生回答：f(x)的定义域是[2，5].）

（3） 题中f(x+1)的定义域是x∈[2，5]，但是x并不是放入括号中的内容.大家可以自己说一说这部新机器的可接受范围吗？（学生回答：x+1∈[3，6]，放入括号中的内容是x+1，可接受范围是[3，6].）

习题与讲解如下.

练习1：已知函数f(x)的定义域是[2，8)，求函数f(8-3x2)的定义域.

讲解：函数f(x)的定义域是[2，8)，放入括号中的内容需要属于区间[2，8)，函数f(8-3x2)中放入括号中的内容是8-3x2，所以8-3x2需要属于区间[2，8).由8-3x2∈[2，8)，解得x2∈(0，2].因此f(8-3x2)的定义域为

练习2：已知函数f(2x+1)的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域.

讲解：函数f(2x+1)的定义域为[a，b]，放入括号中的内容需要符合[2a+1，2b+1].所以f(x)的定义域是[2a+1，2b+1].

练习3：已知函数f(x+3)的定义域为[-4，2]，求f(2x+3)的定义域.

讲解：函数f(x+3)的定义域为[-4，2]，放入括号中的内容需要属于区间[-1，5].在函数f(2x+3)中，放入括号中的内容是2x+3，所以2x+3需要属于区间[-1，5].由2x+3∈[-1，5]，解得x∈[-2，1].因此f(2x+3)的定义域为x∈[-2，1].

练习4：已知函数f(x)的定义域为[1，3]，求的定义域.

讲解：函数f(x)的定义域是[1，3]，在这个表达式中，放入括号中的内容是和.因此和都需要属于区间[1，3]，解得.因此的定义域为.

【设计意图】该教学片断有三个核心：一是引导学生经历从具体函数到抽象函数的转变，反复强化“机器的操作范围”、反复说明放入括号中的内容需要满足什么条件，目的在于把抽象概念具体化，有效建构新信息的意义；二是通过设置问题，区分定义域是“x的取值范围”还是“函数的可操作范围”，直接指向学生的认知误区，学生通过自己动手书写正确的形式，更容易促进生成学习的发生；三是通过正向、逆向，以及两者综合，训练了三种题型，其本质分别是：给出f(x)的定义域，求f[g(x) ]的定义域；给出f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域；给出f[g(x) ]的定义域，求f[h(x) ]的定义域.

片断4：“抽象函数表达式的求法”教学片断.

师：已知函数f(x)=x2，求f(x-1).

生1：f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.

师：我们需要计算f(x-1)，就用x-1替换了x的位置，放进括号中.接下来，我们再来看题目“f(x+1)=x2+2x+1，求f(x)”.

生2：f(x+1)=x2+2x+1=(x+1)2，f是一种平方的运算，所以f(x)=x2.

师：这种方法就是拼凑法了.大家可以思考一下我们是怎么拼凑的.

生3：先凑出x+1，再用x替换.

师：有一些问题，直接拼凑出答案比较困难.例如，f(x+1)=x2+4x+3，求f(x).大家可以先尝试解一下.

师：既然我们想凑出x+1，并用x替换它，不妨令x=x+1，但是这个表达式中的两个x容易混淆，所以我们可以把这题目改为“f(x+1)=x2+4x+3，求f(t)”.这样修改之后，我们求的还是同一个函数吗？

生4：是，因为“字母是浮云”.

师：令t=x+1，我们的目的是让表达式x2+4x+3中所有的x都消失不见，只存在t.所以我们需要用t表示x，即x=t-1.将此式代回f(x+1)=x2+4x+3，可以得到f(t)=(t-1)2+4(t-1)+3.整理，得f(t)=t2+2t.但是题目要求的是f(x)，我们应该怎么办？

生5：f(t)=t2+2t等价于f(x)=x2+2x，因为“字母是浮云”.

师：做这种题目，有两种基本方法——拼凑法和换元法.谁能梳理一下换元法的思路？

教师帮助学生总结步骤：①令t等于括号里的内容，用t反向表示x，求出新元的取值范围，即函数的定义域；②把整理好的算式代回，用t表示x并整理；③依据“字母是浮云”的原则，把关于t的算式变化回关于x的算式.

师：这道题目该如何求解？

生6：①令，用t反向表示x，得到x=(t-1)2；②把整理好的算式x=(t-1)2代回，用t替代x并整理，得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1；③ 依据“字母是浮云”的原则，把t变化回x，得f(x)=x2-1.

生7：没有关注到定义域.

师：很好！因此还应该关注x的取值范围，它的取值范围也就是哪个变量的取值范围？

生8：t的取值范围.，所以t的取值范围应该是t∈[1，+∞).

师：这个关注定义域的步骤应该放在哪一步进行？

生9：第一步，令之后就应该给出t的取值范围.

【设计意图】该教学片断有三个核心：一是用拼凑法引出换元法，让学生自主分析出抽象函数关系式的转化问题的解决步骤，学生通过自己总结，会增强理解程度和记忆深度；二是习题设置针对学生易错点，并在求解过程中进行纠错，这种纠错过程充分巩固和完善了学生的认知结构，符合生成学习理论的观点，即当新经验与原有经验结构有冲突时，更容易导致原有认知结构的重组；三是将前面的相关知识进行串联，复习了前面的“两个函数是否相同的判断”“字母是浮云”“抽象函数定义域的转化”等知识点，并进行了系统化的梳理.

四、反思与启示

高中函数本身的抽象性和学生抽象思维水平的限制导致学生学习函数概念时产生了认知困难.因此，教师基于数学学习理论进行教学设计显得尤为重要，而生成学习理论可以有效帮助学生解决这些认知困难.

具体来说，教师的教学应该注意以下几点.

第一，教师要提升自己对函数概念本质的理解，明确高中阶段与初中阶段函数概念的区别和联系，使用集合语言和对应关系刻画函数的变化特点，以及函数定义进一步抽象化的必要性与演变过程.也就是说，与初中阶段函数的“过程说”相比，高中阶段的函数定义强调了实数集与实数集之间的对应关系，因此不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，扩展了函数研究的内涵与应用的范围.

第二，构建适宜的支架，用熟悉的情境促进学生对信息进行主动选择和注意，再逐步引发认知冲突，帮助学生构建函数的一般概念，体会用“对应关系说”定义函数的必要性，有层次地引导函数概念的抽象过程.

第三，树立整体观的教学思想，衔接初、高中知识，重视知识产生过程中的引导，使学生进行有意义的思考，并在自己的头脑中建构出函数定义域的知识与图示，完成函数概念的生成过程.

第四，在发现学生出现错误时，教师应该仔细分析错误成因，理解学生的认知困难与认知障碍，有的放矢，针对性讲解.例如，当学生求复合函数的定义域存在困难时，教师采取“机器操作范围”的形象比喻来帮助学生理解.这样才能促进学生深入理解函数概念的本质，并完成新信息与头脑中已有经验的重组，进而完善与巩固新的认知结构.