高中数学函数性质复习课的教学思考

傅秋平

（浙江省杭州市西湖高级中学）

一、问题提出

1.同类错误一错再错

目前，高三复习课堂大多数采用“教师讲、学生听”的模式.教师给出正确解法，学生再次遇到同类问题时，自己最初的想法虽然缺乏逻辑但是根深蒂固.教师忽视了学生容易犯的错误，导致这些错误一而再再而三地出现.因此，在教学过程中，教师必须提供机会让学生分析、思考和争辩，找出错误的原因.

2.解题思维停滞

函数性质问题往往入口宽、上手易.但是在解题过程中，学生的思维容易在某一处或某几处搁浅.如何突破教学中的难点，用什么方法来突破难点，是高中数学教师要着力思考和引导学生的.许多函数性质问题学生无从下手，笔者试图把这些问题变成丰富多彩的课堂活动，并构建模式引领，引导学生做到举一反三，从而提升学生的数学核心素养.

3.对问题本质的理解不够

函数的表达式变化多端.函数性质问题对学生的思维要求较高，学生常会因为缺乏解题经验和思想方法的引领而束手无策.出现这样的问题，归根结底还是因为学生对函数问题的本质理解不到位，没有透彻理解“形”与“数”的相互转化.

本文根据笔者的实践和思考，通过说、画、练、悟“四步走”教学法，以期提高函数性质复习课的教学效率，让学生学会举一反三，走出困境.

二、核心概念和实践意义

1.核心概念

“四步走”即说、画、练、悟.通过积极调动学生的嘴、耳、手、脑等多种感官，促进学生全身心地参与课堂活动.说解题依据，让学生动口，读懂题目，明确方法；画思维导图，让学生动手，整体设想，明确步骤；通过练习，渗透数学思想方法，扫清思维障碍；构建模式开悟，让学生学会举一反三.

2.实践意义

（1）“四步走”教学法有助于提高学生的逻辑思辨能力.

通过说解题依据，让学生发现认知上的不足，让学生去分析、思考和争辩，找出问题所在，有效提高学生的思辨能力和逻辑思维能力，从而使学生在以后的学习中不会再犯同类错误，增强他们的逻辑分析能力.

（2）“四步走”教学法有助于以生为本教学理念的落实.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调要以学生发展为本，落实立德树人根本任务.教师的教学要以学生为本，学生是学习的主人.“四步走”教学法借助一系列学生活动，通过让学生动口、动手和动脑，暴露认知上的不足和思维上的欠缺，真正把以生为本的教学理念落到实处.

三、优化高中数学函数性质教学的策略

1.说：说出解题依据，追问背后的原因

孔子曰：“疑是思之始，学之端.”通过查找证据反思解题过程、解题方法和解题技能，让学生发现解题过程的科学性和合理性，让学生意识到认知结构与学习内容的冲突，产生思维动力，提出疑问，进而去分析和思考，找出问题，引起注意，避免今后出现同样的错误.

（1）查找证据——回顾解题依据.

学生的思源于疑问，疑问源于错误.通过反思解题过程，把解题过程中的审题、分析和依据按照一定规律和顺序说出来.有效交流，思维碰撞，落实以生为本，激发学生学习数学的热情，锻炼学生的数学表达能力，使学生对数学概念的理解更深入.同时，这种以生为本的互动式交流，既可以实现师生智慧与能力的互补，又能促进师生情感的沟通.

例1求的最大值和最小值.

学生解答该题时出现错误，表面上看是由于学生没有掌握好f(x)=Asin(ωx+φ)的相关知识，不能画出函数的图象，实质上是学生不能利用复合函数的单调性求函数的最值.

个别学生代入端点求最值，但是说不出依据.教师可以通过问题“为什么f(0)是函数的最小值？”进行追问，引导学生思考借助函数的单调性求最值.

在回顾解题依据的过程中，学生不断反思每个解题步骤，做到有据可查、有理可依，从而更加深入地理解知识点之间的联系，学生的逻辑思维能力和思维的严密性也会得以提升.

（2）思辨错误原因——分析背后的原因.

说错题，即把错误原因用语言表达出来.学生说错题时，以任务为根本、以交流为手段陈述心得体会.对于学生出现的错误，教师不要立刻给出正确解答，而是要挖掘学生出现错误的深层次原因，从而确保学生下次不会犯同类错误.

例1中采用端点代入来解答的学生出错的根本原因在于缺乏利用单调性求最值这一基本思想.如果对其稍加追问，就能启发其思考错误的深层次原因.函数的最值是在函数的单调性的学习基础上进一步研究的，让学生思辨，能启发学生利用单调性求最值.

教师可以让学生不拘束地表达、交流与反思，在生生和师生之间进行有效的思维碰撞，帮助其找到错因，促使学生形成相互联系的知识结构，提高学生的思维能力.

2.画：画出思维导图，克服思维僵化

函数的性质内容跨度较大，对学生的逻辑推理能力要求较高，需要学生在头脑中厘清知识点，建立知识点之间的联系，并进一步构建知识网络.让学生画思维导图不失为一个好策略.画思维导图有利于学生建立起知识点与知识点之间的联系，防止学生思维停滞，能有效提高解题教学的效率.

（1）联结已学——回顾相关知识.

函数的性质涉及定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，范围较广，有时还会涉及三角函数、不等式等其他章节的内容.在具体解题过程中，需要用到哪些公式、定理和结论，哪些知识点是可以帮助解题的，需要学生有效调动已有认知，搜索该题涉及的知识点，并找出知识点之间的联系.

例2已知函数，其中a≠0，.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）当a=1时，若对任意x∈(0，1]，不等式f(x)+g(x)＜m恒成立，求整数m的最小值.

解答该题，需要先回顾求导法则和求导公式，即[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)，[cf(x)]′=cf′(x)，

已经学习的公式、定理和结论是解题的基石，具体涉及哪些公式、定理和结论，需要学生在头脑中及时、准确地整理出来，并在具体解题中加以应用.

（2）逻辑思考——画出思维导图.

有些学生列出公式后没有能力继续答题，思维停滞.深入研究发现主要原因在于他们缺乏逻辑推理或者未找到相应的解题路径，导致解题中断.此时，教师应该引导学生结合问题回想知识网络，并以思维导图的形式呈现出来，找出知识之间的内在联系，然后应用到解题中.对于计算过程复杂的问题，如果学生解题目标模糊，思维停滞，找不到解题方向，思维导图可以帮助学生清晰地厘清解题思路.

对于例2中的函数f(x)+g(x)=lnx+(x-2) ex-x，学生难以画出其图象.根据函数解析式也难以进行有效联想和变形，无法将其转化为熟悉的基本初等函数，于是学生开始求导.令F(x)=lnx+(x-2) ex-x，求导，得.化简并整理，得.此时，令F′(x)=0，学生无法求解这个方程，主要原因是方程的解超出了学生的能力范围.还有部分学生由于函数F(x)的求导过程太复杂，迷失了方向，不知道求导是为了什么.

师生共同讨论，画出如图1所示的思维导图.有能力的学生独立完成.

思维导图有助于启发学生的解题思路，为学生的解题提供方向，防止学生的思维停滞不前，助力学生逻辑推理能力的提升.

3.练：练习扫除障碍，渗透思想方法

思维导图虽然为学生提供了理论上的解题方向，但是要想顺利解题，还需要学生进行实践.学生在练习中遇到障碍的根本原因是没有抓住问题的本质.在教学中，教师要通过典型例题，渗透思想方法、探析解题思路，引领学生突破思维障碍，抓住问题的本质，提高数学核心素养.

（1）识别结构——探寻解题思路.

函数问题主要研究函数的三要素和函数的三个性质（单调性、奇偶性、周期性）.教师要引导学生梳理、归纳相关知识点，帮助他们构建知识体系，有意识培养学生识别函数结构的能力，从而夯实基础，提升能力.同时，在探索解题思路的过程中，要注重数学思想方法的引领作用，重视数形结合和换元法等数学思想方法的应用.

例3求的取值范围.

对于该题，很多学生没有解题思路，原因是他们没有意识到利用单调性可以求最值.

通过换元，该题可以转化为熟悉的函数.令t=ex(t＞0)，则有，进一步.借助数形结合可以顺利求解此题.

函数的表达式千变万化，不同的表达式会对应不同的解题思路.理解函数的单调性，借助数形结合思想，可以游刃有余地求出函数的最值.

（2）思想引领——突破解题瓶颈.

针对学生解题过程中出现的思路中断和思维凝固，教师应该怎么引领？只有对学生的思维节点进行分析，找出出现解题瓶颈的原因，在学生思维的最近发展区内启发学生，同时内化换元、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，探索解题思路，才能真正培养学生的思维能力，发展学生的数学核心素养.

教师要研究学生思维受阻的深层次原因，不能单纯让学生死记硬背，而要注重数学思想方法对学生解题思路潜移默化的引领作用.

4.悟：构建模式开悟，拓展学生思维

教育家苏霍姆林斯基曾说，在课堂上不要总是教师在讲，要让学生通过自己的努力去理解，只有这样他们才能真正掌握知识.教师的任务在于“度”，学生的任务在于“悟”.因此，复习课教学应该引导学生的联想意识和探究意识，让学生联想“原题”（化归）及题目的“变式”（拓展），培养学生举一反三、触类旁通的能力，从而顺利完成知识的迁移，实现从意义建构到能力生成.

（1）正本清源——回归经典题目.

很多高考试题都能在经典题目中找到影子.如果能联想经典，抓住本质，就可以启发学生的解题思路，触类旁通，帮助其掌握一类问题的解题路径.

在利用基本不等式求最值时有这样一道题.

例4已知正数x，y满足2x+y=1，求的最小值.

变式：设x+2y=2，若x＞y＞0，则的最小值是______.

学生解答变式题时会遇到困难，这就需要联系原题.解答该题的思维障碍是如何构建可以利用基本不等式的条件.令m=x-y，n=x+5y，通过换元得，进而得到m+n=4.由此，变式题就转化为与例4同类型的题目了.

例4及其变式的本质都是积为常数和有最小值，变式对例4的内涵进行了扩充.通过回归经典题目，学生对知识的应用熟练了，对数学思想方法的领悟更深入了，应用知识的能力得到了强化，举一反三的能力也得到了培养.

（2）触类旁通——发展学生思维.

高考数学试题新颖、灵活，教师要引导学生理解其“万变不离其宗”的特点，加强“四基”“四能”的落实，提高数学关键能力.围绕数学基础知识、基本技能和基本方法，通过适当变式，加强解题规律的总结与提炼，使学生逐步领悟一类问题的思想方法，形成特定类型问题的块状思维与链式反应，积累解题基本活动经验.

例5已知函数f(x)=ex-ax-1，令g(x)=f′(x).

（1）若函数g(x)的图象与直线y=2x-1相切，求实数a的值；

（2）若不等式g(x)-lnx＞0恒成立，求整数a的最大值.

该题看似新题，实则与例2考查的是同一关键能力.教学中，教师要通过对题目的适当变式，引导学生总结解题规律，帮助学生透过现象看本质，层层递进，提高思维能力，最终掌握解决一类问题的基本方法.

四、高中数学函数性质教学的实践效果

1.不再出现同类错误

说解题依据，暴露学生解题的思维过程，以及学生学习的缺陷和错误的解题习惯，使学生及时反思，学会通过掌握问题的本质和解决问题的通性、通法解决问题.

2.增强逻辑推理能力

通过画思维导图，抓住契机激发学生的学习动机，使学生重视知识点之间的联系，提升他们的逻辑推理能力，发展数学核心素养.

3.摸透问题的本质

在解题思路的引领下，实施变式教学，透彻理解问题的本质.重视数形结合思想方法在解题中的应用，在函数问题中突出“形”的作用，在零点问题中注重“数”的推理，提高学生的思维能力.

本文通过在函数性质的求解中采用“四步走”教学法，充分调动学生学习的积极性.教师要以学生发展为本，在解题教学中渗透数学思想方法，突出逻辑思维训练，使课堂教学更加有效.