一般观念指导下的复数单元主题教学研究

刘子丽

（四川省成都市西北中学）

新一轮数学课程改革旨在通过高中数学课程的学习，让学生在获得“四基”、提高“四能”的过程中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.高中数学单元主题教学以落实立德树人为根本任务，发展学生的思维能力，培育学生的科学精神和创新意识，提升学生的数学素养为目标，围绕四条主线中具有统摄性的一般观念，加强对数学整体性的认识，以具有整体性的知识单元为载体，从知识的联系性出发进行单元主题教学设计，并展开课堂教学.

一般观念是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析，以及发现和提出数学问题等具有指路明灯的作用.

在单元教学中，对于复数的研究应该在一般数系扩充观念的思维引领下，按研究运算对象的基本套路展开，注重在“规则”的引导下扩充数系；突出复数的表示和运算的几何意义，体现数与形的融合；加强复数与相关知识的联系，体现数学的整体性；重视对数形结合、转化与化归、类比等数学思想的渗透，促进学生数学核心素养的提升.

一、复数单元教学的意义

复数的引入是中学数学中数系的最后一次扩充.通过对复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识，体会数系扩充过程中理性思维的作用.复数为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径.同时，为学生今后在大学学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础.

复数内容突出了复数的表示和运算的几何意义，体现了数与形的融合.同时，本单元的知识蕴含了转化与化归的数学思想，以及类比的研究方法.因此，运用好本单元的相关知识素材，可以让学生体会有关数学思想和方法，有助于提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

二、新版教材中复数内容的分析

人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）进一步落实《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“通过方程的解，认识复数”的要求，增加了解一元二次方程的内容，在此基础上给出复数范围内实系数一元二次方程的求根公式.同时，为了进一步建立复数与平面向量、三角函数、平面几何之间的联系，增强学生对数学的整体认识，增加了复数的三角表示.从学习目标、教材的结构编排、教学内容、例题与习题中可以看到：新版教材中复数内容更加注重学生对引入复数的必要性和重要性的理解；突出复数的表示和运算的几何意义；关注复数与实数、多项式、平面向量和三角函数之间的联系.

1.注重学生对引入复数的必要性和重要性的理解

复数的引入源于历史上数学家对三次方程实根之间的矛盾所产生的困惑，其本质是负数能否开平方的问题.教材第七章的章引言中指出，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决.因此，从一元二次方程的判别式Δ＜0的问题情境出发，类比自然数系逐步扩充到实数系的过程及方法，考虑方程x2=-1在何种情形下有解，从而引出“i”，实现从实数系到复数系的扩充.通过对数系扩充基本思想的归纳，发展学生的数学抽象素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.

在完成对复数四则运算的探究和实数集到复数集的扩充后，教材在7.2.2节中增设了例6与章引言相呼应.

在复数范围内解下列方程：

（1）x2+2=0；

（2）ax2+bx+c=0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ=b2-4ac＜0.

从特殊到一般，在此基础上给出复数范围内实系数一元二次方程的求根公式，从而解决了实系数一元二次方程的问题，加深学生对引入复数的必要性和重要性的理解，提升学生对复数学习的兴趣.

2.突出复数的表示和运算的几何意义

教材从复数的本质是一对有序实数对出发，得到复数集与复平面内所有点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，从而得到复数的两种几何意义.在引入复数的三角形式时，教材从复数的向量表示出发，数形结合，利用三角函数知识推导出复数的三角表示，借助三角表示的几何意义将复数的乘、除运算转化为向量的旋转和伸缩变换.因此，教材特别注重数与形的结合，注重从几何角度引导学生认识、理解复数及其运算，注重提升学生的直观想象素养.

3.关注复数与实数、多项式、平面向量和三角函数之间的联系

因为复数既与有序实数对一一对应，又与平面上以原点为起点的平面向量一一对应，所以教材在给出复数的加法法则后，指出其与多项式加法、向量加法的联系，在给出复数的乘法法则后，指出其与多项式乘法的联系，以复平面内以原点为起点的向量为纽带，特别强调复数的三角形式及乘、除运算与平面向量和三角函数的联系.

三、学生的认知基础和认知困难

1.认知基础

通过初中和高一前期的学习，学生对从有理数系到实数系的扩充过程和方法，以及实数、多项式和平面向量的运算体系等已经有了基本的认识；具备解一元二次方程、合并同类项、用数轴上的点表示数的经验；会用有序实数对表示运算对象的平面向量；在三角函数概念的学习中，已经明确“如果角α终边上任意一点P(a，b)（不与原点重合）到原点的距离为r，那么”.这些都为复数的概念、四则运算和复数的三角表示的学习奠定了基础.

2.认知困难

复数与学生初中已学的实数在内容和方法上有诸多关联，但学生初中阶段积累的数系扩充经验在理性程度上还有待提升，尤其是对数系扩充过程中所蕴含的“基本思想”的理解不够深入.此外，相对于已学的数，复数是一个“二元数”，更加抽象，学生在理解上会存在一定的困难.

学生对复数与平面向量、三角函数之间关联的认识还停留在表层.因此，从复数的几何意义出发，建立复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内向量的大小与方向的联系，并借助三角函数探索复数的表示形式之间的关联，进而得到复数的三角形式，对学生有较大的难度.

四、一般观念指导下的复数单元主题教学策略

1.以运算观念统领复数单元主题教学

复数和实数、向量的研究路径类似.因此，在教学过程中，应该以“运算”这一观念来统领复数教学，在数系扩充一般观念的引领下，按研究运算对象的“基本套路”展开对复数相关问题的探究.

研究路径：背景—概念—基本性质—运算及其几何意义—联系与应用.

研究方法：类比、从特殊到一般、数形结合、抽象概括.

复数单元主题教学，按照研究运算对象的研究路径，从宏观到微观，以知识的逻辑顺序进行逐级划分.因此，对复数单元的教学可以按以下方案进行划分.

方案1：将本章的“7.1复数的概念”（2个课时）和“7.2复数的四则运算”（2个课时）作为第一个单元，主题为“复数的代数形式及四则运算”；将“7.3复数的三角表示”（2个课时）作为第二个单元，主题为“复数的三角形式及四则运算”.两个单元的教学路径如下.

单元1：复数的背景—复数的代数形式及其几何意义—复数的代数形式的四则运算及几何意义—联系与应用.

单元2：复数的三角形式的背景→复数的三角形式及其几何意义→复数的三角形式的四则运算及几何意义→联系与应用.

两个单元的研究路径和方法一致，且有递进关系，按研究运算对象的“基本套路”展开.

方案2：把选学内容和必学内容作为整体，进行整合，将“7.1复数的概念”（2个课时）和“7.3复数的三角表示”（第1课时）作为第一个单元，主题为“复数的概念与表示”；将“7.2复数的四则运算”（2个课时）和“7.3复数的三角表示”（第2课时）作为第二个单元，主题为“复数的运算”.

总体上按“复数的代数形式—几何形式—三角形式—复数的运算”的路径呈现（如图1），两个单元之间有很强的递进关系.

两个方案各有优点，但是考虑到复数的三角形式是选学内容，且更重要的是强调联系性，而不仅是表示和运算，最终新课部分选择了方案1进行设计，小结则按照方案2的路径呈现.

2.在规则的引导下扩充数系

在数学内部，数系的扩充不是盲目的，必须依据数系扩充的规则进行.本章教学应该充分考虑学生已有的数系扩充经验，类比从有理数系扩充到实数系的过程，强调扩充后的数系与实数系中的运算协调一致，且保持运算律不变，即扩充前后要遵循同样的加法和乘法规则，满足同样的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律.

当然，数系扩充也有其局限性.例如，有理数系扩充到实数系后，其形式若为有理数与无理数的混合时，进行加法运算就需要合并同类项；从复数系扩充到大学要学的四元数域时，就需要舍弃实数乘法运算中满足的交换律.因此，在教学中，既要考虑数系扩充规则的普适性，又要注意其局限性，把握好扩充的度.

3.渗透数学史实，感受理性精神

（1）在复数的引入过程中渗透数学史实，让学生认识引入复数的必要性.

复数的引入源于历史上数学家对卡尔达诺公式“不可能”情形，以及三次方程实根之间的矛盾所产生的困惑，其本质是负数能否开平方的问题.教学中，可以参考相关数学史实，根据学生的认知基础，从一元二次方程的判别式Δ＜0的问题情境入手，以引起学生的认知冲突，为自然地引入复数做好铺垫.让学生了解历史上引入复数的漫长而曲折的过程，深刻体会引入复数的必要性，以及人类理性思维在数系扩充中的作用.

（2）渗透数学史上有关解方程的问题，凸显复数系的重要价值.

引入复数后，教师可以通过教材第81页中的“阅读与思考”，结合数学史实，介绍一般的复系数一元多项式方程的解，给出代数基本定理，指出复数系是代数闭域，从解方程的角度进一步凸显复数系的重要价值.结合教材第91～92页的“探究与发现”，让学生查阅相关资料，了解棣莫佛定理，并通过研读教材体会利用复数的三角形式解决1的n次方根的研究思路和方法，为今后进一步学习复数的指数形式、复变函数论等高等数学知识奠定基础，感受复数的应用价值.

（3）在作业设计中渗透数学史实，提升学生学习复数的兴趣.

复数的三角表示沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，可以帮助学生进一步认识复数.为了让学生体会它们之间的联系，在作业设计中可以引入数学史，介绍欧拉公式，激发学生的学习兴趣和热情.例如，在复数的三角表示式的课后作业中设置以下拓展探索.

eiπ+1=0是数学里最令人着迷的一个关系，被称为“上帝创造的公式”.这个恒等式将数学里最重要的几个重要数字联系到了一起：两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π；两个单位——虚数单位i和自然数的单位1；被称为人类伟大发现之一的0.

事实上，eiπ+1=0 是欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ中当θ=π时的特例.欧拉公式有着极其重要的意义，它是连接复数与三角的纽带，是复变函数理论最重要的公式之一.大家试查阅相关资料，并说明以下问题.

①欧拉公式与三角函数、指数函数、复数有着怎样的联系？

②欧拉公式是怎么得到的？它是哪些知识的基础？它有什么作用？

为了让学生熟悉数系扩充的过程，了解数系扩充的辉煌历史，可以在复习小结课前设计前置作业如下.

以小组为单位，通过查阅相关资料，收集从实数系扩充到复数系的数学史料，对“整数—有理数—实数—复数”的数系扩充过程进行整理，并由组长在课前进行汇报.

通过收集和整理相关的数学史料、小组展示、师生互动交流，让学生体会数系扩充的合理性，以及人类理性思维在数系扩充中的作用.

（4）加强复数与相关知识的联系，体现数学的整体性.

联系性是本章的一条重要思想方法主线.本章把加强复数与实数、多项式、平面向量、三角函数的联系贯穿始终.

复数与有序实数对和平面上以原点为起点的平面向量一一对应，所以复数代数形式的加、减运算及其几何意义可以类比平面向量进行，乘、除运算也可以类比数与式（尤其是多项式）的乘、除运算进行.因此，在单元1的教学设计中，应该注重建立复数的四则运算与实数、多项式和平面向量等知识的多维联系，引导学生运用特殊与一般的关系，运用类比、数形结合等思想方法，认识复数概念的本质和复数的四则运算，培养学生的理性思维，从而真正把握本单元知识的联系性和整体体系.

在单元2的教学设计中，应该以复平面内以原点为起点的向量为纽带，建立多元联系表征，将复数与向量、三角函数和几何之间的联系显性化.通过联系三角函数中的象限角、（广义）三角函数的定义，把点Z(a，b)表示为另一种形式(rcosθ，rsinθ)，从而使学生理解复数的三角表示式的推导过程，体会复数的三角表示实际上是用另一种有序数对(r，θ)来确定一个复数.特别强调复数的三角形式及乘、除运算与平面向量、三角函数、平面图形变换（伸缩、旋转）的联系.

（5）突出复数的表示和运算的几何意义，体现形与数的融合.

从几何的角度认识和理解复数的表示及其四则运算的几何意义是贯穿本单元的另一条主线.在实际教学中，可以类比实数的几何意义和平面向量的相关知识得到复数的几何意义，复数z=a+bi(a，b∈R)均可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点又是一一对应的，所以复数z=a+bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应的.任何一个有序实数对(a，b)都可以看成某一平面向量的坐标，故复数z=a+bi(a，b∈R)与平面向量也是一一对应的.

复数的三角形式是从复数的向量表示出发，从几何的角度得出：向量的大小可以用复数的模来表示，其方向可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画，再由三角函数知识，利用向量的模和角来表示复数z=r(c osθ+isinθ).复数加减运算的几何意义是相应平面向量的加减运算；复数的乘、除运算对应的是平面向量的旋转、伸缩.因此，复数的表示及其运算都有着明显的几何意义.在教学中，我们要注重在各单元的所有关键点上强化数形结合，促进学生深刻地认识和理解复数的表示及其运算，提升他们的直观想象素养.

总之，高中数学单元主题教学是在数学核心素养视域下，以落实全面育人为宗旨，从整体功能出发，以主题为单位，对数学教学进行系统设计.在复数单元主题教学中，应该以“运算”这一观念来统领教学，加强对数系扩充“规则”及复数知识的整体性认识，提高思维的系统性、结构性，通过问题引领，让学生经历知识的发生与发展过程，促进学生数学核心素养的形成.