算理为魂，算法为形*——小学数学高年级算理与算法教学策略研讨

邓守宇

（广东省广州市花都区秀全街红棉小学 广东广州 510800）

数学是研究数量关系和空间形式的科学，与人类发展和社会的进步息息相关。而数学计算是一切数学的基础，其教学的重要性不言而喻。在广泛的教学实践中，不少教师对数学计算的讲授往往以算法为主，而忽略了对算理的讲解，让学生对数学计算的学习仅仅停留在知其然而不知其所以然的程度，这显然不利于学生构建完整的数学认知结构。作为知识的传授者，我们教师更应该明白，在数学计算教学中，算理是比算法更为重要的内容，学生理解了算理，自然而然地就会自己总结出算法。

在《义务教育数学课程标准》（2011 版）中，将课程内容分成四大项：数与代数、图形与几何、概率与统计、综合与实践。而对于高年级的数与代数学习，也明确指出其学习目标有以下几点：1.理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义；2.掌握必要的运算技能；3.理解估算的意义；4.能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。而本文则是围绕第二点进行探索，即如何在教学过程中更好地帮助学生掌握必要的运算技能。

一、高年级数学计算教学的主要内容整体分析

根据《义务教育数学课程标准》（2011 版）以及《义务教育教科书教师教学用书》（数学五年级下册）中的描述，小学数学高年级的计算教学主要有以下内容：小数乘法、小数除法、解简易方程、分数与除法、分数与小数的互化、分数加减法、分数乘除法、百分数与分数小数的互化。

不难发现，数学高年级计算教学的部分内容实际上是属于中低年段学习内容的拓展，如小数乘法、小数除法，实际上是整数乘除法拓展到小数，因此在教学中需要教师帮助学生把整数乘除法的算理重新梳理一次，并拓展到小数，让学校理解小数乘除法的算理，再提炼出算法；而对于解简易方程这一类属于没有前置的知识体系的计算内容，则要更多地把精力放在如何让学生体验算理形成的过程，对算理有更直观的认识；而像分数与除法、分数加减法等这一类的计算教学，由于其算理更多的是基于分数的基本意义而形成的，因此需要多让学生开口说一说，通过提炼精简的数学语言加深学生对其算理的理解与记忆。

二、厘清算理与算法的区别

有不少教师认为数学计算中算理与算法是一致的，并无区别，而这样的观点显然是错误的。如关于小数乘法的计算法则是这样描述的：先按整数乘法算出积，然后观察因数中一共有几位小数，因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位小数，并点上小数点。这显然是小数乘法的算法，它所描述的是关于计算小数乘法时的具体步骤以及方法。那小数乘法的算理是什么呢？是乘法的性质：因数扩大几倍，积就扩大几倍；因数缩小为原来的几分之一，积就缩小为原来的几分之一。小数乘法的算法实际上是由其算理推导得出。在实际教学中，倘若教师没有完全讲清楚算理，而只是填鸭式地把小数乘法的计算法则呈现给学生，让学生去记去背，学生很快就会遗忘。因为这样的学习属于机械学习，而不是有意义学习，学生并没有把小数乘法的计算原理内化到自己的数学知识体系中，随着后面学习内容的增加，必然会和自己知识体系中的其他知识发生混淆，譬如最常见的就是小数乘法和小数加法的计算混淆在一起。

因此，笔者认为，算理与算法的关系，可以比喻为“算理为魂，算法为形”。两者互为表里，在数学计算教学的过程中缺一不可。有魂无形，只讲算理而忽略了总结算法，学生难以理解当堂课的知识，难以提炼出准确的知识点，不利于学生对数学知识的内化；有形无魂，把算法直接告诉学生，不帮助学生通过梳理算理来总结得出算法，则会让学生慢慢失去对数学探究的兴趣，只知道附和老师，不利于学生日后的学习和生活。只有两者兼具，才能让学生在数学计算的学习中能够对数学计算有更深刻的记忆和理解。

三、小学高年级数学计算教学策略

（一）以旧“唤”新，建构连贯的知识体系

布鲁纳在他的认知结构学习理论中提出，数学中的每个概念、原理和技能都是与其他概念、原理和技能密切联系的。数学的知识体系，可以看作是枝繁叶茂的大树，数学中的概念、原理和技能就是组成这棵大树的元素，树上的枝叶或多或少都会与其他的枝叶相连，即每个数学概念、数学原理和数学技能都能找到跟它相关的数学概念、数学原理和数学技能。因此，在教学算理时，作为教师，我们首先要思考清楚，这节课要讲的算理与学生已经具备的知识体系中的哪些内容有联系，要重视学生的已有知识，从学生的已有知识出发延伸到新知。

譬如，在教学小数乘法这一课时，要先明确“先按整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，因数有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点，数位不够的添0 补足”这只是小数乘法的算法，并不是其算理。想让学生明白小数乘法为什么要这么算，则必须要讲清楚为什么“因数有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点”。在实际教学中，可以通过平时购物问题进行引入，如一个风筝3.5 元，买3 个要多少元？此时可以让学生先自己思考可以怎么算，有部分学生会选择把3.5 元转化成35 角来算，先算出来35 角×3＝105角，再化单位得到10.5 元。而后再立刻抛出5.6×4 这样的不带情境的题目，让学生思考。此时学生已经知道了涉及小数的乘法计算实际上可以像买风筝一样，先把小数扩大成整数去算，算完之后再缩小回来。即先算出56×4=224，然后得出5.6×4=22.4。此时教师不要着急出示算法，而是让学生多做几道题，如2.5×1.4、3.6×0.02 之类包含多种情况的小数乘法计算，让学生先用自己能想到的方法算出来答案。事实上很多学生都已经知道先把小数扩大成整数，按整数先算出来，然后扩大了多少倍，最后小数乘法的积就相应地除以几。此时学生已经理解了小数乘法的算理，而且已经初步提炼出了小数乘法的算法，教师需要做的就是让学生分享自己的算法，并帮助他们提取出共同的要点，最后得出最为精简的小数乘法算法：先按整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，因数有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点，数位不够的添0 补足。采用这样的教法，可以最大限度让学生脱离死记硬背算法的困境，同时也是在培养学生的转化思想。

再譬如，在教学异分母分数加减法这一课时，教师首先要厘清算理。很多教师会以为“先通分，再按照同分母分数加减法计算”是算理，实际上这只是算法，异分母分数加减法的算理核心在于要先让分数单位相同，即“化单位”。因此，在设计引入时，可以设计类似于包含有1 吨＋20 千克这样需要转化数量单位的题目，唤醒学生知识体系中关于“单位不同要先转化单位”的内容，然后再出示例题，这时候可以向学生提问：它们的分数单位分别是多少？从而让学生意识到异分母分数不能直接相加的原因是因为单位不一样，要像以前学习的知识一样，先“化单位”，而分数的“化单位”，实际上就是通分。以这样的方式教学，实际上全程都不需要讲授算法，只要让学生理解算理，学生自然而然就能自己总结出算法。

（二）“境理”相融，创设沉浸式的学习环境

所谓“境理”相融，即问题情境与所包含的算理能深度交融，让学生能将日常生活的经验与课堂的数学知识融合在一起，从而达到沉浸式的学习效果。米哈里·契克森米哈在他提出的沉浸理论中指出，当人们参与一项自己有能力解决但是又相对具有一定挑战性的任务，并且由内部动机驱使的任务时，会产生沉浸状态，即专注度很高的心理状态。对于学生来说，进入沉浸状态即最好的学习状态。因此在设计问题情境时，必须要全面考虑学生的已有知识和课堂学习目标之间的联系，把学习目标分层次细化，让学生一个一个目标由易到难地达到不同目标。

譬如，在教学解简易方程第一课时的时候，可以创设一个天平的情境：左边摆放有一个小木块和一个5g 的砝码，右边放4 个5g 的砝码。然后提问学生：如果我想把小木块的重量称出来，应该怎么操作？此时可以让学生上台操作天平，学生会两边同时拿掉一个5g 的砝码，从而得出一个小木块的重量是15g。通过这个过程，学生就能很直观地感受到本节课的两个知识点：①形如x+a=b 的方程的解法；②方程的解的形式总是将未知数单独放在一边。而后，再让学生借助天平完成随堂的练习，进一步加深对这一课时所包含的方程的解法的理解。在遇到如x-15=5 的方程的时候，可以让学生小组讨论，怎么样用天平表示出这一方程，这一情况稍难一点，但是仍处于学生的能力范围内，更能促进学生进入沉浸状态学习。在经历过这个教学情境后，学生对简易方程的解法就有了更深层次的理解和记忆，能通过回忆这个操作的过程自己得出简易方程的解法，而不是仅仅死记硬背。

再譬如，在教授分数与除法这一课时的时候，可以依据教材中分月饼的情境进行改编和拓展：首先是1 个月饼平均分给4 个人，每人分得多少个？此时根据平均分和分数的意义，学生比较容易就能得出1÷4=（个）。然后再出示：那3 个月饼平均分给4 个人，每人分得多少个？学生大部分都能根据平均分的意义列出式子3÷4，但是不太确定得数到底怎么表示，因此教师需要准备好学具（小圆片）让学生自己操作分一分，并互相交流想法。学生中出现有将每个小圆片平均分成4 份，然后从各个小圆片各拿1 份凑成份时，应当让学生进行汇报。而后继续出示有4÷5、8÷6 的情境，让学生继续尝试去分一分。此时大部分学生通过动手操作都能正确分对，而且在操作的过程中逐渐地明白除数是几就相当于把单位“1”平均分成几份，因此除数会“变成”分母；被除数是几，就要从几个小圆片中各拿一份，也就是有几个分数单位，因此最后的得数被除数总会“变成”分子。通过这样的操作过程，学生自己就能总结得出被除数÷除数=，教师只要辅助学生提起总结出他们算法的共同点，自然就提炼出本节课的算理。

（三）数形结合，借助几何直观搭建桥梁

数是抽象的，形是具体的。根据皮亚杰的认知发展理论，7—12 岁的儿童的认知发展处于具体运演阶段，在这一阶段，儿童的思维已具有可逆性和守恒性，但这种思维运演还离不开具体事物的支持。对于数学教学来说，即我们在讲授算理的时候，需要更多地借助几何直观来辅助学生理解算理。

高年级的学生，其认知发展阶段开始过渡到形式运演阶段，因此，在借助几何直观时，可以采用更简洁的几何直观形式，比如线段图或一些简易图形。在讲授分数乘分数这一课时的时候，我们可以采用长方形这一几何图形来辅助学生理解算理。譬如计算相当于先把单位“1”平均分成3 份，取其中的2 份；然后是指涂色部分的，实际分完之后可以发现，最后相当于把单位“1”平均分成了3×5＝15份，取其中的2×3＝6 份，即。之后还可以让学生继续进一步用同样的方法验证其他的算式，最后小结得出分数乘分数的算法：分母相乘作为积的分母，分子相乘作为积的分子。在学习这一课时后的一段时间内，也应继续让学生先画图再计算，加深对分数乘分数的算理理解。

结语

小学数学计算教学是小学数学教学中的一个重要组成部分，在实际课堂教学中，学生也往往会有很多不同的想法和观点，以及千奇百怪的疑问。作为教师，在面对学生的不同想法以及疑问时，应当予以适当的鼓励并引导学生往正确的方向上进行思考，而不是一味着急地把结论告诉学生。小学数学计算中，算理与算法的教学很容易就会陷入到停留在算法层面教学的局面，因此，作为教师，我们更应明确我们要培养的是具有自主思考、自主探究、自主学习能力的学生，而不是让学生对数学只知其然不知其所以然，甚至不愿知其所以然。今后的教学，我们更应主动反思，在算理与算法的教学中，是否做到了“算理为魂，算法为形”，努力使自己的课堂成为有血有肉、有形有魂的，学生感兴趣的课堂。