关于“运动与匀变速直线运动”的易错题分析与变式练习

安徽 刘钦钊 广东 黄超华

【易错点归纳】折返运动的多解性

【典例1】(多选)在某一高度以v0＝20m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力,g＝10m/s2),当小球的速度大小为10m/s时,以下判断正确的是 ( )

A.小球在这段时间内的平均速度可能为15m/s,方向向上

B.小球在这段时间内的平均速度可能为5 m/s,方向向下

C.小球在这段时间内的平均速度可能为5 m/s,方向向上

D.小球的位移大小一定是15m

【解析】由题意可知,小球被竖直向上抛出,做匀变速直线运动,平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式求出。规定竖直向上为正方向,当小球的末速度为10m/s,方向竖直向上时,即v＝10m/s,求得平均速度为15m/s,方向竖直向上,故A 正确;当小球的末速度为10m/s,方向竖直向下时,即v＝－10m/s,求得平均速度为5m/s,方向竖直向上,故C 正确,B 错误;末速度大小为10m/s时,球的位置一定,距起点的位移h＝＝15m,故D 正确。

【答案】ACD

【易错点拨】本题属于典型的折返运动,容易忽视运动的多解性,比如当抛出后速率变为某一值时,质点可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,或者当抛出后位移大小为某一值时,质点可能处于抛出点的上方,也可能处于抛出点的下方。这些多解性能够有效地考查学生理解问题的广度。

【易错数据】以下为一个班级学生的易错数据分析:班级人数为50人,优秀分数段(85分以上)错题人数为3人;良好分数段(71～84)错题人数为9 人;及格分数段(60～70)的错题人数为10人;不及格分数段(0～59)错题人数为12人;以上学生的错误原因都是忽略了运动的多解性。

【训练1】(多选)从地面以30m/s的初速度竖直向上抛出一物体,不计空气阻力,以竖直向上为正方向,g＝10 m/s2。物体运动到距地面高40m 处的过程中,以下说法正确的是 ( )

A.末速度可能是0

B.平均速度可能是10m/s

C.平均速率可能是12.5m/s

D.运动时间可能是2s

【解析】以竖直向上为正方向,设物体从开始运动到距地面高40m 处时所用时间为t,有h＝v0t－＝40m,解得t1＝2s或t2＝4s,又v＝v0－gt,得物体运动到距地面高40m 处的速度v1＝10m/s或v2＝－10m/s,故A 错误,D 正确;平均速度可能为＝20 m/s,或v＝＝10m/s,故B 正确;平均速率等于路程与时间之比,当物体上升到最高点又下降到距地面高40m 处时,总路程为50m,平均速率为12.5m/s,故C正确。

【答案】BCD

【训练2】一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出,3s后物体的速率变为10m/s,不计空气阻力,g＝10m/s2,则关于物体此时的位置和速度方向的说法可能正确的是 ( )

A.在A点上方15m 处,速度方向竖直向上

B.在A点下方15m 处,速度方向竖直向下

C.在A点上方75m 处,速度方向竖直向上

D.在A点上方75m 处,速度方向竖直向下

【解析】若此时物体的速度方向竖直向上,由竖直上抛运动公式v＝v0－gt,得物体的初速度为v0＝v＋gt＝40m/s,则物体的位移为h1＝(v0＋v)＝75 m,物体在A点的上方,故C 正确,D 错误;若此时速度的方向竖直向下,物体的初速度＝－v＋gt＝20 m/s,物体的位移为＝15 m,物体仍然在A点的上方,故AB错误。

【答案】C

【易错点归纳】刹车陷阱

【典例2】汽车在平直的公路上以20m/s的速度匀速行驶,前方有情况需紧急刹车,刹车时加速度的大小为8m/s2,刹车后可视为匀减速直线运动,求刹车3s后汽车的速度。

【解析】设汽车从开始刹车到速度为零所用的时间为t,取汽车运动的方向为正方向。由v＝v0＋at得t＝s＝2.5s,则汽车在2.5s末速度减小为零,之后汽车不再运动,所以3s后汽车的速度为零。

【易错点拨】此类题容易误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动,就简单套用速度公式或者位移公式进行求解,使得结果与实际情况不符。此类问题要具体问题具体分析,实际上汽车速度减为零之后就不再运动,所以应先计算刹车时间,然后比较题中所给时间与刹车时间的大小关系,从而确定汽车实际运动时间,再相应的求汽车的速度或者位移。

【易错数据】以下为一个班级学生的易错数据分析:班级人数为50人,优秀分数段(85分以上)错题人数为2人;良好分数段(71～84)错题人数为5 人;及格分数段(60～70)的错题人数为7人;不及格分数段(0～59)错题人数为10人;以上学生都错误地认为汽车一直在做匀减速直线运动。

【训练1】一辆汽车以20m/s的速度行驶,现因紧急事故急刹车并最终停止运动。已知汽车刹车过程的加速度的大小为5m/s2,则刹车后5s内汽车通过的距离是多少?

【解析】设汽车从刹车开始至停止运动所用的时间为t0,以初速度v0的方向为正方向。

由vt＝v0＋at0得t0＝s＝4s

可见,汽车刹车时间为4s,第5s是静止的。

由x＝知刹车5s内通过的距离

x＝m＝40m

【训练2】汽车以10m/s的速度行驶,刹车后的加速度大小为3m/s2,求它向前滑行12.5m 后的瞬时速度。

【解析】选取汽车初速度方向为正方向,则v0＝10m/s,a＝－3m/s2,x＝12.5m。代入公式v2－v20＝2ax

解得v1＝5m/s,v2＝－5m/s(负号说明汽车刹车后又反向运动,与实际不符,故舍去)。

【易错点归纳】v-t图像与x-t图像

【典例3】如图1 所示的位移(x)-时间(t)图像和速度(v)-时间(t)图像中给出四条图线,甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况,则下列说法正确的是( )

图1

A.甲车做直线运动,乙车做曲线运动

B.0～t1时间内,甲车通过的路程大于乙车通过的路程

C.0～t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相距最远

D.0～t2时间内,丙、丁两车的平均速度相等

【解析】由于甲、乙两车在0～t1时间内做单向直线运动,故在这段时间内两车的位移和路程均相等,A、B选项错误;在v-t图像中,t2时刻丙、丁速度相等。故两车相距最远,C选项正确;由图线可知,0～t2时间内丙的位移小于丁的位移,故丙的平均速度小于丁的平均速度,D 选项错误。

【答案】C

【易错点拨】学生易混淆v-t图像和x-t图像的特点,v-t图像的运动方向体现为图像在t轴上方或者下方,与图像斜率正负无关;x-t图像的运动方向与图像在t轴上下无关,只与斜率正负有关。v-t图像上判断物体是否相遇看面积,x-t图像上判定物体是否相遇看交点。v-t图像和x-t图像的特点不相同,它们的交点、斜率所体现出的运动方向以及相遇等都是不同的,做题时要看清楚题目给的是哪种图像,不可随意张冠李戴。

【易错数据】以下为一个班级学生的易错数据分析:班级人数为50人,优秀分数段(85分以上)错题人数为4人;良好分数段(71～84)错题人数为8 人;及格分数段(60～70)的错题人数为12人;不及格分数段(0～59)错题人数为14人;以上学生都混淆了v-t图像与x-t图像的特点。

【训练1】甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动,它们的v-t图像如图2所示,则在0～4s内 ( )

图2

A.两物体始终同向运动 B.2s末两物体相距最远

C.两物体平均速度相等 D.4s末两物体相遇

【解析】0～4s内,甲、乙两物体的v-t图像均在横轴的上方,速度均为正值,故两物体始终同向运动,故A 正确;由题意结合A 项分析可知,甲、乙两物体同时同地沿同方向运动,在0～4s内,甲在前,乙在后,甲的速度大于乙的速度,两物体间距离越来越大,在4s时两物体速度相同,此时两物体距离最远,故BD 错误;0～4s内,由v-t图像与t轴所围面积表示位移可知,甲的位移大于乙的位移,即x甲＞x乙,根据可知两物体的平均速度,故C错误。

【答案】A

【训练2】甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动,其速度随时间的变化规律分别如图3中图线a、b所示,图线a是直线,图线b是抛物线,则下列说法正确的是( )

图3

A.t2时刻乙的运动方向发生了改变

B.t1～t2时间内,甲的平均速度小于乙的平均速度

C.0～t2时间内,甲的加速度不断增大,乙的加速度不断减小

D.若t1时刻甲、乙相遇,则t3时刻甲、乙一定再次相遇

【解析】0～t3时间内乙的速度一直为正值,则t2时刻乙的运动方向没有发生改变,故A 错误;由v-t图像与t轴所围面积等于位移,可知在t1～t2时间内,甲的位移小于乙的位移,则甲的平均速度小于乙的平均速度,故B 正确;由v-t图像的斜率表示加速度可知,在0～t2时间内,甲的加速度不变,乙的加速度不断减小,故C错误;若t1时刻甲、乙相遇,由于t1～t3时间内乙的位移大于甲的位移,则t3时刻甲、乙不会再次相遇,故D 错误。

【答案】B

【易错点归纳】不能把图像的物理意义与实际情况对应

【典例4】以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时,一个物体所受空气阻力可忽略,另一物体所受空气阻力大小与物体速率成正比,下列用虚线和实线描述两物体运动的v-t图像可能正确的是 ( )

【解析】没有空气阻力时,物体仅在重力作用下做竖直上抛运动,v-t图像是直线;有空气阻力时,物体在上升阶段,根据牛顿第二定律有mg＋f＝ma,故a＝g＋,由于空气阻力随着速率减小而减小,故加速度也逐渐减小,且最小值为g;有空气阻力时,物体在下降阶段,根据牛顿第二定律有mg－f＝ma,故a＝g－,由于空气阻力随着速率增大而增大,故加速度减小;v-t图像的斜率表示加速度,故图线与t轴的交点对应时刻的加速度为g,且过该点图线的切线与虚线平行。

【答案】D

【易错数据】以下为一个班级学生的易错数据分析:班级人数为50人,优秀分数段(85分以上)错题人数为3人,其错题原因为对图像表示的物理意义不理解;良好分数段(71～84)错题人数为4人,及格分数段(60～70)的错题人数为7人,其错题原因为审题不清、对图像表示的物理意义不理解;没有不及格分数段的学生。

【训练1】物体A、B的s-t图像如图4所示,由图可知( )

图4

A.从第3s开始,两物体运动方向相同,且vA＞vB

B.两物体由同一位置开始运动,但物体A比B迟3s才开始运动

C.5s内两物体的位移相同,且在5s末相遇

D.5s内A、B的平均速度相等

【解析】由图4看出,两图线的斜率都大于零,说明两物体都沿正方向运动,运动方向相同。图线A的斜率大于图线B的斜率,说明A的速度大于B的速度,即vA＞vB,故A 正确;物体A从原点出发,而B从正方向上距原点5m 处出发,两物体出发的位置不同,且物体A比B迟3s才开始运动,故B错误;5s末两图线相交,说明5s末两物体在同一位置相遇,但两物体5s 内的位移不同,A的位移为ΔxA＝10m－0 m＝10 m,物体B的位移为ΔxB ＝10m－5m＝5m,故C错误;由上述分析可知,5s内A的位移大于B的位移,所以5s内A的平均速度大于B的平均速度,故D 错误。

【答案】A

【训练2】淮北车手王克在全国摩托车越野锦标赛六盘水站中获青少年组第一名。某段时间他和另一名车手在两条平行的直车道上行驶。t＝0 时,两车在同一计时线处。他们在四次比赛中的vt图像如图5所示。下列说法正确的是 ( )

图5

A.甲对应的比赛中,10s时b车追上a车

B.乙对应的比赛中,b车和a车之间的距离一直保持不变

C.丙对应的比赛中,两车出发后相遇两次

D.丁对应的比赛中,两车出发后a车追不上b车

【解析】由于v-t图像与时间轴围成的面积等于物体的位移,则在甲对应的比赛中,10s时两车位移不相等,两者未相遇,故A 错误;乙对应的比赛中,b车和a车之间的距离越来越大,故B 错误;丙对应的比赛中,20s时b车追上a车,然后两车不可能再次相遇,故C 错误;丁对应的比赛中,a车距离b车最近的时刻是在10～15s内速度相等的时刻,但此时a车仍没追上b车,之后a车距离b车越来越远,再也不可能追上b车,故D 正确。

【答案】D

【训练3】如图6所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的x-t图像,下列说法中正确的是 ( )

图6

B.甲、乙两物体都做匀速直线运动

C.甲物体比乙物体晚出发的时间为t1

D.甲、乙两物体向同方向运动

【解析】由图6可知,甲从距原点x0处出发,乙从原点出发,故两物体出发点相距x0,故A 错误;两图线都是倾斜直线,即两物体都做匀速直线运动,故B 正确;甲从开始计时就出发,乙在计时后t1时刻才出发,故甲比乙早出发的时间为t1,故C错误;甲、乙图线的斜率分别为负值和正值,表明甲、乙运动方向相反,故D 错误。

【答案】B

【训练4】大雾天发生交通事故的概率比平常要高出几倍甚至几十倍,保证雾中行车安全显得尤为重要。在雾天的平直公路上,甲、乙两汽车同向匀速行驶,乙在前,甲在后。某时刻两车司机听到警笛提示,同时开始刹车,结果两车刚好没有发生碰撞。图7为两车刹车后做匀减速直线运动的v-t图像,以下分析正确的是 ( )

图7

A.甲车刹车的加速度的大小为0.5m/s2

B.两车开始刹车时的距离为100m

C.两车刹车后间距一直在减小

D.两车都停下后相距25m

【解析】根据v-t图像的斜率表示加速度,由图7中甲车的速度图像可知,甲车刹车的加速度的大小为a＝＝1.0m/s2,故A 错误;在t＝20s时,两车速度相等,间距最小为零,此时两车的速度v＝v0－at＝25 m/s－1.0×20m/s＝5m/s,根据v-t图像中速度图线与时间轴所围面积表示位移可知,在0～20s内,甲车的位移为x甲＝×(25＋5)×20 m＝300 m,乙车的位移为x乙＝×(15＋5)×20m＝200m,两车开始刹车时的距离为x＝x甲－x乙＝300m－200m＝100m,故B正确;在0～20s内,两车间距在减小,在20～30s内,两车间距在增大,故C错误;甲车的刹车位移×25×25m＝312.5 m,乙车的刹车位移为×15×30m＝225m,两车都停下来后相距Δx＝＋100 m－＝225m＋100 m－312.5m＝12.5 m,故D 错误。

【答案】B

【训练5】从t＝0时刻开始,相距15 m 的甲、乙两质点沿同一直线相向运动,两者的运动v-t图像如图8所示,下列说法正确的是 ( )

图8

A.0～3s内,甲的平均速度大小比乙的小

B.t＝3s时,甲的加速度为零

C.0～5s内,甲和乙的平均速度大小相等

D.t＝5s时,甲、乙相遇

【答案】D