从“二维空间”到“三维空间”——例谈2022年高考试题的创新性变化

江苏 吕朝阳 张 玲

高考试题的创新性变化,对一线教学具有鲜明的指导意义。一般而言,高考试题的问题情境都是在“二维空间”内展开,即便是“三维空间”情境,其设问也仅需通过画出侧视图,然后在一个二维空间内就可以解决。然而2022年高考试题却有了显著变化,试题所呈现的是三维空间情境,需要在三维空间内进行分析和推理才可以解决。例如2022年高考山东卷第11题、广东卷第10题、河北卷第6题和第7题、全国乙卷第5题等。本文将依据高考真题,例谈其创新性变化和趋势,并通过变式加以分析和探讨。

【真题展示1】(2022·山东省学业水平等级考试·11)如图1所示,某同学将离地1.25m 的网球以13 m/s的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45m 的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75 倍,平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为 ( )

图1

【解题思路】由于碰墙前后网球的运动轨迹不在同一“二维空间”内,而在三维立体空间内,故该题采用的解题思路是分别对网球在碰墙前和碰墙后运动进行分解与合成。

设网球飞出时的初速度为v0,在竖直方向上

代入数据得

则在水平方向上

网球从抛出点到P点的水平距离

画出网球在碰墙前后速度关系的俯视图,如图2所示。

图2

根据图2中的几何关系可得,网球打在墙面上时垂直墙面的速度分量

故网球着地点到墙壁的距离d＝＝3.9m

故BD 正确,AC错误。

【答案】BD

【创新点说明】抛体运动是高考常考的重要知识点之一,但常见考查抛体运动试题的情境设置及设问方式与本题有很大差别。本题的创新点有两个,一是网球虽做斜上抛运动,但因在达到竖直墙壁的最高点P时,竖直分速度为零,只剩下水平分速度,其逆过程即是平抛,因此仍可转换为平抛运动来处理;二是本题创造性地设置研究物体在立体空间,即“三维空间”内的运动,这也是本题最重要的创新点。本题既考查了学生的模型转换能力,又考查了学生的空间想象和分析推理能力,对学生的能力要求较高,是一道非常出色的创新性试题。

【真题展示2】(2022·浙江6月选考·10)如图3所示,一轻质晒衣架静置于水平地面上,水平横杆与四根相同的斜杆垂直,两斜杆夹角θ＝60°。一重力为G的物体悬挂在横杆中点,则每根斜杆受到地面的 ( )

图3

【解题思路】以水平横杆和重物为系统,由于该系统受到的外力不在一个平面内,故采用将系统受到的外力沿水平和竖直两个方向进行分解的思路来解决问题。

将斜杆顶端的弹力沿竖直和水平两个方向进行分解,根据对称性可知,四根斜杆的弹力在水平方向的合力为零,设斜杆的弹力大小为F,因水平横杆和重物组成的系统受力平衡,故在竖直方向上可得4Fcos30°＝G,解得

以其中一斜杆为研究对象,其底端受力如图4所示,每根斜杆受到地面的作用力为地面对斜杆底端的支持力N与摩擦力f的合力,由图4可得,该作用力应与F平衡,即大小为每根斜杆受到地面的摩擦力为f＝Fsin30°＝故B正确,ACD 错误。

图4

【答案】B

【创新点说明】力的平衡是力学的基础知识,也是高考常考的重要知识点之一,在考查力的平衡时,一般情况下,物体的受力都在一个平面内,即都在同一二维空间内。本题中,在以水平横杆和重物组成的系统为研究对象时,该系统受到的外力不在同一个平面内,无法直接画出系统所受外力的示意图,所以采用将系统受力沿着水平和竖直两个方向进行正交分解的解题方法,又由于该系统在水平方向的分力具有对称性,根据对称性可知水平方向的分力的合力为零。故本题的主要创新点有两个,一是物体的受力不在同一平面内,二是将力的平衡与对称性相结合,以对称的思想方法来辅助解决问题。

下面,本文将从“二维空间”转变到“三维空间”这个创新点出发(不是从考查知识点的创新角度),设计变式习题,并进行分析和探讨。

【变式1】如图5所示,在水平桌面上有一竖直放置的光滑薄板abcd,在薄板上的P点用两根等长的轻细绳悬系在均质圆柱体的轻质中轴上,左右两边细绳在中轴上的悬系点到圆柱体的距离均相等。已知圆柱体的中轴与薄板的ab边平行,圆柱体垂直中轴的横截面的半径不可忽略。现将薄板以ab边为轴,逆时针缓慢旋转至水平,则在此过程中 ( )

图5

A.薄板对圆柱体的支持力一直增大

B.薄板对圆柱体的支持力先增大后减小

C.两轻细绳中的拉力均一直增大

D.两轻细绳中的拉力均先增大后减小

【解题思路】以圆柱体(含中轴)为研究对象,发现其受到的外力不在同一平面内,将两绳拉力的合力设为T合,画出从a向b的方向观察的受力分析侧视图,如图6所示。

图6

在薄板逆时针缓慢旋转的过程中,由于T合与薄板对圆柱体支持力N的夹角不变,故采用的解题方法是等效法,即保持T合与N的方向不变,画出这两个力的合力F(大小为G,且保持不变)逆时针旋转至水平过程中动态的力的平行四边形,据此可得两绳中拉力的合力T合逐渐减小,薄板对圆柱体的支持力先增大后减小,A 错误,B 正确;设两绳夹角为θ,则每根细绳中的拉力,由于两绳夹角θ不变,T合逐渐减小,拉力也逐渐减小,CD 均错误。故本题答案为B。

【答案】B

【变式说明】由于本题中圆柱体的半径大小不可忽略,则细绳与薄板之间夹角不为零,且保持不变,故本题的解题思路分为两步,第一步是先将两绳中的拉力合成为一个力,通过对圆柱体进行受力分析,推理出每一个力的大小的变化情况;第二步则根据第一步得到的结果分析每根绳中的拉力大小的变化情况。同时,本题又区别于一般的三力动态平衡问题,在薄板逆时针缓慢旋转的过程中,由于T合与薄板对圆柱体支持力N的大小和方向均不断变化,但这两个力之间的夹角保持不变,故采用等效法——等效于重力大小不变、方向顺时针旋转。

【变式2】小明在木艺工厂定制了如图7所示的大斜劈,当他将一个小木块轻轻放在斜面上时,发现小木块将会沿斜劈向下运动;现小明在图7所示的位置将小木块释放的同时,给小木块一个沿斜面水平向右的初速度v0。已知木块与斜劈之间的动摩擦因数处处相同,不计空气阻力,小木块始终没有脱离斜劈。则此后小木块将 ( )

图7

A.在某段时间内有可能做匀速直线运动

B.有可能一直做曲线运动

C.在某段时间内有可能做与初速度保持垂直方向的匀加速直线运动

D.最终的运动方向有可能保持与初速度垂直

【解题思路】设木块的质量为m、动摩擦因数为μ、斜劈的倾角为θ、重力加速度为g。因小木块无法在斜劈上保持静止,故mgsinθ＞μmgcosθ,即μ＜tanθ。

当给小木块一个水平的初速度后,以小木块为研究对象,发现其受到重力、弹力和滑动摩擦力,这三个力不在同一平面内,而且随着运动方向的变化,滑动摩擦力的方向也随之发生变化。故该题采用的解题思路是将小木块受到的力在垂直斜面和沿着斜面两个方向上进行正交分解。

在垂直斜面的方向上,斜劈对木块的支持力FN＝mgcosθ,故木块受到的滑动摩擦力的大小始终不变,为f＝μFN＝μmgcosθ。

在沿着斜面的方向上,将小木块的运动沿着初速度方向和垂直初速度方向进行正交分解,则在沿着初速度的方向上木块做减速运动;在垂直初速度的方向上,木块做加速运动。

当木块运动的水平分速度减为零时,木块的速度方向变为沿着斜面向下,此时滑动摩擦力的方向为沿斜面向上,但由于μ＜tanθ,即mgsinθ＞μmgcosθ,故此后木块将做匀加速直线运动,加速度的大小为g(sinθ－μcosθ)。

综上分析,可知小木块开始时做曲线运动,最后做匀加速直线运动,且最终的运动方向始终保持与初速度方向垂直。最初时,小木块受到的滑动摩擦力方向与初速度方向相反,在垂直初速度的方向上的加速度大小为gsinθ,但小木块最终的加速度大小为g(sinθ－μcosθ),故AB 错误,CD 正确。

【答案】CD

【变式说明】本题的创新之处在于,木块的初速度方向为水平向右,且木块初始时做曲线运动。这一小小的变化,立即使这一常见的问题情境变得灵动起来。此题的解题思路是两次正交分解,一是将物块受到的外力沿斜面和垂直斜面进行正交分解,二是将木块在斜面上的运动沿着初速度方向和垂直初速度方向进行正交分解,通过这两次正交分解就可以破解此题。

【变式3】如图8 所示,一内壁光滑、内径r＝1 m、高h1＝0.35m的竖直圆筒固定在水平地面上方高h2＝9m 处。一质量m＝0.5kg的小球从圆筒内壁上端的A点以v0＝5m/s的初速度、保持与水平成θ＝37°的方向沿内壁切线斜向下射入圆筒。重力加速度g取10 m/s2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,不计空气阻力,试求:

图8

(1)小球在圆筒运动的过程中对圆筒的压力FN的大小;

(2)小球离开圆筒时速度v的大小;

(3)小球的落地点距圆筒底面圆心O的水平距离L。

【解题思路】(1)在圆筒内壁运动时,小球的运动可以看作是在水平方向上的匀速圆周运动与竖直方向上的匀加速直线运动的合成。现将小球的初速度进行分解

在水平方向vx＝v0cosθ＝5×0.8m/s＝4m/s

在竖直方向v0y＝v0sinθ＝5×0.6m/s＝3m/s

小球在水平方向上做匀速圆周运动,有

根据牛顿第三定律可知,小球对圆筒的压力大小也为8N。

解得v＝

(3)设小球刚离开圆筒时速度的竖直分量为vy,则

设小球离开圆筒到落地的时间为t,则

带入数据得t＝1s,此段时间内小球的水平位移

根据几何关系得,小球的落地点距圆筒底面圆心O的水平距离L＝

【变式说明】本题中,小球在圆筒内的运动是较为复杂的曲线运动,通过对小球进行受力和运动分析,可以将此运动分解为水平面内的匀速圆周运动和竖直方向的匀加速直线运动(注意不是自由落体);小球离开圆筒后的运动为匀变速曲线运动(注意不是平抛运动,是斜下抛运动)。此题的解题思路是将此运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动(注意仍不是自由落体)。本题除了考查学生的空间思维能力外,还考查了学生将复杂运动简单化的方法——正交分解法,以及重要的建模能力。

【结语】根据以上高考真题的呈现和对变式习题的分析可知,当遇到较为复杂、涉及三维空间情境的问题时,解题的主要思路是,在对物体进行正确的受力和运动分析后,将物体所受到的外力或运动分别分解在两个或多个二维平面内,结合物体在立体空间运动的实际,建立一一对应、正确的物理模型,再利用整体法、隔离法、对称法以及等效法等物理学思想方法进行求解。学生的能力可以在恰当的实战训练中得到逐步的提高,这就要求一线教师在深入研究和把握高考题型的创新性变化后,精心选择、改编或原创相应的三维情境题型,加强训练、检测及反馈,以有效提升学生的应试技巧和关键能力。