对山东省2022年普通高中学业水平等级考试物理卷第15题的解答商榷

山东 张岩松 王灿亮

气体实验定律中的变质量问题始终是高考中的热点问题,譬如山东省2022年普通高中学业水平等级考试物理卷第15题考查的就是理想气体的变质量问题。此类问题的传统解法是将变质量问题转化成定质量问题,但是此题无法利用该法进行求解。虽然此题也可以利用理想气体状态方程求解,但是在高中阶段学生并没有学习理想气体状态方程。如果不用理想气体状态方程去求解,那么我们是否还有其他方法能够便捷地解答此题? 答案是肯定的,我们可以用比例法进行求解。

一、第15题高考原题

(2022·山东卷·15)某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示,鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室,A室壁厚,可认为体积恒定,B室壁薄,体积可变;两室内气体视为理想气体,可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处。B室内气体体积为V,质量为m;设B室内气体压强与鱼体外压强相等、鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等,鱼的质量不变,鱼鳔内气体温度不变。水的密度为ρ,重力加速度为g。大气压强为P0,求:

(1)鱼通过增加B室体积获得大小为a的加速度,需从A室充入B室的气体质量Δm;

(2)鱼静止于水面下H1处时,B室内气体质量m1。

二、第15题提供的答案

(1)由题给条件可知,开始时鱼静止在H处,设此时鱼的体积为V0,有Mg＝ρgV0

此时B室内气体体积为V,质量为m,则m＝ρ气V

假设向B室充入气体的体积为ΔV

通过增加B室体积,鱼获得大小为a的加速度,根据牛顿第二定律有ρg(V0＋ΔV)－Mg＝Ma

联立解得需从A室充入B室的气体质量

(2)由题意可知,开始时鱼静止在H处时,B室内气体体积为V,质量为m,且此时B室内的压强为

鱼静止于水面下H1处时,压强的大小为

由于鱼鳔内气体温度不变,根据玻意耳定律有

三、对于第(1)问答案的探讨

1.直接利用A室向B室充气前后密度不变进行计算,不够严密。

A气室的气体向B气室充气之后,B室内气体的密度依然保持不变的原因,应该进行证明。证明如下:因为气体的压强与两个因素有关,一是温度,二是密度。因为温度不变,而充气前和充气后的一瞬间,B室内气体的压强也不变,所以B室内气体的密度仍保持不变。

2.可利用理想气体状态方程进行求解,就避开了利用密度不变进行计算,具体解答过程如下。

假设鱼的体积为V0,鱼的质量为M

以鱼为研究对象,根据二力平衡的条件得

设向B室充入气体的体积为ΔV

以充完气之后的鱼为研究对象,根据牛顿第二定律得

【点评】利用理想气体状态方程求解,不会用到密度公式,这样求解就非常严密,无懈可击。

3.求ΔV＝,也可以利用等效法,此法更简单。

鱼为什么能够获得大小为a的加速度? 因为A气室向B气室充入了体积为ΔV的气体,鱼获得的合外力Ma是由新充入的这部分气体产生的浮力而产生的。

则ρΔVg＝Ma

故ΔV＝

【点评】利用等效法一步就能推导出来,非常简洁。

四、对于第(2)问答案的探讨

笔者认为网上提供的第(2)问的答案是错误的。鱼无论静止在水面下H处,还是静止在H1处,都处于平衡状态,根据二力平衡条件可知,重力不变,浮力也不变,所以B室内气体的体积也不变。

【错误1】误认为鱼静止于水面下H1处时,B气室的气体体积变了。实际上B气室内气体的体积没有变化,因为鱼静止于水面下H1处时,鱼所受的水的浮力与鱼的重力仍然相等,而鱼的重力始终不变,所以鱼所受的水的浮力也不变,因此B气室内的气体体积也不变。

【错误2】利用玻意耳定律求解是错误的,因为使用玻意耳定律的前提是气体的质量保持不变,而该题中气体的质量发生了变化。

【解法1】利用理想气体状态方程pV＝RT去求解。

由于气体的压强发生改变,而气体的温度、体积不变,所以气体的质量肯定发生改变,利用玻意耳定律求解肯定是错误的。正确的解法可以利用理想气体状态方程进行求解。

设鱼静止于水面下H1处时B室内气体的体积为V1,此时气体的压强为P1

初始时,鱼的压强为p＝p0＋ρgH

根据理想气体状态方程pV＝

然而,高中阶段学生并没有学习理想气体状态方程,那么如果不用理想气体状态方程求解,还有什么方法能求出m1? 可以利用比例法进行求解。

【解法2】利用比例法求解。

因为气体的压强与两个因素有关,一个是温度,一个是密度。因为温度不变,所以气体的压强只与密度有关。又因为气体密度ρ＝,而气体的体积V不变,所以p∝m

鱼在H处、H1处的压强分别为

【点评】利用比例法求解就避开了理想气体状态方程,克服了变质量问题无法利用所学的理想气体实验定律进行求解的困难。

五、结语

对于第(1)问,气体的密度是不变的,但需要说明。对于第(2)问,因为鱼无论静止在水面下H处,还是静止于水面下H1处,根据二力平衡,重力不变,浮力就不变,则气体的体积就不变,所以认为气体的体积是变化的,进而利用玻意耳定律进行求解是错误的。既然气体体积不变,但由于充气,导致气体质量变了,则气体密度就变了,所以认为气体密度不变也是错误的。对于变质量问题,常规方法是将变质量问题转化为定质量问题。但是对于类似第15 题这类无法转化的试题,则可以利用理想气体状态方程求解。如果记不住理想气体状态方程,还可以利用比例法或利用所学的知识推导出p∝m进行求解。