数据驱动的数值分析课程改革——以金融数学专业为例

◎周雪芹(西安财经大学统计学院,陕西 西安 710100)

1 引 言

金融数学是在华尔街革命的基础上发展起来的一门将金融与数学进行相互交叉的科学.金融数学是一门前沿学科，发展迅速，进而发展成为各类高校的热门专业.金融数学专业是一门融合金融和数学的新兴交叉应用型专业.它是利用数学工具研究金融问题并进行数据处理、实际建模、模型分析、数值计算等定量分析，目的是挖掘出金融学的潜在规律并用以指导金融机构实践.金融数学实质上是将数学知识运用到金融学领域当中，这里的数学知识包括概率论与数理统计、数值分析算法、最优化算法等等，其核心的内容是在不确定的随机环境下，研究最佳的投资组合方式和最优的资产定价等理论与实践相结合的内容.金融数学的三大基本概念是套利、最优和均衡，这也是金融数学的三个基本经济思想.因此，掌握金融数学和金融经济的基本理论和思想方法，利用现代的数学知识和计算机工具对经济、金融等信息进行分析预测和决策，能够解决公司的财务管理，能够对证券组合进行分析，能够对投资的项目进行评估，能够对保险进行精算，以解决实际问题，这就要求本专业的学生具备较强的数学建模能力和初步的科学研究能力.

学生想要具备较强的数学建模能力和初步的科学研究能力，就需要掌握数学的有关算法，算法中的数值分析课程所涉及的算法尤为重要.数值分析课程所讲授的主要内容有各种插值法、解线性方程组的直接法和迭代法、数值微积分、常微分方程的数值解法等，这些算法对于处理海量数据发挥了重大的作用.数值分析研究的数值算法为数学建模提供了大量的解决实际问题的思路，给金融问题，尤其是数据量很大的金融模型提供了方法简便、精确度高、性能稳定、操作简单、易于处理的数学算法.数值分析是为了用计算机解决数学问题而研究出的方法和理论，其内容丰富、研究深刻、实用性很强，其所涉及的算法是为计算机解决数学问题而构造的能用数值计算的实施方案.

针对信息化时代兴起的数据驱动，是以互联网或其他的软件为工具收集的大量数据，然后对此数据进行整理筛选形成一些信息流，再对形成的信息进行各种提炼和整合处理等操作，即在海量数据的基础上进行训练或者拟合或者插值等以此形成模型，然后在企业或机构做决策或者产品运营等优化时,根据不同的需求对信息流进行提炼.也就是说，数据驱动是在海量数据的前提下进行的自动化的业务，形成强大的模型支持自动化的决策.

因此，结合金融数学研究领域的研究内容和数值分析提供的理论算法特点以及数据驱动的实质和作用，提出数据驱动的数值分析课程改革，具有重要的研究和应用价值.

2 数值分析与金融数学

金融数学专业培养具备数学与金融学的基础理论知识，同时具有运用数学工具分析解决金融实务问题，构造金融产品能力的复合型人才.金融投资过程中，投资者通过金融数学知识建立金融数学模型，通过模型的分析预测，不但可以对金融市场投资风险进行有效的分析，还能准确地确定期权价格，最后通过金融数学对金融投资市场进行实时监控，促进金融市场的繁荣.金融数学所研究的金融问题很多，包括有价证券和证券组合的定价理论、利率及债权的价值分析、股票的价值分析、投资储蓄行为的风险偏好、套利资产定价、金融衍生品定价等等.数值分析是金融数学专业开设的一门重要的实用课程，内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用广泛性与实验高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合，实用性很强的数学课程.数值分析课程所学理论算法为这些金融问题提供了可靠有利的研究工具.举例如下：

(1)以发展有价证券的定价理论为例

证券定价理论是资本市场理论的核心内容，也是证券分析中最重要的关键点.证券市场的基本特征决定了价值投资理论的核心内容是对上市公司价值内在的评估.这实际上就是对上市公司的所有的现金流进行的折现值.一般情况下，它所用的数学方法有很多，但主要是提出合适的随机微分方程或随机差分方程模型，形成相应的倒向方程，进而建立相应的非线性Feynman-Kac公式，由此导出具有普遍意义的Black-Scholes方程.该方程可表示为线性方程组.针对阶数较高的线性方程组，要求得方程组的解，我们可以借助数值分析中所介绍的求解线性方程组的直接法(列主元素消去法、LU分解法等)或间接法(雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、针对大型方程组的超松弛迭代法等)，并借助计算机计算出最后的结果.

(2)以经济预测销售为例

在信息技术飞速发展的今天，各种无法预测的影响因素，会导致企业的销售和收入出现波动.因此，正确预测企业资源的未来发展、政府以及其他外界对经济政策的见解或者工厂加工业生产和经济增长情况，尤为重要.对某一生产加工企业而言，若供给大于需求，会有产品闲置，间接导致失业的结果；若需求大于供给，增大对进口的需求，会导致资金外流.对供求关系的把控需要一定的估计.数值分析课程中介绍的最小二乘法或拉格朗日插值法或牛顿插值法等内容就提供了解决此类问题的方法，将损失最小化，将社会发展最大化.比如已知某地区某商品在2019年1～12月和2020年1～4月的社会消费品零售总额的当期值，我们可以利用最小二乘法的数学模型进行拟合，对销售趋势进行预测，预估出2020年5～12月或未来年份的当期值，企业或工厂生产产品时以预估的当期值作为参考，避免过大的供求差异关系，避免企业或工厂出现产品滞销的情况，并且能在保证利润的情况下，将损失降到最小.

(3)以市场期权定价为例

在国内金融市场发展的同时，国际市场的联系也逐渐变得密切起来.期权作为金融市场发展过程的衍生品，在其中扮演着重要的角色，对期权的合理定价是国际金融市场的一项重大问题.我们可以借助先进的科学技术，考虑期权定价时的各种参数选择，比如标的价格、波动率、利率行权价等，通过数值分析中的误差、有效算法、收敛速度等标准判别优劣，然后通过数学的二项式定价方法，用金融数学理论确定是否进行投资、是否建立套利定价模型、是否对期权进行定价等.在这些建模的过程中，我们可以利用判断算法是否收敛的原理，判断所给的模型是否合理，以及所给算法是否收敛、收敛速度快慢，避免处理到病态问题.

3 金融数学与数据驱动

2020年3月出台的《关于构建更加完善的要素市场化配置体制机制的意见》指出，将数据要素正式提升为与土地、人力、技术、资本并重的第五生产要素.也就是说，数据要素已经成为国家战略.数据不仅是金融产业运行中的副产品，也是推动金融发展的关键要素.数据驱动型的金融产业必将到来.

金融领域是数据应用价值最大的行业.数据要素已经将金融资产的底层改变了，现代的生活都是基于用户的行为数据、社交数据、出行数据等各类数据，结合机器学习构建出风险的评价模型，以便金融机构采取不同的措施应对不同用户在不同阶段出现的不同问题，最具代表性的就是供应链金融.金融机构基于搜集到的海量数据开发研制出更受欢迎的金融产品，实现了从产品为中心到以顾客为中心的转换，以提高产品的吸引力，掌握了业务的主动权.

比如兑付风险模型.某金融机构以全量金融市场数据对证监会30000+金融产品做模型预测，模型预测的准确率高达85%，在第一次的实践应用中找到了5支兑付风险，在第二次的实践中找到了7支兑付风险.金融机构发生的风险后果超过了对自身的影响.如果风险达到了机构不能承受的程度或是亏本了，机构必将采取相应措施，以预防风险.这里的数据必须提前采集，进行训练，形成信息流，即数据驱动的部分；根据信息流建立评价模型，即数值分析的部分.人们利用模型预测出现的问题使机构可以提前采取措施应对风险.整个过程就是金融行业的发展过程.

4 数值分析教学现状

数值分析要求学生掌握具体数值计算的方法与理论、不同算法的比较、算法的改进与创新，但该课程涉及的理论知识多、抽象的理论算法多等特点，造成学生在该课程的学习难度较大.针对金融数学专业的学生，我们提出通过解决金融实际问题讲授数值算法以进行数值分析教学，帮助学生加深对抽象理论与算法的理解，并使学生认识到，数值分析课程的数值算法能够解决与本专业相关的金融问题，对以后专业课的学习和就业具有重大的应用价值，以使学生产生学习的兴趣，使课程的教学质量有所提高.目前国内多数高校的数学专业都开设了数值分析课程，但是对于金融数学专业的学生来说，仅仅将数值分析作为数学课程进行教学具有不足之处.

(1)教学内容重理论

数值分析课程的推导和算法比较多，内容也比较繁杂，计算量相对比较大，知识比较零碎，学生难以记忆，这导致学生学习兴趣不高.课堂上教师讲授理论知识所用课时太多，要求学生掌握各种数值计算的方法与理论、不同算法的比较、算法的改进与创新等等，教学内容烦琐，这导致学生学习兴趣不高.

(2)教学内容轻实践

目前，许多高校对本课程的讲授着重于数值分析各种算法的数学公式推导和定理证明，而对相关算法的应用讲授得太少.学生的理论学习模式化，实践环节不够，缺乏应用性，因此在学习过程中学生感觉到枯燥或者学习效果不佳，只能死记硬背公式，不会应用.

(3)教学实例脱离专业

在教学方式上，许多高校仍将本门课程作为数学课程讲授，使用传统的单一的“传授式”的教学方法，教师在课堂上讲，学生在下面记.这种教学方法太注重理论的讲解和算法的传授.教学内容严重脱离专业性，导致许多学生在学完本课程后不具备用本课程的相关原理和方法解决与本专业相关的实际问题的能力.

目前是科技迅速发展的时代，这种传统的教学模式难以达到理想的教学效果，已经不适合时代的发展，也不可能培养出创造型人才，必须进行改革，以适应大数据时代的信息化要求.

5 数据驱动的数值分析课程改革

针对目前数值分析传统教学中的不足之处、金融数学专业内容特点及数据驱动的时代特点，本文提出数据驱动的数值分析课程改革方式，具体如下：

(1)收集金融专业所研究的问题

教师可以引导学生查阅资料文献，收集金融数学专业所涉及的金融实际问题，可以是投资决策问题或资产估价问题、股票估价问题、风险投资问题、套利定价等.比如某机构的金融信息.

(2)整理数据

教师可以利用数值分析讲授数据处理方法，比如列表法、图示法、图解法、逐差法、最小二乘线性拟合法等，对数据进行处理，得到合理的数据，并形成信息流.

(3)确定数值计算方法

教师可以针对收集到的金融实际问题的数据，分析训练，给出假设和条件建立数学预测模型，并整理相关的数据并进行分析，根据数学模型找出合适的数值计算方法，也可以分组讨论，每组采用不同的算法进行求解.具体实例使得抽象内容具体化，可以加深学生对金融专业课基本内容的理解.

(4)详细讲授数值计算方法

教师通过某一个具体的金融案例，求解上述构建的数学模型时，讲授数值分析课程的各种相关数值计算方法，加深学生对数值分析课程所讲授的数值算法的理解和掌握，并让学生意识到所学的数值分析课程内容在解决金融相关问题中发挥的作用.

(5)结合实例，用MATLAB程序编程上机操作

教师根据数值计算方法，让学生利用MATLAB软件自己编写相应程序，并进行具体问题的数值仿真实验，通过实验使得学生熟练编程技巧，加深对算法的理解，并掌握如何利用数值计算方法对金融中的数学模型进行求解与分析.

各小组完成后，教师鼓励各组学生将实验结果相互交流，互作补充，探讨实验过程中的可取之处.教师在一旁做指导并及时进行调控，最后由小组学生代表做简明汇报，教师再做总结，引导学生归纳出该知识点的主要内容，并写出一份实验报告.这样一方面可以培养学生的归纳和概括能力，另一方面可以巩固加深学生对知识的理解，还能促进知识的迁移，解决实际问题.

实践性教学是以金融实际问题为中心,然后根据不同的教学内容提供不同的金融实例，可以激发学生的兴趣和探究意识.只要是围绕着本专业所学知识点或者与之相关的内容的素材,都可以作为学生探究的课题.教师要让学生在本知识点开始前就思考分析如何设计算法、 如何用计算机程序实现、结果误差如何，从而提高学生的思考能力，培养其利用所学知识分析问题和解决问题的能力.

6 总 结

教师注重理论与方法的实际背景，尽可能地用与金融数学相关的实例诠释数值分析中的概念和方法，用数值算法解决金融实例问题并督促学生自己动手完成实验，是数值分析课程教学建设的一个新尝试.实例教学以金融专业为背景，以MATLAB为平台，以主要数值算法为线索，向学生介绍该算法产生的实际背景和金融生活中的广泛应用，主要是给出数值算法在金融领域的实际运用,结合数学软件的求解使学生了解现代计算工具的发展和应用，使数值分析的教学内容呈现多样性和应用性，更加贴合金融数学专业的专业背景，逐步提高学生学习该课程的兴趣，使该课程在金融领域发挥出最大的贡献.

我们对本校几届金融数学专业学生进行以上措施的实施，使金融数学专业的学生逐步认识到所学数学类课程与计算机类课程如何为金融相关的实际问题提供理论基础和解决工具，如何与实际案例相结合，如何写出更加规范的程序，使他们全面、深刻、系统地理解所学的知识，增强实际操作能力，培养其创新能力和科研能力，并为进一步学习相关课程打下基础，培养大学生对学习新知识的浓厚兴趣，同时提高学生自主学习的能力，为以后工作中的实践打下基础.