动静结合巧求过定点的旋转直线斜率范围

张平

【摘要】“数形结合法”是解决数学问题的一种重要方法，它可以将抽象的数学问题具体化、准确化、形象化.数形结合可以帮助我们更深入、更准确地理解数学问题，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学素养.本文借助于数形结合思想通过对一道课本习题的变式研究，归纳出该类问题的一般解题模型与结论，并进行变式与拓展应用.

【关键词】动静结合；定点；旋转直线；斜率

1问题呈现与解

例1经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围，并说明理由.

解设直线PA，PB的倾斜角分别为γ，β，

由题意得kPA=-1，kPB=1，

则γ=3π4，β=π4.

图1

如图1所示，符合题意的直线l只能在图1中的阴影区域内（包括边界）.设直线l与线段AB的公共点为M.

过点P作平行于x轴的直线与线段AB交于点C，则直线PC将阴影区域分为△PCB、△PAC两个三角形区域.

当点M从点C沿线段CB运动到点B时，此时直线l的倾斜角逐渐增大，且α∈［0，β］，此時直线l的斜率k∈［0，1］；

当点M从点A沿线段AC运动到点C（不含点C）时，此时直线l的倾斜角逐渐增大，且α∈［γ，π），此时直线l的斜率k∈［-1，0）.

综上知，直线l的倾斜角α的取值范围为0，π4∪3π4，π，斜率k的取值范围为［-1，1］.

例2经过点P32，2作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围，并说明理由.

解设直线PA，PB的倾斜角分别为γ，β，

由题意得kPA=8，kPB=-2.

如图2所示，符合题意的直线l只能在图中的阴影区域内（包括边界）.

图2

设直线l的倾斜角α，直线l与线段AB的公共点为M.

过点P作平行于y轴的直线与线段AB交于点C，则直线PC将阴影区域分为△PCB、△PAC两个三角形区域.

当点M从点C沿线段CB运动到点B时，此时直线l的倾斜角逐渐增大，且α∈π2，β，

此时直线l的斜率k∈（-∞，-2］；

当点M从点A沿线段AC运动到点C时，此时直线l的倾斜角逐渐增大，且α∈γ，π2，此时直线l的斜率k∈［8，+∞）.

综上知，直线l的斜率k的取值范围是

（-∞，-2］∪［8，+∞）.

例3经过点P（-2，-3）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围，并说明理由.

解设直线PA，PB的倾斜角分别为γ，β，

由题意得kPA=13，kPB=1.

图3

如图3所示，符合题意的直线l只能在图3中的阴影区域内（包括边界）.设直线l的倾斜角α，直线l与线段AB的公共点为M，当点M从点A沿线段AB运动到点B时，此时直线l的倾斜角逐渐增大，且γ≤α≤β，

从而13≤k≤1，

即直线l的斜率k的取值范围为13，1.

例4经过点P（-2，2）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围，并说明理由.

解设直线PA，PB的倾斜角分别为γ，β，

由题意得kPA=-43，kPB=-34.

图4

如图4所示，符合题意的直线l只能在图4中的阴影区域内（包括边界）.设直线l的倾斜角α，直线l与线段AB的公共点为M，当点M从点A沿线段AB运动到点B时，此时直线l的倾斜角逐渐增大，且γ≤α≤β，

从而-43≤k≤-34，

即直线l的斜率k的取值范围为-43，-34.

图5

例5经过点P32，12作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围，并说明理由.

解设直线PA，PB的倾斜角分别为γ，β，

由题意得kPA=5，kPB=1.

如图5所示，符合题意的直线l只能在图5中的阴影区域内（包括边界）.设直线l的倾斜角是α，结合图形知α∈［0，β］∪［γ，π］，根据k=tanα（0≤α<π，α≠π2）的图象知0≤k≤1或k≥5或k<0，即直线l的斜率k的取值范围为（-∞，1］∪［5，+∞）.

2类型归纳与结论

过直线AB外一定点P作直线l与线段AB总有公共点，设P（x0，y0），不失一般性，设PA，PB的斜率均存在且kPA<kPB，则直线l的斜率k的取值范围有如下规律：

（1）只有直线y=y0在△PAB区域内时，

kPA≤k≤kPB；

（2）只有直线x=x0在△PAB区域内时，

k≤kPA或k≥kPB；

（3）直线y=y0与x=x0均不在△PAB区域内时，kPA≤k≤kPB；

（4）直线y=y0与x=x0均在△PAB区域内时，

k≤kPA或k≥kPB.

进一步简化为两大模型：

模型1：直线x=x0在△PAB区域内时，

k≤PA或k≥kPB.

模型2：直线x=x0不在△PAB区域内时，

kPA≤k≤kPB.

3拓展应用

例6直线l：kx-y-k-1=0与以点A（-3，1），B（3，2）为端点的线段总有公共点，求实数k的取值范围.

解由题意知直线l的斜率为k，

由kx-y-k-1=0得（x-1）k-（y+1）=0，

从而直线l过定点P（1，-1），于是本題转化为过直线AB外一定点P作直线l与线段AB总有公共点求直线l的斜率k的取值范围问题.

又kPA=-12，kPB=32，

又结合图形知本题属于模型一，则

k≤-12或k≥32，

即实数k的取值范围为

-∞，-12∪32，+∞.

例7经过点P（-1，2）作直线l，若直线l与圆C：（x-1）2+（y-4）2=1总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围，并说明理由.

图6

解由题意知点P在圆C外，过点P作圆C的两条切线PA，PB，如图6所示.设PA，PB的倾斜角分别为γ，β，由图6知直线PA，PB的斜率均存在.设直线l的斜率为k时，直线l与圆C相切，此时直线l的方程为kx-y+（k+2）=0.

由|2k-2|1+k2=1得k=4±73，

即kPA=4-73，kPB=4+73.

如图6所示，本题属于模型二，则

4-73≤k≤4+73，

即直线l的斜率k的取值范围为4-73，4+73.

例8已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值.

解（1）y2=4x（过程略）.

（2）由题意得F（1，0），

设P（x1，y1），Q（x，y），

则PQ=（x-x1，y-y1），

QF=（1-x，-y），

由PQ=9QF，得x-x1=9（1-x），y-y1=-9y，

即x1=10x-9，y1=10y，

又y21=4x1，

则（10y）2=4（10x-9），

化简得y2=25x-925，

即点Q的轨迹方程为y2=25x-925.

图7

如图7所示，当直线OQ与曲线y2=25x-925相切时，直线OQ的斜率存在且不为零.设相切时的直线OQ的方程为y=kx（k≠0），

代入y2=25x-925化简得25k2x2-10x+9=0，

由（-10）2-900k2=0，得k=13或k=-13，

结合图7知本题属于模型二，则-13≤kOQ≤13，

所以直线OQ斜率的最大值为13.

华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微.”“切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”数学学科核心素养指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，进而培养学生的创新思维.

教师在教学过程中，要注意挖掘教材中的典型例题与习题，根据数与形之间的对应关系，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，更好地展示了数学的规律性与灵活性的有机结合，有助于提高学生的分析问题和解决问题的能力，也更有助于帮助学生把握数学问题的本质，更有助于提升学生的数学素养.