单元教学设计的三项基本原则——以“相交线与平行线”章起始课为例

张振兴

（河北省黄骅市教育局教研室）

顺利实施初中数学单元教学的一个重要前提，是对每节课做好基于单元教学的教学设计.只有在预设阶段做好充分准备，才能在课堂教学中把单元教学落到实处，真正发挥单元教学的功能和价值.

一、单元教学设计的基本原则

除了遵循常规教学设计的基本原则外，单元教学设计还要牢牢抓住“一般观念”“整体性”和“联系性”三个关键词，遵循以下三项基本原则.

1.一般观念引领

所谓一般观念，指的是与核心概念和理论相关的研究问题的一般“套路”，是代数、几何及统计与概率的研究思路、研究内容和研究方法.在具体的教学设计中，经常为学生提供“先行组织者”的材料，激发、调动学生已有知识体系和认知结构中与本节课相关的研究思路、研究内容和研究方法，为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义的学习倾向，从而有助于学生掌握研究问题的方法.通过类比和联想实现知识、方法的迁移，在新的数学情境中发现新的研究内容，并初步获得研究新知识的基本思路和大致方法.

2.重视整体性

无论是在每一课时的教学中，还是在某一单元（章节）的教学中，都按照“整体—部分—整体”的顺序，遵从“感性—理性—升华”的总体布局进行设计，即先对所学内容或方法有一个整体上的感知，再化整为零，分头研究，分类讨论，分层推进，最后回顾与整合，形成更加完善的知识体系，以达到“既见树木，又见森林”“欲见树木，先见森林”的效果.在此过程中，要防止把教学内容切割成若干个彼此独立的知识点，对内容过度采用“掰开揉碎”地单独讲解，造成知识的碎片化，为此要始终把“部分”置于“整体”的视角之下加以研究，以整体观统摄所有内容.唯有如此，才能使得在研究“部分”的同时让“整体”也更加丰富起来.

3.突出联系性

与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质.单独的一个数学元素（如一个数值、一条直线），如果没有与其他数学元素相关，其研究价值就会大打折扣.教师要从横向与纵向、内部与外部、一般与特殊等不同角度，寻找各部分知识之间、“部分”与“整体”之间，以及同一部分知识前后之间的逻辑关系、思维路径和研究方式、方法的相同、相似与相通之处，将其充分应用到教学设计中，展示知识内容的生成过程、研究途径、逻辑结构和发展方向.

二、教学设计例析

下面，以人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级下册第五章“相交线与平行线”的章起始课为例，展示单元教学设计的具体应用.

1.教学内容解析

“相交线与平行线”是七年级学生进入第二学期最先学习的数学知识，也承接了第一学期最后学习的“几何图形初步”一章.从单元教学的角度来看，单独安排出1个课时作为“相交线与平行线”的章起始课，既有重要意义，又有一定困难.

就像要研究数值之间的大小比较、运算法则、函数关系一样，对于几何图形必须要研究相互之间的关系，其中图形的位置关系就是几何研究的三个维度（形状、大小和位置关系）之一.“相交线与平行线”一章内容的研究起点是同一平面内两条不重合的直线的位置关系，即首要问题是弄清它们有哪几种不同的位置关系.在教材七年级上册第四章“几何图形初步”中，已经学习了点和直线的位置关系，教材中是借助直线的表示方法给出的，是一种静态结果的呈现.如果能结合小学阶段接触的平移或旋转等图形变换，从动态角度探索两个图形的位置关系，则研究方法更具普遍性，并可以此类比得到两条直线的位置关系.

对于相交线和平行线的研究要与已有知识相关联.由于两条直线相交形成四个角（小于平角的角，下同），那么很自然地会想到用角来更加准确地刻画两条相交线的位置关系，从而将对相交线的研究转化为对角的研究，如邻补角、对顶角，乃至“三线八角”.在学习平行线时，也要转化为对角的研究，但是一定要弄清楚第三条直线（截线）的来历，建立新知识和旧知识之间的联系，帮助学生厘清知识网络，理顺知识的来龙去脉.综上可知，研究两条直线的位置关系，通常在转化思想指导下，将对直线的研究转化为对“角”的研究.

如同研究角的时候在学习了一般的两角关系之后，重点学习了特殊的两角关系——互余和互补.与之类似，研究两条直线相交，除了一般情况外，重点研究特殊的相交——垂直（夹角不可能是平角）.

2.学情分析

（1）已有知识储备.

从知识技能角度来看，学生在小学阶段已经对平移、旋转、轴对称三种基本的图形变换方式有所了解，为本节课寻找合适的动态方式探索两条直线的位置关系奠定了基础；而且学生已经接触了相交、垂直（垂足、垂线、垂直符号）、平行等概念，为顺利接受新知识做了一些铺垫.在教材七年级上册第四章“几何图形初步”的学习中，研究了直线、射线、线段、角等最基本的几何图形，特别对于角的大小比较、相互关系、特殊情况等有了进一步的认识，为学习相交线与平行线储备了必要的知识基础.

从活动经验来看，在小学阶段对几何图形的研究侧重于操作、实验、测量、借助网格画图等感性认识，以及少量的计算；进入初中阶段后，在教材七年级上册第四章“几何图形初步”的学习中，进一步明确了几何研究的对象，增加了简单的推理说明，提高了对计算的要求.这些学习内容与方式的改变，促使学生学习数学的活动经验不断积累与提高，为进一步发展数学推理能力和运算能力提供了保障.

（2）困惑与障碍.

由于学生系统研究几何的时间较短，尚未形成良好的数学思想，因此需要在教师的引导下，利用具体数学知识的形成、发展逐步培养，同时也增强学生发现问题（如在画图中寻找两条直线有怎样的位置关系）、提出问题（如两条直线的位置关系要研究哪些内容）、分析问题（如怎样研究两条直线的位置关系）的能力.本课时只是给出一个研究解决问题的方向，并不是要彻底解决问题.

在处理具体的重要知识点时，从学生视角发现困惑.例如，对于两条平行线的研究，既然平行线反映的是两条直线之间的位置关系，那么为什么多此一举地出现了第三条直线，研究三条直线之间的位置关系？这样做，岂不是把简单问题复杂化了吗？此时教师要引导学生利用转化思想把平行线知识转化为相交线知识，进一步转化为角的知识，如图1所示.

图1

3.教学目标

通过上述分析，可以把本课时的教学目标、教学重点和教学难点分别确定如下.

（1）教学目标.

①通过回顾点与直线的位置关系，得到两条直线的位置关系，体会类比思想的运用.

②通过对照角的学习，明确相交线与平行线的学习内容，进一步体会类比、从一般到特殊等数学思想方法.

③在探索“平行线—相交线—角”的知识转化过程中，寻找解决问题的研究方向.

④在学习过程中，通过动态与静态相结合，方案的比较、甄别、取舍、确定，培养学生数学思维品质的批判性、深刻性、广阔性与灵活性.

（2）教学重点.

①通过类比点与直线的位置关系，得到两条直线的位置关系.

②通过转化和类比角的学习，明确相交线与平行线的学习内容和研究方法.

（3）教学难点.

①发现利用旋转探讨两条直线的位置关系，体会静态与动态两个不同角度分析问题的特点.

②利用转化思想寻找解决问题的研究方法，实现“平行线—相交线—角”的知识转化.

4.教学过程设计

环节1：复习旧知，提供模仿对象.

问题1：几何研究的内容包括哪三个方面？结合已经学过的知识举例说明.

【设计意图】从几何研究的全局着眼，强化对几何研究内容的感知.

问题2：简单图形的位置关系，往往根据公共点的个数多少分成不同情况，那么点和直线的位置关系有哪几种？画图说明.

【设计意图】明确本课时对位置关系分类标准的界定，静态展示点和直线的位置关系，如图2所示.

图2

问题3：通过小学阶段的学习，我们知道了哪几种基本的图形变换方式？你能用其中的哪些图形变换方式（定点动线）来演示点与直线的位置关系？在练习本上画出一个点，并用铅笔代替直线进行演示说明.

【设计意图】通过问题3，引导学生用运动的观点动态演示点和直线的位置关系.结合具体知识选择动态变化的方式，将点和直线的位置关系用如图3所示的几何画板软件演示，即既可以用平移演示，又可以用旋转演示.在动态方案选择中，培养学生数学思维的批判性（三种图形变换方式的比较与取舍）和广阔性（两种不同的图形变换方式都符合要求）.

图3

通过静态展示和动态演示研究点和直线的位置关系，为进一步学习两条直线的位置关系提供了“先行组织者”.

环节2：类比学习，探索位置关系.

问题4：两条直线（没有特殊说明，均指同一平面内两条不重合的直线）有怎样的位置关系呢？类比研究点和直线位置关系的方法，你能考虑用什么方法研究两条直线的位置关系？

【设计意图】让学生从总体上知道可以从静态和动态两个角度思考问题，体会类比思想.

问题5：从静态的角度，用画图的方法说明两条直线有哪些不同的位置关系？

【设计意图】锻炼学生准确画图的基本功（如图4），感受从静态角度思考问题的局限性（图形孤立，缺少联系性；不容易考虑全面，容易遗漏）.

图4

问题6：仿照动态演示研究点和直线的位置关系的方法，你能想到用什么方法研究两条直线有哪些不同的位置关系吗？

提示：对于问题6，要关注如下两点：一是引导学生采取“一定一动”的策略，在练习本上画出一条直线，并用铅笔代替另一条直线进行演示说明；二是参照研究点和直线的位置关系的图形变换方式，有平移和旋转两种，此处适用旋转，而非平移，如图5所示.

图5

【设计意图】继续深化类比思想的具体应用，在模仿的同时，还要注意与被类比对象的不同之处，培养思维的批判性（否定平移的图形变换方式）与深刻性（通过研究比较发现合适的方案）.

问题7：比较静态与动态这两种的不同研究方法，感觉哪种方法更好？为什么？

【设计意图】引导学生比较两个思考问题的角度，不强求统一思想，但由于教材中呈现的通常是静态图形，因此可以有意识地引导学生从动态角度思考问题，培养思维的批判性与灵活性.

环节3：转化知识，寻找研究方向.

问题8：观察前面画的两条直线相交的图形中（如图5），有我们在七年级上册重点学习的什么几何图形？一共有几个？

【设计意图】在学习数学的过程中，我们经常要把新知识转化为旧知识，让学生体会转化思想.

问题9：教材七年级上册中，我们学习两个角之间的关系，除了一般化的关系之外，还重点学习了两角互余、互补等情况，主要是因为这两种情况比较特殊.那么两条直线相交时有什么特殊情况需要我们重点研究呢？

【设计意图】由于学生在小学阶段已经接触了垂直（如图6），所以关注点放在几何知识研究的一般知识结构体系上，即从一般到特殊.

图6

问题10：研究两条直线平行，要怎样将其转化为已知的内容呢？即能不能把“平行线”这一新知识和“相交线”这一旧知识联系起来、把平行线问题转化为相交线问题呢？

【设计意图】启发学生在转化思想的引领下，补充与两条平行线相交的“截线”（如图7）.这样的设计至少有三个好处：首先，渗透了转化思想，把未知的问题（平行线的判定）转化为已知的问题（相交线中角的大小关系），在后续的学习中，还可以让学生进一步体会这种重要的数学思想的意义；其次，启发学生对于两个貌似互不相关的几何元素，可以通过添加其他几何元素的方法进行关联，为日后“辅助线”的产生打下基础；最后，有利于在今后的教学中进一步强化知识之间的连贯性，指导学生学会用“中间量”“媒介元素”来解决数学问题，乃至借助“中间量”解决生活中的实际问题，将提高学生的数学素养，传播数学文化.

图7

问题11：在前面用动态方式研究两条直线的位置关系时，我们为什么舍弃了平移的方法？

【设计意图】使学生初步感知通过平移画出的一组直线是平行线（如图8），故可以将平移知识转化为平行线知识，这不会改变与另一条直线的位置关系.

图8

环节4：课堂小结，总结回顾提升.

根据学习内容展示本节课的思维导图（如图9）.

图9

问题12：本章要学习哪些知识？

追问1：如何知道要学习这些内容？

追问2：如何把新知识转化为旧知识？举例说明.

【设计意图】由于七年级学生系统学习几何的时间较短，所以思维导图宜直接给出，让学生“看图说话”，补充内容，引导学生从“学什么（知识本身）？”“为什么学（来龙去脉）？”“怎样学（研究方法）？”三个角度梳理本节课的学习收获.

环节5：检测评价，反馈学习效果.

（1）如图10，过直线l外一点A画直线l的相交线、垂线、平行线，能分别画出几条？

图10

（2）如图11，直线a与直线b相交的夹角∠1=30°，要使直线a旋转到直线a′的位置使之与直线b垂直，则∠2需要旋转的度数是多少？

图11

【设计意图】以上两道题分别从静态和动态两个角度，着眼于对知识技能目标的检测.

（3）上下平移直尺，画出两条长度均为5 cm的线段，观察线段四个端点围成的四边形，猜想它是什么图形？

【设计意图】对初步的平移画图与几何直观的检测.

（4）按照公共点个数的多少划分，直线与圆的位置关系有几种情况？

【设计意图】侧重于类比思想的具体应用，用动态方式研究，用静态图形描述.

（5）在立体图形中，若两条直线没有交点，一定就平行吗？

【设计意图】此为思维拓展类问题，强调如果没有特殊说明，我们研究的一般是同一平面内两条不重合的直线的位置关系.

三、教学回顾与反思

在本课时的教学中，教师提出的第一个问题便立足于几何研究的总体范畴，具有很强的整体性，并且比较自然地把图形关系作为研究对象，使对图形位置关系的学习变得水到渠成.接下来，从静态画图和动态变换两个不同的角度回顾点和直线的位置关系，采取“一定一动”的方式进行操作演示，这是本章学习相交线和平行线有关知识的类比对象和思维导向，体现了一般观念在探索发现新知识中发挥的重要作用.对于相交线知识，类比两角关系由一般到特殊的学习思路，结合小学阶段已有的学习经验，得到垂直或相交的特殊情况，体现了从一般到特殊的数学知识研究途径.教师引导学生搭建起由平行线问题到相交线问题的桥梁，把未知知识领域与已知知识领域进行沟通，也是一般观念的具体运用，在上述的类比与转化的过程中让学生不知不觉地感受到知识之间的内在逻辑关系，便于形成良好的知识体系和思维结构.在课堂小结中呈现思维导图，引导学生再次回到整体性的高度回顾本章所要学习的主要知识，特别是从中体会知识的生成过程和研究的方向、方法，并通过一组测试题对学习目标的达成情况进行评估，突出重要的数学思想方法，优化学生的数学思维品质.整节课的教学过程就像先看到一片森林的总体外观，再在特定的方向从森林中找出一片树林，然后依据一定的方法从这片树林中重点观察几棵具有代表性的树，找出树木、树林、森林之间的联系，最后当我们回过头来再看这片森林时，就会有更加全面而深刻的印象.正如章建跃先生所说，在面对一个新的数学研究对象时，要有“整体观”，要先为学生构建研究的整体框架，再在“获得研究对象就是要让学生理解相关数学概念的内涵和外延”“研究数学对象的性质就是探究它的要素、相关要素之间稳定的联系”“通过类比、推广、特殊化等发现和提出值得研究的问题”“通过建立相关知识的联系，使学生形成思维功能强大的知识体系，更有效地解决问题”等具有普遍意义的一般观念的指导下，展开学习和研究.

在章起始课的教学设计中需要注意两点：一是“抓大放小”，反映一般观念的材料无需过度关注细枝末节，应从大处着眼，整体布局.本课时中，判断简单几何图形的位置关系，采用了以公共点的个数作为分类依据的常用方法，但这并非唯一的方法，也不适用于所有图形位置关系的界定.例如，“三线八角”中的各角位置关系就不是通过公共点个数区分的，但为了避免知识过多、过杂，造成学生思维混乱，在本节章起始课中没有出现“三线八角”的概念，相关知识需要在学习过程中充实完善.二是基于学情，从整体和联系的角度构建知识体系，要符合学生已有的知识经验和教学目标的达成.类比七年级上册所学的根据两角的关系探讨两条直线的关系，突出的是从一般到特殊的研究路径和方法，其实两角的关系着眼于两者之间的数量关系，两条直线的关系着眼于两者之间的位置关系，而对位置关系的刻画往往需要借助数量或数量关系，如相交线形成夹角的度数关系、“三线八角”中每对角的度数关系、平行线之间的距离等.这些内容对于教师而言应该理解透彻，但对于几何知识基础相对薄弱的七年级学生来说，不能一节课都灌输下去，而应采用适当的方法进行渗透.例如，“平行线—相交线—角”的知识转化过程中蕴含着位置关系与数量关系的联系.用动态观点研究两条直线的位置关系时，平移直线的方法虽然不能改变两条直线的位置关系，但是改变了相交线的交点位置，或者改变了平行线之间的距离，而这些不是本章需要研究的主要内容，所以不做过多介绍，否则就会喧宾夺主，偏离教学目标.

总之，在单元教学的章起始课中，教师要引导学生“未见树木，先见森林”，对本章知识的整体框架有初步的了解，不在于学会了多少定义、定理、公式、法则，主要目的是让学生通过知识的生成与发展，了解所学的数学知识从何而来、为何而来，进一步地，遵循这样的发展规律，这些知识又会向何处去、为何而去，遇到这些问题时，我们分析和思考的大致方向会怎样，其中蕴含的数学思想方法会潜移默化地优化着学生的思维品质.而这些，对于教师而言，更多地体现了数学教育的初心；对学生而言，更多地培养了其终身学习的能力，是落实教育工作“立德树人”根本任务的具体表现.