一道二次函数中考试题的探究过程

黄世民

（福建省惠安县教师进修学校）

二次函数是初中数学“数与代数”知识领域的最高阶段，是中考考查的重点内容之一.综观近年来的中考数学试题，对二次函数的概念、图象及其性质的综合考查可谓是屡见不鲜，常考常新，且试题设计精妙，意境新颖，有效考查了学生的数学核心素养和关键能力，彰显了数形结合的神奇魅力，不失为中考数学试题的一个亮点.

一、真题解读

题目若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过点A(m，n)，B(0，y1)，C(3 -m，n)，，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）.

（A）y1＜y2＜y3（B）y1＜y3＜y2

（C）y3＜y2＜y1（D）y2＜y3＜y1

此题是2019年中考福建卷第10题，即选择题最后一道题，属于选择题的压轴题，主要考查二次函数的图象、性质及其应用，属中等难度题.题目注重素养立意，考点精准，表述精练，结构严谨，信度较高，区分度明显，具有较好的教学导向作用.

二、解题困惑

1.审题困惑难入手

由于题目是以文字加数学符号语言的形式进行描述的，没有提供图形语言，缺少直观形象，解题需要较高的数学抽象能力，给学生解题带来一定的困惑和难度，且题目中的参数较多，让大部分学生审题时望而却步，产生畏难情绪，从而导致解题无从下手，甚至束手无策.

2.常规思路受阻

从题目的题干来看，所提供的二次函数解析式是一般形式且二次项系数是|a|.按照学生已有的解题经验，若已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三个已知点（其坐标是具体已知数），则可用待定系数法求出其函数表达式.可是，该题给出的已知条件是二次函数图象经过点A(m，n)，B(0，y1)，C(3 -m，n)，，E(2，y3)，这五个点的坐标均含有字母，不是具体的数字，因而使学生产生认知冲突，导致常规思路受阻.

三、解题分析

罗增儒教授在其《数学解题学引论》一书中指出：解题能力，表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐洞察力与整体把握，核心是能否掌握正确的思维方法，包括逻辑思维与非逻辑思维.掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法，调动精明的解题技巧.

1.直接代入法求解

其实，解答此题可以从已知条件出发，大胆尝试，顺势而为，即把已知条件中五个点的坐标直接代入二次函数解析式，具体分析如下.

故此题选择选项D.

【评析】显然，用代入法，结合作差比较法可以直接求得结果，但解题过程较烦琐，运算量较大，对学生的等量代换和恒等变形能力要求较高.对于选择题而言，此解法不够简洁，耗时较长，有“小题大做”之嫌.那么，此题有其他妙解吗？答案是肯定的.可以另辟蹊径，再次寻找解题良策.

2.特值检验法求解

此题是选择题，可以采用特值法进行尝试.特值检验法，即从题干出发，选取满足条件的特殊值进行求解，并将得出的结论与四个选项进行比较，产生矛盾或根本不存在的选项即可淘汰.对于此题的解答，取特值时可能存在下列情形.

当然，也可以利用二次函数的图象及其性质来解题，这里不再赘述.此时不禁要问：以上两种情况出现迥然不同的两个答案，原因何在？孰是孰非？抑或全然不是？

3.诊断分析

学起于思，思源于疑.鉴于上述两种迥然不同的答案，引发思维冲突，究其缘由，在于取特殊值的过程通常是必要条件过程，往往忽略题目应满足的充分条件，如情况1的解答忽略了对二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m，n)，C(3 -m，n)两点的前提特征分析，即特值选取得到的二次函数y=x2不满足题干条件，导致结论错误.错误原因可以从正、反两个方面分析如下.

（1）逆向分析.假设情况1中二次函数y=x2符合题意.由于A(m，n)，C(3 -m，n)两点在y=x2图象上，则有m2=(3 -m)2.易求得.则A，C两点重合，与已知矛盾.所以假设不符合题意.

比较上述两种解法可知，运用代入法直接求解较烦琐，对学生的数学解题能力要求较高，而运用特值检验法解答选择题这种题型，解法简捷，灵活多样，可以避免“小题大做”之嫌，深受解题者所青睐，因此特值检验法是选择题比较常用的解法之一.

四、问题探究

问题是数学的心脏.解题就是解决问题，即求出问题的答案.思维是人脑对客观事物间接的、概括的反映，因而问题解决时的数学思维是一个发现的过程、诊断的过程、探索的过程、创造的过程.

1.抽象本质

回顾上述解题探究过程，经历了最初的审题困惑难入手、常规思路受阻、代入求解烦琐、特值法误入歧途的窘境，通过数学诊断分析，转变解题策略，最终找到解题的最佳方法.

但是数学解题不能以题论题，而应以题论法，揭示问题本质，探究解法归因.

对于此题，若用数学的眼光观察题目已知条件中五个点的坐标，不难发现，点A(m，n)和C(3 -m，n)可以看作是二次函数y=|a|x2+bx+c的图象与直线y=n的两个交点，并且关于直线对称.因而可知，该二次函数图象的对称轴为，其表达式可记为.由于|a|＞0，即抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大.根据题意，在平面直角坐标系中画出函数图象，并在图象上描出点在二次函数图象上的大致位置，根据二次函数图象及其性质，可以直观判断出y2＜y3＜y1.

像这样通过数形结合的方法，即把抽象的数学符号语言转化为具体、形象的几何图形，借助图象的直观，结合函数的性质即可求得正确结论.追本溯源，由此可见该试题设计意图，旨在利用二次函数的图象及其变换，研究二次函数图象上点的位置关系，从中考查二次函数的对称性及增减性等重要性质.

从这道题出发，我们可以归纳出如下数学结论：一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，函数图象上的点到对称轴的距离越大，则其函数值越大，反之亦成立；当a＜0时，函数图象上的点到对称轴的距离越大，则其函数值越小，反之亦成立.

2.提炼解题策略与方法

著名数学教育家波利亚说过，在你找到第一个蘑菇（或做出第一个发现）后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.从一道二次函数试题的探究过程中领悟了此类问题的数学本质，进一步认识并提高解决问题的能力与方法.解决二次函数图象类问题的基本策略与方法就是要善于利用和挖掘试题中的已知条件，熟练把握函数图象上的点的特征，方能找到解题的切入点.要抓住函数图象的对称性及增减性，利用数形结合，即“数”与“形”并进，见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”，达到融会贯通.同时，值得注意的是，在数形转化的过程中，必须遵循转化等价原则、数形互补原则、求解简单原则，否则解题容易“误入歧途”，产生解题错误，难以达到“数形结合百般好”的最佳境界.

五、试题导向

1.试题凸显素养导向

此题源于教材又高于教材，由华东师大版《义务教育教科书·数学》九年级下册第26章“二次函数”复习题C组第14题和第15题融合改编而成.它既体现了考试的公平性，又考查了教学成果，有着很好的教学导向.因而，对教材习题的深度开发与探索，挖掘其潜在知识，抽象其数学本质，提炼其数学精髓，探索其教育价值，这对于更好地培养学生的数学思维，以及发展学生的数学核心素养意义重大.

由于此题的解答中需要把数学符号语言转化为图形语言，实现数与形的等价转换等数学高阶思维，考查数学抽象能力、推理能力、运算能力等重要数学核心素养.同时，此题又有不同的解法选择，需要判断与甄别的思维过程，从而考查了数学基本活动经验，体现了对数学思维过程和解决问题方法的考查.因而，数学课堂教学提倡“以学为中心”的过程教学，应重视学生的自主探究与创新能力的培养与提高.

2.研究解题策略与方法

数缺形时少直观，形少数时难入微.数量关系和空间图形是数学研究的两个主要方面，它们之间有着密切的关系，在一定条件下可以相互转化、相互渗透.可见，数形结合是解决二次函数图象类问题的一个重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑.

加强数学理解，善于数学联想，有助于解题思路的寻找与解题过程的改进，从而达到对某种数学对象的本质领悟.返璞归真，把握数学本质，使解题思维策略规律化、系统化，以达到触类旁通的功效.