基于整体视角的线段和角的复习课教学

尹国益

（江苏省苏州市阳山实验初级中学校）

苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）整体性特点鲜明，注重知识之间的关联性、延续性.在日常教学中，教师往往注重章节性的课时教学，讲授孤立的知识点，导致学生无法感悟知识间的结构性、关联性，掌握的知识是零散的，无法有效建构完整的知识体系，不利于深层次的学习.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联.一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序.因此，教师在日常教学中要挖掘教材、整合教材，让学生能感受到不同数学知识之间是有内在联系的.

一、教学分析

1.教材分析

“图形与几何”是初中数学课程中比较重要的内容，目的是培养学生的空间观念，使得学生学会借助图形来分析问题，提高他们对图形的把握能力，进一步提升推理能力.教材七年级上册第六章“平面图形的认识（一）”，是初中“图形与几何”内容的起始章节，其基础知识将会影响到后续几何内容的学习.

线段和角作为几何图形的基本元素，研究几何图形的问题最终要转化为对这两个基本元素的研究，故线段、角的教学是几何教学的出发点和生长点.线段和角是第六章“平面图形的认识（一）”的起始课，在编排教学内容时，教材虽然将其分成了2个课时的内容，但在教学方式及教学目标上两者具有一致性，都强调发展学生有条理地思考和几何语言表达的能力.

2.学情分析

学生在小学阶段已经初步认识了线段和角，但并没有对其进行定量、定性的研究.在初中阶段，按照《标准》的要求，学生要用数学语言来对图形进行描述，还要能够借助图形来分析、解决问题.因此，教师在教学过程中必须要重视学生书写的规范性和论证的条理性.通过前两节课的学习，学生能掌握线段、角简单图形的处理与运用，但遇到结构比较复杂的图形时，学生很难利用图形及题干条件找到解决问题的切入点，无法抓住图形的基本结构寻求解题的关键点.学生也常孤立地看待问题，不能由线段的问题联想到角的类似问题，不会从题目中提炼出解题的思路与方法，也就无法达到触类旁通的效果.针对上述问题，笔者对教材内容进行整合，从线段、角的定义出发，从本质上挖掘两者之间的一致性，再从研究的内容和思想方法上挖掘线段和角知识结构之间的关联，进一步加强学生对基本图形的认识，强化学生的逻辑推理能力，为学生后续的几何学习提供范式.

3.教学目标

（1）理解线段、角的关联性，掌握两者的本质联系，熟练地运用图形解决几何问题；

（2）通过具体问题培养学生识图、作图的能力，拓展学生的逻辑思维，进一步提高学生的几何水平.

二、教学过程

1.直观感受，建立关联性

师：由如图1所示的几何图形你能想到哪些知识点？

图1

师生活动：通过这两个基本的几何图形引导学生回顾线段和角的相关知识.知识层面上，主要研究图形的基本概念、表示方法、比较大小、数量关系（和与差）、平分，发现研究的内容具有一致性，初步建立两者之间的关联.通过对比、交流、讨论，完善表1.

表1

【评析】通过对相关知识的复习与回顾，引导学生发现从知识内容上，线段和角主要的研究方向具有一致性，可以进行一定的类比，从而初步建立两者之间的关联性.这样既帮助学生建构了有关线段和角的完整的知识体系，又有利于学生后期关于线段、角的对称性的学习.

2.问题指引，揭示关联性

师：为什么线段和角所研究的内容具有一致性？

学生沉默不语.

师：既然线段和角在很多方面都类似，那么主要是哪一方面存在共性，才会引起其他方面的一致性？

学生开始大胆猜测.

生1：我认为主要是线段和角在表示方法上具有共性，只有将几何图形表示出来才可以进行比较大小，进行和与差的运算等.

师：很好！将图形语言转化为符号语言后，可以对其进行比较大小及和与差等运算.那么它们的本质是什么呢？为什么线段和角在表示方法上类似呢？

生2：因为线段有两个端点，要通过两个端点来表示一条线段，角有两条边（有公共端点的两条射线），要通过两条射线来表示角.这都与它们的组成元素有关.

教师总结：研究两者之间的关联要从本质出发，要从基本的概念着手.线段的概念：直线上两点和它们之间的部分；角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形.那么，我们发现线段主要受到端点的约束，角主要受到两条射线的约束.我们把线段的两个端点称为线段的“边界元素”，把角的两条边称为角的“边界元素”.那么你能将它们之间的关联给刻画出来吗？

生3：表示方法：线段和角的表示要借助两个边界元素来表示；比较大小：叠合法是指将其中一个边界元素重合，看另一个边界元素（放在同一侧）的位置进行比较；和与差：主要是通过观察边界元素的位置，转化为数量关系；平分：新的元素在原图形的中间位置.

师：看来只要找到线段和角的本质关联，那么线段和角的相关问题的处理方法也就一致了.

【评析】学生从内容上已经发现线段和角具有关联性，但不一定能明白为什么会有关联性.如果不进行深层次探究，学生还是不能真正掌握其本质.通过问题串的形式，引导学生探究，发现其实质都是由线段、角的“边界元素”具有一致性引起的，这也给学生的几何学习指引了方向.

3.思路拓展，提升关联性

思考：已知线段AB=8 cm，BC=3 cm，求线段AC的长.

生4：AC=AB-BC=5 cm.

师：大家还有不同的想法吗？

生5：由于不知道点C的位置，所以不能求出线段AC的长.

追问1：点C需要满足什么条件？它的位置有多少种情况？

生6：满足BC=3 cm，它在以点B为圆心、3 cm长为半径的圆上，位置有无数种情况.

追问2：那么添加一个怎样的条件，使得刚才生4的解法是正确的？

生7：添加“点C在线段AB上”.

追问3：若点C在直线AB上，又会出现什么情况？

生8：会有两种情况.情况1：如图2，点C在点B的左侧；情况2：如图3，点C在点B的右侧.

图2

图3

追问4：那么角有类似的情况吗？你能举个例子吗？

生8：角也存在类似情况.例如，已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数.

师：请大家独立完成这道题.

【评析】几何教学，一方面，要培养学生的几何直观，使学生能够直接利用图形来描述和分析问题；另一方面，还要注重培养学生的空间观念，使学生能根据所给的条件绘制出符合要求的几何图形.因此，在几何教学中，教师要培养学生识图、作图的能力，通过图形来分析其中的数量关系，进一步培养学生的数形结合思想.在上述问题探究中，笔者并没有直接绘制好图形，而是让学生自己探索、自己画图.在作图的过程中，学生可以体会到线段、角的边界元素位置的变化会引发不同的数量关系，进一步提升线段和角之间的关联性.

4.渗透思想，强化关联性

例1如图4所示的线段上一共有n个点，则图中共有多少条不同的线段？

图4

练习1：如图5，以点O为端点有n条射线OA1，OA2，…，OAn，则图中共有多少个不同的角？

图5

【评析】让学生再次感受线段和角的构成关键在于边界元素，强化数线段、角的个数就是将不同的边界元素进行组合.这里让学生积极讨论，阐述不同的方法，渗透分类讨论思想.

例2如图6，已知点A，B，C在同一直线上，AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点.求线段MN的长.

图6

变式1：如图7，若M，N分别是AB，BC的中点.求线段MN的长.

图7

变式2：如图8，若M，N分别是AC，AB的中点.求线段MN的长.

图8

师：若AC=a，BC=b，用a，b来表示线段MN，通过探究，你发现了什么结论？

练习2：试编写一道与角有关的相似题型，你能自主完成探究吗？

【评析】由于点C在线段AB上，会得到三条不同的线段AC，CB，AB，由具体数值再结合两个中点的不同位置可以求出线段MN的长度，最后再从代数的角度推广到一般情况，得到结论：例2中变式1中，变式2中，总结出线段MN的长都等于第三条线段长的一半.练习2是一道开放性练习题，让学生自己编题，得出角中也存在类似的问题，然后再探讨角中是否存在相同的结论，进一步强化线段、角的一致性.

例3如图9，C，D是线段AB上的两点，CD=7 cm，M是AC的中点，N是DB的中点，MN=12 cm，求线段AB的长.

图9

练习3：如图10，∠AOB∶∠COD=2∶3，∠BOC=20°，∠AOC+∠BOD=140°，求∠AOB的度数.

图10

【评析】对于几何题中的运算除了单独求解，还可以通过整体思想、方程思想来解决，将之前所学的代数内容与几何结合在一起，建构完整的知识结构和研究方法体系，让学生进一步领会到线段和角不只在内容上具有一致性，连处理问题的方法、运用的数学思想方法都一致，从而强化两者之间的关联性.

三、教学反思

1.注重教材整体，构建知识关联

《标准》指出，教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系.教材七年级上册各章节的内容编排合理，章节的紧密性强，代数中的相关知识为线段和角的有效教学奠定了基础，而线段和角又是构成几何图形的基本元素，所以这节课的内容可以视作代数与几何的衔接课.如何把握知识之间的关联性？教师需要从本源出发，在线段、角的教学过程中，从概念出发，先在知识层面上让学生体会到两者之间的关联性，再深度探究；在思想方法上让学生深刻领悟到线段和角的本质联系.因此，教师在教学时，要让学生学到结构性的数学知识，这个结构可以是大的章节结构，也可以是小的单元结构.只有这样，学生对于知识的理解才能更加深入和完善，才有利于学生数学素养的提高.

2.注重思想渗透，达成本质关联

在教学过程中，教师不仅要让学生掌握知识，还要让学生知道知识的本质，只有挖掘出本质，才能巩固所构建的知识框架，这样形成的知识体系才经得起考验.通过问题导向的方式，引领学生领悟到线段、角的关联性本质在于它们的“边界元素”具有一致性，边界元素的位置关系会导致不同的数量关系.因此，在几何教学中，教师一定要培养学生读题、识图、作图的能力，通过图形来理解其中蕴含的数量关系，渗透数形结合思想.同时，引导学生学会借助方程、整体、归纳等思想方法进行几何探究.因此，教师在对教材进行深度解读、体悟和重组的同时，更要深刻挖掘知识间的内在联系，理解其中蕴含的数学思想.

3.注重经验积累，形成方法关联

《标准》指出，学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践.课堂教学要以学生为主体，要给学生充足的时间去感悟知识之间的联系.本节课的教学中，重视学生的自我探究、主动去获取知识，从线段、角的知识层面的对比，到两者关联本质的探究，再到例题的探究，都是由学生自己讨论、自我探究完成，让学生经历知识的生成过程，这样学生才能切身体会到不同知识间的关联性.通过长期的思维训练，重点要培养学生学习方法的关联性.在以后的学习中，学生如果遇到新的问题，能够自觉地思考：有没有解决过类似的问题？能否借助已有的知识解决新的问题？借助类比思想，学生能主动地构建知识结构之间的联系，这样才能进一步提高学习能力.

本节课中，笔者主要采用“合理设疑、自主探究、题型再创”的教学方法，从学生已有的知识层面上提出问题——为什么线段和角具有相关性？启发学生对所学的内容进行深层次探究，从本质上理解两者之间的关联性.在自主探究的过程中，学生对问题的认识也会更全面，也能根据例题自主编题，从而进一步提高学生思维的创造性.

在教学过程中，教师要引导学生养成“回头看看”的习惯，适当地放慢教学进度，学会从教材整体性的角度进行课堂教学，使学生能够从已有的知识层面去分析知识结构和知识脉络，这样才能抓住知识间的本质联系，从而提升学生的思维品质，进一步培养学生的数学核心素养.