利用数学运算解决一类函数的对称性问题*
2022-11-14 13:29林心如福建师范大学附属福清德旺中学高一350319指导教师
中学数学 2022年4期
林心如 (福建师范大学附属福清德旺中学高一(1)班 350319) 指导教师 周 宁
函数的对称性问题在教材中没有直接作为授课内容呈现，而是以课后习题形式出现，并且是通过转化为函数的奇偶性加以解决．那么，是否还有其他的方式进行求解？本文进行了以下的探究．
1 试题与分析
问题
我们知道，函数y
=f
(x
)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y
=f
(x
)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y
=f
(x
)的图象关于点P
(a
,b
)成中心对称图形的充要条件是函数y
=f
(x
+a
)-b
为奇函数．(1)求函数f
(x
)=x
-3x
图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y
=f
(x
)的图象关于y
轴成轴对称图形的充要条件是函数y
=f
(x
)为偶函数”的一个推广结论．分析 这道题是人教A版必修第一册第87页“拓广探索”栏目的最后一题，有一定的难度，主要体现在对背景知识的理解和代数运算．根据题意，要将题目的对称性转化为函数的奇偶性．不妨设y
=f
(x
)图象的对称中心为(a
,b
)，则问题等价于y
=f
(x
+a
)-b
为奇函数，利用奇函数的函数关系式可得，f
(-x
+a
)-b
+f
(x
+a
)-b
=0，再将f
(x
)=x
-3x
代入求解．为了减少计算量，可以考虑先取特殊值(比如x
=0，x
= -1)求解出对称中心的坐标，再验证一般性成立．通过上述的分析可知，本题主要考查对函数奇偶性的理解以及知识的转化迁移能力，对逻辑推理、数学运算等数学核心素养要求较高．解法1
设函数f
(x
)=x
-3x
图象的对称中心为(a
,b
)，则g
(x
)=f
(x
+a
)-b
为奇函数，故g
(-x
)=-g
(x
)，即g
(-x
)+g
(x
)=0，f
(-x
+a
)-b
+f
(x
+a
)-b
=0，即(-x
+a
)-3(-x
+a
)-b
+(x
+a
)-3(x
+a
)-b
=0，整理得(3a
-3)x
+a
-3a
-b
=0，故解得故函数f
(x
)=x
-3x
图象的对称中心为(1,-2)．解法2
同上可得g
(-x
)+g
(x
)=0，则即整理得解得则g
(x
)=f
(x
+1)+2=(x
+1)-3(x
+1)+2=x
-3x
．因为对任意的x
∈R
，都有-x
∈R
，且g
(-x
)=(-x
)-3(-x
)= -(x
-3x
)=-g
(x
)，所以g
(x
)=f
(x
+1)+2为奇函数，函数f
(x
)=x
-3x
图象的对称中心为(1,-2)．2 反思提升
无论是解法1和解法2，在求解时都需要用到立方和差公式，运算较为麻烦．有没有更为简便的方法呢？在函数奇偶性的学习过程中，我们知道，在定义域满足关于原点对称的前提下，可以通过数学运算判断函数的奇偶性，如f
(x
)+g
(x
)的定义域关于原点对称，其中f
(x
),g
(x
)均为奇函数，则f
(x
)+g
(x
)为奇函数．那么函数的对称中心是否也可以通过运算来判断和计算呢？·探究1 通过运算探究函数的对称中心
问题1
提出猜想：若f
(x
),g
(x
)图象的对称中心都是(a
,b
)，则M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象的对称中心也是(a
,b
)．解析 因为f
(x
),g
(x
)图象的对称中心都是(a
,b
)，则f
(x
)+f
(2a
-x
)=2b
，g
(x
)+g
(2a
-x
)=2b
．两式相加得f
(x
)+g
(x
)+f
(2a
-x
)+g
(2a
-x
)=4b
，即M
(x
)+M
(2a
-x
)=4b
，故猜想不正确．事实上，M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象的对称中心为(a
,2b
)，即结论1
若f
(x
),g
(x
)图象的对称中心都是(a
,b
)，则M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象的对称中心为(a
,2b
)．问题2
若f
(x
),g
(x
)图象都有对称中心，但是对称中心横坐标相同，纵坐标不同，那么M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象有对称中心吗？解析 若f
(x
),g
(x
)图象的对称中心分别为(a
,b
),(a
,c
)，则f
(x
)+f
(2a
-x
)=2b
，g
(x
)+g
(2a
-x
)=2c
．两式相加得f
(x
)+g
(x
)+f
(2a
-x
)+g
(2a
-x
)=2b
+2c
，即M
(x
)+M
(2a
-x
)=2b
+2c
．故M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象也有对称中心，坐标为(a
,b
+c
)．于是有
结论2
若f
(x
),g
(x
)图象的对称中心分别为(a
,b
),(a
,c
)，则M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象的对称中心坐标为(a
,b
+c
)．同理，我们可以得到以下结论：
结论3
若f
(x
),g
(x
)图象的对称中心横坐标不同，那么M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象不是中心对称图形．结论4
若f
(x
),g
(x
)图象关于点成中心对称，那么N
(x
)=f
(x
)g
(x
)图象不是中心对称图形．因此，我们可以给出试题的第3种解法：
解法3
f
(x
)=x
-3x
=(x
-1)-3x
+1可以看作函数u
(x
)=(x
-1)与v
(x
)= -3x
+1的和，其中u
(x
)图象的对称中心为(1,0)，v
(x
)图象为直线，而直线上任意一点都是它的对称中心，那么取横坐标为1的点，即取对称中心为(1,-2)，故由结论2可知，f
(x
)的对称中心为(1,0+(-2)),即(1,-2)．下同解法2．仿照解法3，我们可以推广到一般的三次函数f
(x
)=ax
+bx
+cx
+d
(a
≠0)图象具有对称中心．分析可以看作函数与的和，其中p
(x
)图象的对称中心为图象的对称中心为故f
(x
)的对称中心为即亦即·探究2 通过运算探究函数的对称轴
结论5
若f
(x
),g
(x
)图象的对称轴为x
=a
，则m
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象的对称轴也是x
=a
．解析f
(x
)=f
(2a
-x
)，g
(x
)=g
(2a
-x
)，两式相加得，f
(x
)+g
(x
)=f
(2a
-x
)+g
(2a
-x
)，即m
(x
)=m
(2a
-x
)，故m
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象的对称轴也是x
=a
．结论6
若f
(x
),g
(x
)图象的对称轴分别为x
=a
,x
=b
，则m
(x
)=f
(x
)+g
(x
)图象不是轴对称图形．结论7
若f
(x
),g
(x
)图象关于直线成轴对称图形，则n
(x
)=f
(x
)g
(x
)图象不是轴对称图形．3 学以致用
练习1 函数的对称中心是．(答案：练习2 函数
f
(x
)=x
-4x
+2-2+22-的对称轴是．(答案：
x
=2)练习3 函数的图象关于点(1,2)成中心对称图形，则实数a
的值为．(答案：1)
4 结语
对于数学的学习，一定要理解知识的基本结构，从知识的整体性去认知，这样才能用联系的观点建立知识间内在的逻辑关系，架构起知识的学习方法，促进自主学习．函数的对称性其实不是新的内容，奇偶性就是特殊的对称性，因此可以通过迁移奇偶性的学习内容和方法解决对称性的相关问题，达成知识方法的内化，从而实现数学能力的提升和核心素养的提高．
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