解三角形“圆”来如此精彩

2022-11-09 05:51张国川任晓红
福建中学数学 2022年9期
关键词:约束条件最值试题

张国川 任晓红

文[1]讨论了一道解三角形问题,略去试题背景从不同视角给出在约束条件下最值问题的处理策略,笔者也曾在文[2]中探讨过此问题,可谓殊途同归达异曲同工之妙.今看此文[1]有些思考叙述成文与大家分享,不当之处批评指正.

试题呈现在AABC中,A=π/3,BC=3,D是BC的一个三等分点,则AD的最大值是____.

试题分析通常两个三角形满足条件AAS,ASA,SAS,SSS才会全等,换言之只要三角形给出三个条件AAS, ASA, SAS, SSS中的一种,这个三角形必定唯一,包括三条边和三个角六个要素都是确定的,其中AAS,ASA通常用正弦定理解决,SAS,SSS则用余弦定理解决,不论是正弦定理还是余弦定理都是三个方程,这样就能解决另外三个元素的值,即通常所说的“知三求三”,若同一个三角形中条件少于三个,三角形则为动态三角形,试题往往变成求边或角的最值问题,本文所呈现的试题便是此类型,

视角1(向量+三角代换法)本题是解三角形中较为熟知的基本图形一一爪子型三角形,给出条件为底边的分点情形,容易联想到线段的定比分点,采用向量法处理.

关于此类型问题的多种解答,有兴趣的读者可以参见文[2],在视角1中,本文着重介绍“和差术”在这种题型中的应用.约束条件m2+n2一mn=9的困难之处在于存在混合项mn,使得条件难以用一个量去表示另外一个量,于是“化双变量为单变量”的消元思想在此处变得困难,联想到平方差公式的结构,

视角2 (平面几何法)解三角形的试题难在所给条件往往分散在不同的三角形之中,要求学生学会通过条件的化归,实现多个条件回归到同一个三角形,考查解三角形问题往往都不是以单一知识呈现的,经常与面积、角平分线、中线,三角形“四心”交汇,甚至呈现具有平面几何或竞赛背景的试题,因此涉及面非常广,

试题以考查学生综合运用各板块知识解决问题的能力,如向量法、解析法、三角代换法和各种几何定理,如中线定理、角平分定理、斯特瓦爾特定理、托勒密定理等,解题中渗透方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等,注重考查数学运算、逻辑推理和直观想象等数学核心素养,

解后反思本文选择四种处理动态三角形最值问题的典型办法,方法侧重从题目中挖掘隐含条件找到突破口,实现问题解决的目的.文[1]则侧重从试题背景角度探寻约束条件下最值问题的八种解法,反观上述解法不论是通过几何直观还是轨迹法求方程,均可得出点A的轨迹是圆.问题转化成求解与圆相关的最值;圆可看作是动点运动形成的轨迹,是动点按照有序的规律组合形成的图形,其上每一点都有参数坐标,即为圆的参数方程,因此视角1的三角代换可认为是参数方程的另外形式,本题中涉及到“隐形圆”的试题背景,挖掘试题的本质特征,“圆”来如此绝妙.

参考文献

[1]李洪双.不同的视角同样的精彩一一一道高三模拟试题的解法研究[J].福建中学数学,2020 (10):39-41

[2]张国川.例谈不同背景下的同类二次约束条件的最值问题[J].福建中学数学,2012 (04):36-38

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