基于培育学生数学核心素养的逆向教学设计

谢飞 李肖霞

1 引言

由教育部制定的《普通高中数学课程标准（2017年版）》[1]明确指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本持征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科核心素养，既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体，

传统数学教学设计主要体现为对教材的解读，关注如何“漂亮地”完成数学教学内容，大多数数学教师从输入端开始思考教学，即从固定的教材、擅长的教法，以及常见的活动开始思考教学，而不是从输出端开始思考教学，即从预期结果开始思考教学．换而言之，太多的一线教师都只关注自己的“教”，而忽略了学生的“学”，因此，传统教学设计正面临变革的需要，

为了有效培育学生数学核心素养，教师需要花大量时间思考：本单元学生需要理解什么？知道什么？学生在学习过程中，如何证明获得了这些素养和能力？为了达到这样的预期学习结果，应该怎样设计课堂活动？在这些问题的驱动下，笔者结合美国教育学者威金斯和麦克泰格撰写的《追求理解的教学设计（第二版）》[2]一书，探索培育学生数学核心素养的逆向教学设计，该设计适用于单元教学，下面，笔者先简单介绍下逆向教学设计相关理论，然后以“函数的基本性质”小单元为例进行逆向教学设计，最后谈一些感悟和反思．

2 逆向教学设计

美国课程与教学领域的专家威金斯和麦克泰格在《追求理解的教学设计（第二版）》一书中提出了一种新的教学设计模式——逆向教学设计，以避开学校教学设计中的两大误区——聚焦活动的教学和聚焦灌输的教学．作者认为教师在考虑如何开展教与学活动之前，先要努力思考学习要达到的目的到底是什么，以及哪些证据表明学习达到了目的；必须首先关注学习期望，然后才有可能产生适合的教学行为；认为最好的设计应该是“以终为始”，从学习结果开始的逆向思考，只有深入思考了这些问题，才能在逻辑上导出合适的教学和学习体验，从而使学生成功地完成学习任务，达到内容标准的要求，逆向教学设计包含三个阶段，设计流程大致如图1所示：

3 基于逆向教学设计的教学案例

威金斯和麦克泰格倡导的逆向教學设计，主张以目标为起点和归宿，视教学为学习目标达成的手段，这与基于课程标准和核心素养的教学理念相符，受到学术界越来越多的关注和重视，那么，高中数学教学中究竟该如何进行逆向教学设计呢？如何在确定合适的评估证据之后进行教学体验活动设计呢？在这里，笔者以高一数学第一学期第三章中的“3.4函数的基本性质”单元为例，尝试使用基于逆向教学设计的流程进行实践探索，旨在培育学生的数学核心素养，达成预期学习目标，具体从下面三个阶段展开设计．

1 阶段1确定预期学习结果

阶段1的内容包括单元教学目标，目标转换后的基本问题，预期的学习结果又包括预期的理解和学生将获得的知识和技能．

（1）确定的单元教学目标

“函数的基本性质”单元目标由数学学科核心素养目标和数学学科课程标准统整而成，统整后的单元教学目标是：

①学生将理解有关函数奇偶性和单调性的基本概念，掌握证明函数奇偶性和单调性的基本方法；依据的核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理；依据的课程目标：结合具体函数，了解函数单调性和奇偶性的概念与几何意义．

②学生将理解函数的最大（小）值的概念，会求简单函数（如一次函数、二次函数等）的最大（小）值；依据的核心素养：数学运算、逻辑推理；依据的课程目标：借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义，

③学生将理解函数零点的概念，了解函数零点存在定理，会运用二分法求方程近似解；依据的核心素养：数学运算、逻辑推理、数据分析；依据的课程目标：了解函数零点与方程解的关系，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解二分法求方程近似解具有一般性，

④学生将掌握研究函数的基本方法，会对函数的奇偶性、单调性、最大（小）值和零点等基本性质进行研究，能利用函数建构模型，解决现实和实际问题；依据的核心素养：数学建模、数学抽象；依据的课程目标：理解用函数构建数学模型的基本过程，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．

（2）列出学生需要思考的基本问题

①函数的奇偶性和单调性的概念是什么？如何用符号语言表达？

②如何判断并证明函数的奇偶性和单调性？

③函数的最大值和最小值的概念是什么？如何借助函数的奇偶性和单调性求函数的最值？

④函数的零点与方程的解的关系是什么？

⑤怎样利用函数构建生活中的实际模型，解决现实问题？

（3）预期的学习结果

预期的理解是什么？

学生将会理解：

①函数的奇偶性从图象上看，反映了函数的一种对称性；

②函数在不同区间上的变化趋势即是函数单调性的反映，是函数的局部性质；

③函数的最大（小）值刻画了函数的有界性，不同函数的最值有不同的求法；

④二分法求方程f（x）=0的解，即为求函数f （x）的零点，且为近似解；

⑤函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，如出租车车费、公民缴纳个人所得税、商品利润问题等．

要获得哪些重要的知识和技能？

学生将会知道：

①函数奇偶性、单调性的概念；

②函数最大（小）值的意义；

③函数的零点与方程的解的关系；

④函数是研究实际问题的重要工具，

学生将能够：

①判断并证明具体函数的奇偶性；

②分析并证明具体函数的单调性，写出函数的单调区间；

③求解具体函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的最大（小）值；

④画出二分法的流程图，用二分法求函数f （x）的零点并满足精度要求；

⑤在实际问题中，灵活建立函数模型，并利用函数的基本性质解决相关问题．

2阶段2确定合适的评估证据

我们如何知道学生是否已经达到了预期结果？哪些证据能够表明学生的理解及其核心素养的提升？要根据收集的评估证据来思考单元或课程，而不是简单地根据要讲的内容或是一系列学习活动来思考单元或课程．

（1）表现性任务 “函数与数学史”一学生们通过查阅书籍、上网搜索等，解释历史上为什么把在定义域上具有性质f（一x）=f（x）的函数叫做偶函数，具有性质f（-x）=一f（x）的函数叫做奇函数；

“数学小能手”一学生们通过函数图象特征及问题引导，概括出函数奇偶性、单调性的定义，并总结证明函数奇偶性、单调性的过程与步骤； “小小程序员”一学生们画出二分法求方程f（x）=0的近似解的程序框图，并借助计算工具用二分法求方程f（x）=0的近似解．

（2）其他证据

小测验——判断函数的奇偶性并说明理由；

简答题——根据函数图象答出函数单调区间；

小报告——结合图象，研究具体函数的奇偶性、单调性、最大（小）值和零点，形成小报告；

（3）学生的自我评价和反馈

①互评历史上函数奇偶性的来龙去脉；

②自评函数奇偶性、单调性的掌握程度；

③互评具体函数研究小报告的科学性、准确度．

3阶段3设计学习体验和教学

教与学的体验顺序该怎么安排才有助于学生参与、发展和展示预期理解？我们依照顺序逐次列出了关键的教学和学习活动，同时以WHERETO元素中的相应首字母为每个活动编码．

W——帮助学生知道此单元的方向（Where）和预期结果（What），帮助教师知道学生从哪开始（先前知识、兴趣）；

H——把握（Hook）学生情况和保持（Hold）学生兴趣；

E1——武装（Equip）学生，帮助他们体验（Experience）主要观点和探索（Explore）问题；

R——提供机会去反思（Rethink）和修改（Revise）他们的理解及学习表现；

E2——允许学生评价（Evaluate）他们的学习表现及其含义；

T——对于学生不同需要、兴趣和能力做到量体裁衣（ Tailor）（个性化）；

O——组织（Organize）教学使其最大程度地提升学生的学习动机与持续参与的热情，提升学习效果，

本单元的活动顺序如下：

（1）（H）创设具体情境：请同学们观看葡萄酒杯、苏州之门和折纸风车，感受它们的对称美（轴对称和中心对称，初中学过），并提问：我们学过哪些函数具有类似的对称性？吸引学生学习兴趣，为引入函数的奇偶性作铺垫．

（2）（W）介绍本单元的基本问题，讨论单元的最终表现性任务（函数与数学史、数学小能手、小小程序员）．

（3）（E1）通过具体函数图象，设置问题串，从特殊到一般，引导学生归纳偶函数、奇函数的定义，并用符号表示，培育直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养，以支持表现性任务2．

（4）（R．E2）讨论问题：历史上为什么把在定义域上具有性质f（一x）=f（x）的函数叫做偶函数，具有性质，f（一x）=f（x）的函数叫做奇函数？学生互评，以支持表现性任务1.

（5）（E1）小测验——判断函数的奇偶性并说明理由．

（6）（R，T）提问：为什么要学习函数的奇偶性？

（7）（H，E1）观察某地24小时气温变化图，类比函数的奇偶性，通过问题引导，帮助学生建构函数单调性和单调区间的概念，并用符号表示，培育数学抽象核心素养，以支持表现性任务2．

（8）（R，E2）简答题——根据函数图象答出函数的单调区间．

（9）（E2，T）大显身手：证明具体函数f（x）=x+ 1/x在[1，+∞）上是单调增函数，培育学生逻辑推理、数学运算等核心素养，了解学生掌握程度．

（10）（E1）播放熊猫活动视频，展示熊猫居室尺寸，让学生求解熊猫居室面积，培育学生数学建模核心素养，通过求解面积最大值引入函数最大（小）值概念．

（11）（E2，T）小组合作学习：探究二次函数在不同区间上的最大（小）值情况并分享方法，渗透分类讨论思想．

（12）（E1）介绍函数零点的概念以及零点存在定理，通过猜价格游戏，提示学生用二分法来求方程f（x）=0的近似解．

（13）（R，T）小组合作探究：画出二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，并借助计算工具用二分法求方程f（x）=0的近似解，以支持表现性任务3．

（14）（E2，R，T）结合生活中实际问题，建立函数模型，通过数据分析，画出函数图象，研究函数的基本性质：奇偶性、单调性、最值和零点，解决实际问题，并自评与互评．

3基于逆向教学设计的教学反思

通过对“函数的基本性质”小单元逆向教学设计的研究与探索，笔者感悟最深刻的有以下三点：

（1）教学设计从关注教材转向关注课程标准和学科核心素养

传统数学教学设计往往从教材出发，根据对教材的解读而设计教案，进而开展教学活动，但是，教材只是达成目标的教学素材，并非目标或标准．本次设计通过统整数学课程标准和学科核心素养得到教学目标，根据标准制定学习目标、设计确定合适的评估证据再根据证据设计教学体验和活动，通过整合，“函数的基本性质”单元学习目标明确，学生在函数奇偶性、单调性等的学习过程中，逐步感悟数学抽象、数学运算、逻輯推理等数学核心素养，教师可以根据评估证据相应调整教学安排，实现高效的教学效果．

（2）教学设计要站在单元设计视角下进行整体规划

“函数的基本性质”单元讨论的函数的性质包括：奇偶性、单调性、最值和零点，要理解这些性质的研究顺序（奇偶性．单调性·最值·零点），需要认识这些性质的内在关联．函数的奇偶性可以让研究的工作量减半，需要事先研究；函数的单调性是研究最值的重要工具，需要在最值之前研究；而函数的零点则作为函数性质的运用，故放在最后研究．在这些性质中，单调性是重点也是难点．

事实上，学生在初中已经结合具体函数定性地研究过函数的单调性、最大值、最小值等性质；到高中研究函数的性质，主要是让学生经历从“定性到定量”的过渡，用数学符号语言表示，培育数学抽象核心素养，并解决生活中的函数模型问题．

（3）目标、评价与教学的一致，是目标达成的根本保障

逆向教学设计的主要不同之处在于为改变忽视评估证据完整性的思维提供工具和方法，从而达到目标、评估、教学的一致性．本单元设计关注课程标准和学科核心素养的整合，评估设计优先于教学设计，评价任务嵌入教学活动和体验环节中，形成“教学一评价一教学”的螺旋式上升环．这样一来，评价与教学的一致性就得以体现，也为“函数的基本性质”学习目标的达成提供了根本保障，

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[2][美]格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格．闫寒冰，宋雪莲，赖平译，追求理解的教学设计（第二版）[M]．上海：华东师范大学出版社，2017

[3]陈亮，核心素养导向下的“函数奇偶性”的教学设计及反思[J]．数学7友，2019 （8）：41-43， 47

[4]赵瑶瑶．体验概念生成，落实素养培育——“以函数的单调性教学设计为例”[J]．高中数学教与学，2019 （22）：21-24