对一道教材例题的变式与引申*

合肥师范学院数学与统计学院 (230601) 李亚文 张新全

“变式教学”是我国数学教育的特色之一.由于“变式教学”的有效运用，使得我国学生在“双基”方面的培养质量得到很大的提升.笔者研究了人教版和沪科版教材中的例、习题，对课本中的一道例题进行了变式教学的探讨.

1.原题再现

图1

已知如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°, 点D,E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.

在人教版和沪科版教材中，该题均是“等腰三角形”这一节的例题，文[1]和文[2]对这道例题做了深入的研究，在此不作赘述，本文将变换视角，对该题进行再变式.

2.变式探究

本题涉及等腰三角形的性质，三角形内角与外角的关系，沿着这样的思路，可以得到下面的变式.

图2

变式1 如图2，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE.

这是人教版教材八年级上册第82页复习巩固第6题，可以证明两个三角形全等得到BD=CE,也可以作BC上的高，利用“三线合一”证明.

图3

变式2 如图3，P,Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.

这是人教版教材八年级上册第83页拓广探索第14题，利用等腰三角形的性质可以求出相应角度的度数，是例题的逆向思考.

图4

变式3 如图4,在△ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=80°,延长CB至D,使DB=BA,延长BC至E,使CE=CA,连接AD,AE.求∠D,∠E,∠DAE的度数.

这是人教版教材八年级下册第91页复习题13 复习巩固第5题，是例题的简单综合.这里的三个变式，都是教材上的习题，起到巩固基础知识，训练数学思维，提升思维能力的作用，所有这些问题仍然是比较简单的，我们还可以继续进行变式.

变式4 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在BC上，且BD=BA，CE=CA，求∠DAE的角度.

对例题中相等的线段改变位置，利用等腰三角形的性质，可以得到∠DAE=45°.

变式5 在ABC中，设∠BAC=α,点D、E在BC上，且BD=BA，CE=CA，求∠DAE的角度.

图5

3.引申探究

引申1 如图5，在△ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E是底边上的两点，且AB=BD,AC=CE,则线段AD的长等于( ).

解析：本题易构造出含30°角的直角三角形，此构造一旦达成就便于三角形中各线段长度的求解，又由全等三角形及相似三角形的性质和判定，利用方程思想，可以将求AD的长度转化成一元二次方程的解.

图6

点评：此题解法灵活多变，读者有兴趣可以自行探究其他解法.本题解法涉及到分母有理化和开方，在中考中属于较高要求，故不能作为中考题，但是可以作为课后探究题，让学生课后探究.该题的呈现形式可以多变，既可以作为选择题，又可以作为填空题和解答题，且该题的所求结果类型也可以为求角的大小和线段的长度.

图7

引申2 如图7，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=120°,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上，则正方形EFGH的边长为( ).

解析：学生利用几何直观，连接对角线，构造出含30°角的直角三角形，利用其性质设未知数，并用未知数表示各边的长，再利用正方形的边长相等，相等的量用不同的表示得到一元方式一次方程，求解即可得到结果.

图8

点评：该题根据对称性将三角形构造成特殊的菱形，虽然初中生可以解出正确答案，但是解法还不够严谨,比如(1)正方形EFGH是唯一存在的么?(2)正方形的边EH、FG,EF、HG是否分别平行于菱形的对角线BD,AC呢?(3) 正方形EFGH的中心与菱形ABCD的中心重合么？因为初中学生是根据几何直观解题，并且已经默认了(1)(2)(3)成立，所以大大降低了该题的难度.

图9

引申3 如图9，在菱形ABCD中，AB=2,正方形EFGH的顶点分别在菱形ABCD的四条边上.若△BEF是等边三角形，则EFGH的长为( ).

解析：本题较引申2中，题目条件发生变化，但是难度降低了，具体方法见引申2，这里不再赘述.

点评：引申3是根据引申2中“正方形的边EH、FG,EF、HG是否分别平行于菱形的对角线BD,AC呢”这一条件进行变式，由于四边形ABCD为菱形，且△BEF是等边三角形，这样就直接避免了论证引申2中(1)和(2)、(3).感兴趣的读者还可以将△BEF是等边三角形改变成△BEF是等腰三角形去求解.

以上的三个引申都涉及到分母有理化，对初中学生的数学素养有较高要求，但是考察的都是学生几何解题的基本功——添加辅助线构造出含有30°角的特殊直角三角形，从而求出线段的长度.

图10

引申4 (2021年安徽省中考数学第8题)如图10，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为( ).

解析:菱形内接特殊矩形的周长计算，过程中考查模型的选择与应用.能力要求等级B+C，依次求出OE=OF=OG=OH,利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长.

图11

图12

解法2：如图12,连接AC、BD,交于O点，

图13

点评：本题图形简明，构造简单，解题方向多样，层次分明.求解时可以利用EH∥BD(或(EH∥AC))得到相似，构建等式方程求解，也可以连接OA,OB构造含30°的特殊直角三角形，先计算OE,再结合三角函数的定义求解各边来实现；还可以直接运用面积法求解矩形对角线的长，再运用三角函数求解；也可以将EG(或FH)平移至与△ABC(△ACD或)的高重合来求解.题目比较基础，但图形内涵丰富，解法多样，为不同的考生提供了不同的解题路径，具有较高的效度和信度.

4.教学思考与总结

《教育大辞典》对“教学变式”的解释为“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征.目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念.”数学变式教学的理论基础主要有两个来源，一是学习论基础：建构主义学习理论强调通过积极自觉的认识活动来同化原有认知结构；奥苏泊尔的有意义学习理论则强调学习者必须要理解符号所代表的新知识与原有的认知结构建立起非人为的实质性的联系.这两种学习理论的思想都是要求教学的变式来实现的，因此变式也是这两种理论所提倡的.另一个教学理论基础：随机通达教学理论和脚手架教学理论也都对变式教学提出了要求，因为只有提供足够的变式才能做到随机通达，才能为学生搭起有效的脚手架.

大量的实践证明变式教学是行之有效的，变式的对象有很多,如概念教学中的变式，定理、公式教学中的变式等.在课堂教学过程中，变式教学有助于让学生更好地掌握数学知识方法的本质，有助于学生克服感性经验带来的消极影响，也有助于掌握一般方法,触类旁通,举一反三；变式教学有利于激发学生的学习兴趣,有利于数学技能的掌握,有利于数学思想方法的掌握,有利于把握知识的本质,有利于形成良好的认知结构,有利于问题的解决.