结构不良问题的常见类型及其求解策略

宋 波

(华南师范大学附属北滘学校中学部，广东佛山，528311)

数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题，前者是初始状态、目标状态和解决问题的方法与途径都很明确的问题，而后者是这三者中至少有一个没有明确界定的问题.结构不良问题并不是这个问题本身有什么错误或是不恰当，而是指它没有明确的结构或解决的途径.本文对结构不良问题作些探索.

1 对结构不良问题的认识

数学学科结构不良问题的主要特征有：(1) 问题条件或数据部分缺失或冗余；(2) 问题目标界定不明确；(3) 具有多种解决方法、途径；(4) 具有多种评价解决方法的标准；(5) 所涉及的概念、规则和原理等不确定.

学生学习中常见的试题一般都是结构良好的试题，条件不多不少，需要解决的问题目标明确，有规范的思路和解法.然而现实生活和职业生涯中的问题多是结构不良型，解决结构良好与不良这两类问题所需要的技巧和能力有所不同，也就是说可以出色地解决课堂上的结构良好问题并不能保证可以成功地解决现实生活中的结构不良问题.结构不良问题具有条件模糊、解决方案多样、 结果开放等特点，其解决过程能有效激发学生求知欲、帮助学生多角度把握问题本质、追寻知识背后的价值、形成跨学科综合解决问题的关键能力.因此，解决结构不良问题对考查学生的素养和能力，发挥考试的选拔功能、促进学生素养的养成和能力的提升具有深远意义.

2019年12月由教育部考试中心发布的《中国高考评价体系》中明确指出：高考要在考查《普通高中数学课程标准》规定的学科核心素养的基础上重点检测学生的理性思维、数学应用、数学探索以及数学文化的发展水平.要体现基础性、综合性、应用性与创新性的考查要求，就需要借助问题情境作为考查载体，尤其对应用性和创新性的考查往往需要借助开放性的生活实践问题情境或学习探索问题情境，要求学生在正确思想观念的引领下、在开放性的综合情境中创造性地解决问题，进而形成创造性的结果或者结论.因此，选取实际生活中的问题，通过提供多种形式的素材，命制结论开放、解法多样、甚至答案不唯一的试题是满足考查学生学以致用、应对生活实践问题情境所具备的学科核心素养的需要.当前，结构不良试题在高考中占据的比例越来越高，出现的频次也越来越多，符合新高考改革的教育发展要求.

2 结构不良问题的类型和解题策略

在问题初始状态、目标状态和问题解决模式这三个要素中，局部加入不确定性，使问题呈现结构不良的属性，以满足在有限时间内实现对学生数学水平进行考查的要求，故高考试题中结构不良问题有以下四种常见类型.

2.1 已知条件不明确的结构不良问题

例1(2020年高考北京卷第17题)在△ABC中，a+b=11，再从条件①与条件②中选择一个作为已知条件，求：

(1)a的值；

(2) sinC和△ABC的面积.

图1

例2(2022年高考北京卷第17题)在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点.

(Ⅰ) 求证：MN∥平面BCC1B1；

(Ⅱ) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：AB⊥MN；

条件②：BM=MN.

解题分析：试题以直三棱柱为背景考查线面关系，第Ⅱ问给出了两个等价条件，让学生从位置和度量两个方面进行选择，已知条件不明确，但目标结论明确唯一，增强了试题的灵活性，重点考查空间线面位置关系的转化和向量坐标运算的优势.不论选择哪一个条件作为已知，都需要先通过严谨的逻辑推理进行空间线面位置的转化，才能推出AB、BC、BB1两两垂直，从而建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算使问题得以解决.相比较条件②，选择条件①作为已知，推理转化会比较容易.

解题策略：已知条件不明确的结构不良试题多以问题的条件缺失和条件冗余两种方式呈现，需要学生结合问题情境补充或者选择合理的条件甚至需要对条件信息进行加工处理才能完成对既定问题的解答.

2.2 目标不明确的结构不良问题

例3(2021年高考全国乙卷理科第16题)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

解题分析：试题以图①为正视图，条件明确，答案为②⑤或③④，目标不明确.从三棱锥的几何性质分析来看，发现按照“长对正，高平齐，宽相等”的原则寻找三棱锥的侧视图和俯视图，侧视图只能是②或③.

假设侧视图为②，图形中的长度为图中标注，平面PAC⊥平面ABC，AC=2，

图2

图3

图4

例4(2022年高考新课程Ⅰ卷第14题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.

解题策略：对于已知条件明确目标不明确的结构不良问题，需要学生以明确的条件为依据，在分类讨论的基础上综合研判问题结果的所有情况，根据自己的能力水平选择思路简单、运算量小、易得分的某一种结论解答即可.

2.3 已知条件和目标都不明确的结构不良问题

(Ⅰ) 求C的方程；

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

解题分析：试题以双曲线为背景，考查解析几何的思想和方法，理性思维突出，对逻辑思维能力和运算能力要求较高，难度较大.第Ⅱ问给出三个条件，要求从中选取两个作为已知条件，证明另一个条件成立，故共有三种选法，有效增强了试题的开放性，给学生提供了选择的自由度和发挥空间，有利于对学生思维水平和创新能力的考查.

解题策略：已知条件和目标都不明确的结构不良问题可以采取条件开放和结论开放的形式构建，从而使问题的初始状态和最终状态呈现不确定性.因为这类问题的条件、结论都不确定或不太明确，由学生根据要求作出条件和结论的选择，确定条件和结论后进行作答即可.这类问题入口宽阔，但对考生快速判断、识别和选择能力要求较高.问题解决的难度较大，更能反映学生灵活应用已有知识经验在新的问题情境中解决实际问题的综合能力.

2.4 问题解决模式不明确的结构不良问题

例7(2020年高考全国Ⅰ卷理科第12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

试题评析：试题的条件中只给了一个等式，结论中需要判断4个不等式是否成立，这类问题的呈现方式较为新颖，学生没有熟悉的问题解决模式而且缺乏此类问题的解决经验.需要在观察式子结构特点的基础上对等式进行适当的变形处理，得到2a+log2a=22b+log22b-1，从而借助符合条件的函数f(x)=2x+log2x的基本性质来解决问题.因为f(2b)-f(a)=1>0，即f(2b)>f(a)，且函数f(x)=2x+log2x是(0，+∞)上的增函数，所以2b>a>0，故选B.

解题策略：问题解决模式不明确指的是由于问题中所给的信息较多，而且对即将解决的问题没有熟悉的或可供参考的解决方案，需要学生结合具体问题筛选有用的信息拟定问题解决路径，从而实现对问题的解答.此类高考试题在创制时，问题的初始状态往往以学生熟悉的内容为基础，但常立足于知识交汇，体现数学思维的创新性，由于问题的呈现方式较为新颖，难度处于中等偏上.当知识的联结和解题模式超出学生既有的经验时，解决问题的操作模式就会变得模糊和不确定，需要学生创造性地建构解题路径，探寻解题的方法.

3 教学启示

对于解决结构不良的数学问题，需要重构问题给出的信息，对问题进行充分的表征和分析，探寻问题解决的路径，树立评价意识，要随时对解题路径的设计规划、解题操作、最终效果进行评估.在这个过程中，学生既是一名问题解决方案的设计者，也是一个问题解决的操作者.应用场景多元、思考方式多元、解决方法多元、结论多元、评价多元，决定了合理运用结构不良问题，对学生的数学问题解决模式的学习、认知与元认知能力提升、数学核心素养的提升、创造性才能的培养都是十分有利的.特别是在大规模数学考试中运用的结构不良问题，能发挥出许多结构良好问题所不具备的优势，更为深入地评价学生在问题解决过程中的判断能力、思辨能力、创新能力、探究能力，促进学生形成应对未来的生活和挑战的数学素养.

数学是形式化的科学，不同的数学形式有不同的结构特征，不同的结构对应着不同的解题思想方法.数学解题中，不论结构良好问题还是结构不良问题，都应立足于数学结构，利用结构所呈现的形式、特征与功能，通过对结构的感知、识别、联想、归纳、类比、转化、建构等认知方式实现问题解决.教学中，重视问题的数学结构，从形式和结构着手，选择适当的解题方法，强化通性通法，淡化技巧，旨在优化学生数学思维，提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，发展学生的核心素养，提高学生数学素质.