“线性代数”教学的几点体会

吴 飞

（中国地质大学〔北京〕 数理学院，北京 100083）

“线性代数”是理工科院校中的一门重要的数学基础课，具有定义和定理多、内容抽象、知识联系紧密，需要较强的逻辑推理能力和抽象思维能力等特点，这些特点对于侧重于计算能力培养的理工科学生来说具有一定的困难。如果学生在学习过程中把一些基本和重要的问题搞清楚，教师在教学中就关键重点问题加以强调，学生的学习就能收到事半功倍的效果。下面结合“线性代数”教学，谈谈教学的几点体会。

一、充分认识“线性代数”课程的重要性

“线性代数”是理工科大学生必修的数学基础课之一，也是研究生入学考试的必考课程。它不仅是后续课程的基础，而且广泛应用于技术科学的各个领域。线性代数的理论与方法已经渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，提供描述、处理问题的思想和方法。随着相关学科和计算机技术的飞速发展，线性代数在高等教育和现代技术中的地位越来越重要。尤其在计算机日益普及的今天，解决大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为工程技术人员常遇到的问题，这就要求学生具备线性代数这门课程的基础知识，并熟练地掌握它的理论和方法。

“线性代数”课程尤其能培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，比如证明一个向量组线性无关，可以从线性无关的定义入手进行证明，可以从向量组秩的角度来证明，还可以从向量组所对应的齐次线性方程组解的情况来研究和证明。无论用哪个相关理论，都有相关的证明条件和逻辑推理过程，这样就培养了学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时也培养了学生多角度考虑问题的能力。

二、在教学中把数学思想融入教学中

数学思想在数学各门类学科的形成和发展中起着至关重要的作用，线性代数这门学科也不例外，每种理论和方法都融入了数学的思想。

下面分别举线性方程组求解、二次型方面和证明逆矩阵三个方面加以说明。

方程组的求解方法从中学就开始学习，从高中的高斯消去法到大学阶段的用矩阵和向量组的相关理论进行求解，尤其是当齐次线性方程组有无穷多解时，这无穷多解可以用构成基础解系的有限个解线性表示，体现了用有限来表示无限这一重要数学思想，实现了能用更多的方法、更高的观点研究和求解方程组。

转化思想作为数学的一个重要思想，是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决。在二次型这章开始就使用了这一转化的思想方法，对二次型的二次齐次表示式作了a=a假设后，应用矩阵的相关知识把二次型的定义式的代数表示转化为矩阵表示=xAx，这样就可以用矩阵理论研究二次型的相关问题，这是用矩阵方法解决二次型问题的前提。而二次型的核心问题是如何把二次型化为标准型，在前面章节已经学习过实对称矩阵的对角化问题，而由于二次型对应的矩阵是实对称矩阵，这样就可以借助于正交变换把二次型化为标准型，很好地体现和应用了数学的转化思想。

证明一个矩阵是否可逆是线性代数课程中的一个重要核心问题，证明的方法很多，可以从行列式角度证明矩阵对应的行列式不等于零；可以从矩阵秩的角度，证明阶矩阵的秩等于；可以使用初等变换的相关理论，用阶矩阵是否可以表示为若干个初等矩阵的乘积的角度来证明；还可以用阶矩阵的特征值是否都不等于来证明；还可以用阶矩阵的行向量组或列向量组的秩等于；还可以从阶矩阵是否与阶单位矩阵等价的角度来研究和证明。从上面的叙述可以知道，考虑问题需要变换思维模式和思维角度，不能“一根筋”，那么通过总结这些证明方法，就会拓宽思路，学会辩证地看待问题。

三、在教学中强调矩阵初等行变换的重要性

矩阵的初等行变换是矩阵的重要运算之一，原因在于矩阵在初等行变换下的行阶梯形和行最简形有极其强大的功能，就像电脑的操作平台，在这一平台下可以解决线性代数中的很多问题，如求矩阵的秩；求向量组的极大无关组；判断向量组的线性关系；求线性方程组的基础解系；当矩阵可逆时借助分块矩阵求矩阵的逆；求矩阵方程；等等，这些重要的问题都可以借助于这一平台解决，在教学中应该着重强调这一点。另外还应该指出什么时候需要把矩阵化成行最简形矩阵，什么时候化为行阶梯形矩阵。注意跟学生讲清楚行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义和特点，以及把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的方法和使用时需要注意的问题。行阶梯形和行最简形都是矩阵作初等行变换时的某种意义下的“标准形”，并且任何一个矩阵总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯形和行最简形，注意强调这是矩阵的一个非常重要的运算。

矩阵的行阶梯形矩阵不是唯一的，但行最简形矩阵却是唯一确定的，这些知识也是需要强调的内容。

四、加强对线性方程组求解方法的总结

线性方程组的求解是线性代数的一个重要内容，在教学中应注意几种解法的区别与联系。

高斯消去解法包括消元和回代两个过程，消元过程的实质是通过一系列方程组的同解变换得到一个同解的形式简单便于求解的方程组，然后再进行回代求解，这是非常重要的求解方程组的方法。

方程组的消元和回代过程所对应的三种同解变换自然而然引出矩阵的三种初等行变换，从而通过把方程组的系数矩阵（齐次线性方程组）或增广矩阵（非齐次线性方程组）化成行阶梯形或行最简形进行研究和求解，这样就把矩阵的相关理论用于解决方程组的求解。

教会了学生用以上两种方法求解方程组，而第三种求解方法是从几何意义的角度给出的方法。当齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解能由基础解系即解集合的极大无关组来线性表示，这就不仅从解的结构角度表示出通解，还实现了用有限来表示无限的思想。同时学生在学习过程中也对向量组的极大无关组加深了理解，因为基础解系就是解集合的极大无关组。

克莱姆法则仅能用于求解系数矩阵为方阵的线性方程组，当方程组中变量的个数和方程的个数不等时不能使用克莱姆法则，在教学中注意向学生强调这一点。

当线性方程组有无穷多解时，无论是齐次还是非齐次方程组，都可以用矩阵秩的相关理论、矩阵行的初等变换等理论和方法，以及从解的结构的角度和方法进行研究和求解，在使用的时候要用到基础解系这一基本概念。

五、把握矩阵运算系统与实数运算系统的本质区别

矩阵的代数运算系统是指矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法及可逆矩阵求逆这几种运算。那么矩阵运算系统与我们所熟知的实数运算系统有着本质的区别，比如不满足交换律、消去律等，下面详细加以说明。

矩阵及其相关理论是线性代数课程一个重要而核心的内容，在学习过程中特别需要注意与以往学过的代数运算系统相区别。教师在讲授时应注意讲清楚二者之间的本质区别：（1）实数运算系统是一个乘法可交换的系统，即有(∈R)，而矩阵运算系统是一个乘法不满足交换律的系统，这表现在若矩阵与可乘，但与未必可乘。（2）若AB与BA均存在，当时，；即使均为阶方阵，也未必等于。（3）在实数运算系统中，若0，∈R，则中至少有一个数是零；但在矩阵运算系统中，这一运算规则是不成立的，因为有这样的例子：当0且0（均为阶方阵），却有0成立。（4）实数运算系统中乘法满足消去律，但在矩阵运算系统中乘法消去律不再成立。教师在讲授这些知识时注意强调这些区别和联系，对学生掌握知识大有裨益。

六、注意概念和相关知识间的联系

线性相关、线性无关、线性表示等概念是向量组理论中的几个重要概念，教学中一定强调掌握这些概念。另外，还要注意知识间的联系，比如：向量组:,,…,α线性相关是指齐次线性方程组(,,…,α)=0有非零解，向量组:,,…,α线性无关是指齐次线性方程组(,,…,α)=0仅有零解，向量能由向量组线性表示是指非齐次线性方程组(,,…,α)=有解，这样就建立起了知识间的联系，对学习这部分知识和内容很有帮助。

对一个方阵是否可逆的问题，在线性代数教材中就从很多角度进行研究和特征刻画：从定义、从行列式角度、从伴随矩阵、从初等矩阵、从方程组、从矩阵的秩、从向量组、从特征值、从线性相关性等角度给出判断矩阵可逆的充要条件，在学习中注意加以总结。

线性代数教材中对线性方程组的求解一个是用矩阵秩的相关理论，一个是基于向量组的相关理论的解的结构思想。这两个方法实际上是一个整体，只不过是在两个不同层次上的学习，一个是如何求解线性方程组，一个是赋予线性方程组更多几何上的意义，因而让学生学会：（1）齐次线性方程组的通解能用它的基础解系来构造，它的解集是基础解系的所有可能的线性组合，而基础解系是解集的最大无关组；（2）非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系及它的解集与其导出组的解集的关系。因此，可以用更多的方法、更高的观点来求解方程。

另外，行列式和矩阵是线性代数中两个截然不同的概念，不要混淆，它们的表示方法不同，矩阵的记号是数表外加括号或中括号，而行列式记号是数表外加两竖线。另外本质也不同，矩阵是个数表，而行列式是一个数，这是由各自定义的本质决定的。另一方面，方阵与它的行列式又是紧密联系的，方阵有对应的行列式，行列式是对应方阵所确定的一个数，所以行列式可看作是方阵的函数，同时行列式又是方阵特性的重要标志。注意这些区别和联系有助于这些知识的学习。

七、注重解题方法的研究和总结

线性代数课本身的特点导致了学生学习上的困难，有的学生上课听懂了，基本的概念、定理也掌握了，但课下证明问题和解题时仍然遇到很大的困难，尤其是证明问题经常感到无从下手。针对这种情况，在学习过程中，首先，要掌握基本概念和定理，这是前提，在上课听讲时应注意老师是如何根据题中的条件分析问题和解决问题的，多思考多琢磨，逐步积累证明问题和解题的经验和方法；其次，课下需要勤练习，在练习的过程中不断发现问题和解决问题；最后，证明完一个问题或解完一个题目后还要思考有没有其他的思路，如果有几种不同的思路和方法，注意比较它们各自的优缺点，这样可以拓宽思路，开辟自己的解题途径，此外，还要自己总结和归纳解题的方法和技巧，最好准备个单独的本子，把这些经验汇总成册，便于复习和回顾，这样经过日积月累，学生的解题能力就会有很大提高，这也体现了“不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海”的哲学思想。下面结合书上的例题加以说明。例题：设向量组,,线性无关，且=+2，=-，=4-3，试证向量组,,线性无关。这个例题是一个典型的证明向量组线性无关问题，证明方法既可以从线性无关的定义入手把问题转化为证明齐次方程组只有零解来证明，还可以用向量组线性无关的一个充要条件——向量组的秩等于向量组所含向量的个数来证明，这样引导学生从不同的角度来研究和思考，不仅巩固了学生所学习的基本的理论和方法，还提高了学生分析和解决问题的能力。比如第二种证明方法就把一个向量组可以由另一个向量组线性表示的定义巩固和复习了一下，并且还可以熟悉这个定义的矩阵表示式。另外，证明过程还用到矩阵可逆的一个充要条件和判断一个向量组线性无关的一个用向量组的秩跟向量组中向量的个数关系的充要条件，很多学习的知识通过这一个题得到了综合的运用，使得学生分析问题和解决问题的能力得到了锻炼和提升。再举一个例子：取何值时，非齐次线性方程组

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并在有无穷多解时求其通解。这是一个带参数的非齐次线性方程组的求解问题，是求解线性方程组的一个典型问题，那么求解方法可以用常规的方法可以从增广矩阵入手进行行的初等变换化为行阶梯形矩阵，再讨论求解。另外考虑到系数矩阵是三阶方阵，也可以从系数矩阵的行列式入手加以研究和计算。通过这些训练一方面会大大提高解题能力，另一方面让学生通过这两种解题方法的研究和比较，发现第二种解法比第一种解法简单，避免了对带参数矩阵施行初等行变换，但第二种解法的使用是有条件的，即适用于系数矩阵为方阵的情况。通过这些计算和分析学生也加深了对基本概念和理论的理解。

八、注意强调在向量空间中定义内积的意义

在向量空间中，向量之间的运算定义了向量的线性运算，包括加法和数乘，若把三维向量空间与解析几何中三维欧式空间相比较，就会发现三维向量空间缺少向量的几何度量性质，比如没有定义向量的长度、两个向量的夹角等。但向量的几何度量性质在很多问题中有着非常重要的地位，在维向量空间中引入向量的内积，就能合理定义长度（即范数）、两个向量之间的夹角等，使之成为一个可度量的向量空间。在此基础上，就可以定义正交向量组、单位向量、规范正交基和正交矩阵等概念，从而可以使用这些知识和理论解决方阵的对角化，解决二次型化为标准型等重要的研究课题。可见在向量空间中定义内积具有重要意义。