借助转化思想 巧解几何最值

陈 炎

(安徽省六安市皋城中学,237000)

由于几何最值问题,题型丰富、方法灵活,可以全方位考查学生的数学综合能力,因而在每年的全国中考试题和各地的模拟试题中,常考常新.此类问题直接求解比较困难,但如果能够找到相关联的要素,进行问题转化,常可以达到化繁为简、化隐为显、化难为易的目的.

一、通过勾股定理将目标线段进行转化

在勾股定理x2+y2=a2中,若a是定值,则x取最大值时,y必取得最小值;x取最小值时,y必取得最大值.

分析EF是一条弦,所在圆半径虽固定,但是位置不定,难以直接确定其在何处取得最大值.但经过分析不难发现,弦心距、一半弦长与半径构成直角三角形,故问题可转化为求弦心距的最小值.

解如图2,取CD中点G,过点G作GH⊥EF,垂足为H,连结FG,OG,过点O作OI⊥AB,垂足为I.

易得OA=6，OB=8，AB=10.

在Rt∆ABO中,

在Rt∆CDO中,G是CD的中点,

由“垂线段最短”原理,可知

OG+GH≥OI,

在Rt∆FGH中，

二、通过三角函数将目标线段进行转化

分析线段CQ是Rt∆PCQ的直角边,∠P=∠A,∠A为定角,因此求CQ的最大值就转化为求CP的最大值.

解∵AB是直径,∴∠ACB=90°.

在Rt∆PCQ中,∠P=∠A,

显然,当CP为直径时,CQ取得最大值,

三、通过三角形全等将目标线段进行转化

由全等三角形的性质可得:全等三角形对应边相等.因此在图形中,如果能找到全等关系,则可以对目标线段进行转化.

例3如图4,边长为4的等边∆ABC中,点E是对称轴AD上的一个动点,连结EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连结DF,则在点E的运动过程中,DF的最小值是______.

分析在顶点C处,存在一组等角和等线段,因此仅需再取一组等线段,即可构造出“手拉手”全等模型,然后利用全等三角形的性质将目标线段DF进行转化.

解如图5,取AC中点G,连结EG.

∵∠GCD=∠ECF,

∴∠GCD-∠ECD=∠ECF-∠ECD,

即∠GCE=∠DCF.

在∆GCE和∆DCF中，

∵CG=CD,∠GCE=∠DCF,CE=CF,

∴∆GCE≌∆DCF,∴DF=GE.

由“垂线段最短”,得当GE⊥AD时,GE取得最小值1,∴DF的最小值是1.

四、通过平行特征将目标三角形进行转化

如图6,若a∥b,则(1)S∆ABD=S∆ABC;

(2)S∆ADO=S∆BCO.

例4(2021年宿迁中考题)如图7,在∆ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则∆AFE面积的最大值是______.

分析由条件可以判定DE∥AC,在平行条件下,∆AFE与∆BDF面积相等,所以问题转化为求∆BDF面积的最大值.而∆BDF与∆ABD底边共线、高相同,两者面积之比等于底之比,最终将问题转化为求∆ABD面积的最大值.

解如图8,连结DE.

∵CD=2BD,CE=2AE,∠DCE=∠BCA,

∴∆DCE∽∆BCA,∴∠ABC=∠EDC,

∴AB∥DE.

由AB∥DE,可得

转化是一种重要的数学思想方法,而解题的过程就是“转化”的过程,通过转化可使问题实现从“山穷水复”到“柳暗花明”.