追求思维自然生长 发展数学思考能力——以苏科版八上“勾股定理的证明”教学为例

朱 振

(江苏省徐州市睢宁县第二中学,221200)

本文以苏科版八年级上册“勾股定理的证明”教学为例,分享数学思维自然生长的课堂教学中的点滴经验.

一、备课思考

1何以想到

教材内容先是制作直角边分别为a,b,斜边为c的四张全等直角三角形纸片.利用四张直角三角形纸片拼成边长为c的正方形,它的面积为c2,试用另一种方法计算其面积,你有什么发现?然后,教材设置小明用这4张直角三角形纸片拼成边长为(a+b)的正方形,你能仿照上面的方法,证明勾股定理吗?最后,教材设置总统证法的背景图,让学生尝试利用面积法证明勾股定理.

教材设置利用面积法证明勾股定理,符合学生的认知水平.学生在七年级已经利用面积法证明完全平方公式和平方差公式,所以他们具有构图证明等式的数学基本经验.但是,不论是哪一种证明方法,思维最大困惑点是如何想到利用面积法证明的呢?每一种证明方法能不能有机整合呢?如何让学生的思维鲜活地自然生长出来呢?能否在原有的基础上另辟蹊径?这一系列问题,才是本节课教学要突破的地方.

2.何以解决

卜以楼老师在生长数学教学主张中说:思维就是营造一种思维场景,让学生自然而然地产生能够想到解决问题的思维.教学中,首先要关注的是让学生思维自然地生长到“想得到”,其次才是让学生思维生长到“想得妙”,最后才有可能让学生思维生长到“想得透”[1].可见,数学教学要针对学习内容选好思维支持和干预的切入点,创设自然、连贯、有效的数学活动,在探究的过程中让学生明白想的起源、途径.经过思考,本节课的教学设计思路如下:

从“式”特征联想“形”特征→确定行动方案→尝试拼图→利用面积法尝试证明→观察并寻找图形间内在联系→深度思考,另辟蹊径.

3. 教学目标

(1)通过最近联想、拼图、方法类比,探寻勾股定理的证明方法;

(2)经历勾股定理证明的过程,培养学生数学思考和合情说理能力,体会数形结合思想;

(3)通过对勾股定理证明的历史了解,感受数学文化的魅力,激发数学学习热情.

二、教学过程

1.证明方法初探

教师引导语:上一节课我们在正方形网格线中利用面积之间的关系,从特殊到一般归纳出了勾股定理,这一节课我们探究勾股定理的证明.

已知:如图1,在Rt∆ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,∠C=90°,求证:a2+b2=c2.

问题1根据求证的式子特征,你能最近联想到什么?

问题2由c2想到边长为c的正方形面积,即由“数”的特征想到了“形”的特征,那么由此你能联想到勾股定理证明的可能性方法吗?

问题3在已有的学习经验中是否有利用面积来证明等式的?

问题4如果将方法迁移,怎样才能出现边长为c的正方形呢?

(预设:用4个图1中的直角三角形纸片可以拼出边长为c的正方形)

尝试学生顺着思路动手拼图尝试,独立思考,确定勾股定理的证明思路.

展示学生用磁铁将拼成的图形展示在黑板上.图2中大正方形是边长为c的正方形,图3中小正方形是边长为c的正方形.

说理在图2与图3中,尝试利用面积法证明勾股定理.

小结我国古代数学家赵爽、邹元治分别在图2、图3中利用等积法证明勾股定理,为中国古代以“形”证“数”、数形统一树立了一个典范,推动了代数与几何的同步发展.

教学说明方法初探的主体思路:先由式子特征联想形的特征,再确定行动方案,最后拼图尝试证明.教学设计有别于常规,很多教师教学时都是直接给出直角三角纸片,参照教材进行拼图证明,忽略了为什么能想到利用等积法证明?为什么能想到利用直角三角形纸片进行拼图?此教学过程在学生最近发展区提出开放性问题串,引发学生的最近联想,感受联想的起因.通过联想、猜测、回顾、拼图、类比迁移寻找证明勾股定理的可行性方法,整体探究过程自然生成,学生的思维自然生长.

2.证明方法再探

问题5在观察式子的特征时,有的同学最近联想到了完全平方公式,由此能否寻找到证明勾股定理的方法呢?

操作尝试拼出边长为(a+b)或(b-a)的正方形,

展示学生用磁铁将拼成的图形展示在黑板上.(可以拼出图2与图3的正方形,部分学生拼出如图4的正方形)

思考能否寻找新的方法证明勾股定理呢?

交流图3与图4都是边长为(a+b)的正方形,利用面积相等建立等式可以证明.

小结在西方,传说这种证明方法是毕达哥拉斯给出的,但实际上他的证明方法已经失传.

教学说明只要是合情合理的假设、猜想、判断,我们就可以沿着猜测进行尝试与深入思考.经过对勾股定理式子特征的观察,联想到完全平方公式,类比方法初探所积累的经验,想到数形结合思想,构造正方形,尝试利用等积法证明勾股定理.通过对图3和图4的对比、观察,自然发现它们之间的联系,从而寻找到问题解决的可能途径.

3.深度思考,另辟蹊径

问题6请同学们观察图2、图3,两幅图之间有什么联系与共性?

交流它们都是由四个全等的直角三角形拼合而成;图2、图3中四个直角三角形沿斜边c向外或向内翻折可以互相得到;它们都不是轴对称图形;每一幅图都可以由一个直角三角形绕中心旋转90°得到;将图2、图3中的任意两个直角三角形纸片拼图看成一个整体,整个图形都分成两个全等的图形.

小结同学们从图形的翻折、旋转、对称、全等的角度审视了图形自身的属性或图形之间的内在联系.

问题7能不能利用图5、图6证明勾股定理呢?

思考交流

(1)如图5,连结AD,利用梯形面积直接求与间接求,建立等式,化简即可证明勾股定理(介绍“总统”证法).

(2)利用图6能不能证明勾股定理呢?

引导大家可以从图形之间内在的结构联系寻找方法.

视角1图6是由图2变来的.在图2中我们利用边长为c的正方形面积有两种算法建立等量关系,那么在图6中能不能利用边长为c的等腰直角三角形的面积有两种算法建立等量关系呢?

视角2图2与图3通过翻折可互变,同样图5与图6也有这样的内在联系.因此在证明方法上是不是类似呢?

学生经过独立思考、尝试、分析、交流,给出了以下证明方法.

方法1在图7中,利用∆ABD的面积两种算法可以证明勾股定理.

方法2在图8中,利用四边形ABDE的面积两种算法可以证明勾股定理.

方法3类比图5证法,在图8中,利用梯形ACDE的面积两种算法也可证明勾股定理.

教学说明通过对图形的观察、空间想象发现图形的特征及图形之间的内在联系,培养学生几何变换的直观感受能力,也在图形的几何变换中萌发出新的思路猜想,从而引发思考,深入探究,将数学思考引向深层.在利用图6证明勾股定理的过程中,学生利用图形内在的结构联系进行方法迁移,从不同的维度进行尝试、分析、证明,体现了学生思维的生长性、灵活性、延展性.整个活动探索过程自然发生、发展,学生主体探究真实而深入,体现了思维的合理性与完整性.

三、教学思考

1.让思维的种子在螺旋渐进的探究活动中自然生长

本课例探究活动分方法初探、方法再探、另辟蹊径三个层次.探究活动在整合教学资源的基础上,以数形结合思想为主线,以图形的特征和图形之间的内在结构联系为思维生长点,引导学生循序渐进地深入研究勾股定理的证明方法.在这样自然连贯、螺旋渐进的探究活动中,学生的思维也有了层次性、连贯性、深刻性、创新性,从而达到数学思维经验化、能力化、成长化.

2.让思维的种子在思维方式动态交融中自然生长

在解决问题的过程中,联想与猜想、“数”与“形”、形象与抽象、直觉与逻辑、整体与局部、静态与动态等思维方式是一个动态交融的过程.思维方式的有机统整、协调发展可引导学生从不同的途径寻找信息与问题之间的内在联系,从不同的视角去思考、解决问题,培养他们对信息的分析、比较、联想能力,从而确定思维目标、思维方向和行动方案.本课例在引导学生有序深入的探究过程中,由“数”的特征联想“形”的特征、由图形的静止到图形的变换、由图形的整体到局部、由直觉猜测到逻辑说理、由图形的内在结构联想到方法的类比迁移,都体现了思维方式的有机融合,有效地促进了学生思维的自然生长.

3.让思维的种子在感悟数学思想方法中自然生长

数学思想方法如根,它是发现问题和提出问题的源泉,是分析和解决数学问题的根本.没有数学思想方法的教学,是无根的教学,学生学到的是没有生长力的知识,学会思考更是奢望[2].因此,教师应该在知识的发生、发展和应用的过程中,充分挖掘和渗透数学思想方法.在充分感悟数学思想方法的基础上,促进学生学会观察、感知、联想、猜测、类比、推理等数学思考的基本方法,达到解决问题有方向、思考问题有思路、解决问题有策略,切实让思维的种子在感悟数学思想方法中自然生长.