优质课堂教学设计的高立意追求——以“勾股定理的逆定理“的教学为例

谢俊峰

(江苏省扬州市朱自清中学,225000)

“意在笔先”是字画创作的古训,诗词歌赋也强调“意尤帅也”,教学立意同样决定教学的品味.数学教学从知识立意、能力立意到核心素养立意,是人们对教育认识的不断发展.数学教学中,要落实立德树人的根本任务,教师需充分挖掘数学知识所蕴含的价值观资源,并把数学知识教学与价值观融为一体[1],追求教学设计和课堂实践的高立意.

五年教龄的青年教师T,拟开设一节教学公开课,课题是“勾股定理的逆定理”.笔者全程参与了教学研讨,经历了施教者在教学设计中从知识立意上升到能力立意,再从能力立意提升到素养立意的改进全过程.这引发了笔者许多关于追求高立意教学设计的思考,现整理成文,与大家分享.

一、基于知识理解的设计与思考

T老师先给出了设计初稿,对于例、习题的选择进行了着重介绍.

1. 教学设计

(1)课堂引入

勾股定理的内容是什么?勾股定理的逆命题是什么?它是真命题吗?

(2)定理证明

命题在∆ABC中,若三边a,b,c满足关系a2+b2=c2,则∆ABC是直角三角形吗?为什么?(请尝试证明该命题的正确性)

(3)典型例题及巩固练习

例13,4,5是一组勾股数,如果将这三个数分别扩大2倍,所得的3个数还是勾股数吗?扩大3倍、4倍、n倍呢?

练习1判断下列各组数是勾股数吗?为什么?

练习2判断由下列线段a,b,c组成的三角形是否为直角三角形?

例2∆ABC的三边长分别为a,b,c且a=n2-1,b=2n,c=n2+1,∆ABC是直角三角形吗?证明你的结论.

练习3在∆ABC中,三边长分别为a,b,c且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m,n是正整数且m>n,试判断∆ABC是否是直角三角形.

例3已知某校有一块四边形空地,如图1,经测量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m，求空地四边形ABCD的面积?

(4)课堂小结

本节课你学习了哪些知识?

2. 设计分析

设计定位于知识立意.教师注重数学知识的传授,例题选择与巩固练习都能围绕勾股定理逆定理和勾股数的应用,满足于学生掌握知识,学会解题.但忽略了数学知识所承载的数学文化的教育价值,如何让学生在知识获得过程中提升数学能力未能很好体现.具体地:(1)讲解教材提供的证明方法时,要注意学生通常会有“为什么这样想”的困惑,逆定理的证明是本节课的难点,能否有效突破;(2)勾股定理及逆定理具有重要的数学文化价值,教材上也提供了古巴比伦泥板“普林顿322”,如何将数学文化融入课堂教学值得思考;(3)教学内容划分上,例3属于勾股定理及逆定理的应用,安排在本节课是否合理值得商榷.

3. 改进建议

针对这种情况,备课组提出了几点建议:(1)深入解读课程标准.共同学习文献[2]中课程基本理念(P2-3),课程目标(P5-15)和教学建议(P84-89),深化了认识;(2)对比、研读教材和教参,认真研究本节课的教学目标,明确教学重、难点;(3)推荐阅读文献[3][4][5],拓宽视野,了解数学史的教育价值,以及教学中数学文化渗透的路径和方法.

二、注重能力培养的二次优化设计

1.教学设计改进

改进1定理探究设计

步骤1画一个边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形,并测量它的最大角的度数,你发现了什么?

如果把三边长替换为以下长度,还有类似的结论吗?请你选择一组动手画一画.

(1)6cm,8cm,10cm;(2)5cm,12cm,13cm;(3)8cm,15cm,17cm.

通过刚才的实践过程,你能猜想出什么结论呢?

步骤2在∆ABC中,AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,画一个∆DEF,使DF=3cm,EF=4cm,∠F=90°,∆ABC和∆DEF全等吗?∆ABC是直角三角形吗?请说明理由.

步骤3在∆ABC中,若三边a,b,c满足关系a2+b2=c2,则∆ABC是直角三角形吗?为什么?

步骤4得出结论.

改进2例题设计

删除了原来的例3,并对例1进行了多步分解.

例1已知:32+42=25=52,则3,4,5是一组勾股数.

(1)请你判断6,8,10;9,12,15;12,16,20是不是勾股数?

(2)观察上面的数据,你能得到什么结论?并证明你的结论.

(3)上面结论中n不是正整数时,等式是否成立?它们还是勾股数吗?以它们为边的三角形是直角三角形吗?

改进3数学文化介绍

在例2之后,老师通过课件展示编号为“普林顿322”的古巴比伦(公元前3500年左右-公元前729年)泥板,介绍这块泥板书显示的是一张表格,而表格里的整数数组竟然都是勾股数.关于勾股数,学生通过泥板书和古代人隔空对话,体会到数学是人类文明共同的语言,数学还有更多未知的领域,需要同学们去探索.

改进4课堂小结设计

(1)请用简洁的语言回顾一下今天学习的知识.

(2)通过勾股定理逆定理的获得和证明过程,在数学思想方法习得方面你有哪些收获?

2. 再分析再思考

定理探究中增加了学生操作、观察、猜想、证明等过程,体现了从特殊到一般的数学思想的灌输,发展了学生的合情推理与演绎推理的能力.将例1改为探究题,促进学生主动发现,及时探究,突出学生的主体地位.在例2中适时渗透了数学史知识,让学生感受数学文化的魅力.在课堂小结环节,从知识与思想方法方面进行了总结.

在逆定理探究过程的步骤2,3中,学生在老师的引导下证明了勾股定理的逆定理,但学生会有这样的疑问,为什么要构造直角三角形?怎么想到构造的?学生知其然,而不知其所以然,处于“授之以鱼”的教学层面,这样的探究过程实际上是一种“假探究”,学生的思维能力和思维水平都没有得到提高.学生虽然收获了知识,能力也得到了发展,但在教学立意中属于能力立意层次,还有提升空间.

三、突出素养达成的求精设计及其教学实施

在勾股定理逆定理的探究过程中进一步突出学生的主体性,增加合作学习的时间,让学生真正经历定理发现、证明的过程,感受构造法在定理证明的应用,这样的设计,才能让课堂走向素养的高立意.

1. 教学片段

师:同学们,上一节课我们学习了勾股定理及其证明,大家认为我们下面要学习什么呢?

生1:勾股定理的应用.

生2:勾股定理的逆定理.

师:你们是怎么想到的?

生1:前面我们学习了定理、方程等知识后,都要学习它们的应用.

生2:我们在学习一个定理后,都要探究它的逆命题是否成立.

师:这两位同学都说得很有道理.今天我们先来研究它的逆命题,下一节课我们再来学习它们的应用.

师:勾股定理的逆命题怎么表述呢?

生3:如果三角形的三边长度为a,b,c，且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

师:说得很好,这个命题是真命题吗?

一部分学生露出来肯定的神色,有一些学生则不能确定.

师:我们取一组满足条件的数据来画画看.大家想取那一组?

学生异口同声地说3,4,5.

师:好的,我们知道32+42=52,请同学们画一个边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形.

(学生纷纷开始作图,教师行间巡视,并对个别学生进行适当指导)

师:大家画好图后,比较你与其他同学的图形,有什么发现?

生4:我发现三角形最大的角是直角.

生5:我发现我与同组同学画的三角形是全等的.

师:这两个同学的发现哪一个可以证明勾股定理的逆命题是真命题.

生6:生5的发现可以直接通过“SSS”来证明全等.我也同意生4的发现,但我还不能验证.

师:同学们,在遥远的古埃及,人们在环形绳子上打12个等间隔的绳结,分别取3,4,5个等间隔的绳结组成三角形,那么5这边对的角是直角.古埃及人通过这样的方法得到了直角,但是他们也不知道原因,下面我们就一起来探究.

老师在黑板上写上了问题:

如图2,在∆ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,求证:∠C=90°.

师:同学们先独立思考,再小组讨论,然后全班交流.

生7:因为32+42=52,根据勾股定理,这个三角形是直角三角形.

生8:如图2，延长AC到点D,使得CD=AC=3,BD=BA=5,则∆ABC≌∆DBC,所以∠BCA=∠BCD=90°.

生9:我想到了反证法.假设∠C≠90°,则AB≠5,与条件矛盾,所以∠C=90°.

生10:上一节课我们学习了“勾三股四弦五”,在直角三角形中,3,4,5可以构成直角三角形的三边,而这个三角形与∆ABC就是全等,所以∠C=90°.

……

很快,学生讨论后都找出了生7、生8、生9证明过程中的问题,否定了他们的证明方法.对于生10的证明方法也有不同意见.

师追问生10:直角三角形中,3,4,5一定构成直角三角形的三边,你能说明理由吗?

生10:直角三角形中,根据勾股定理,3,4为直角边,则斜边为5;5为斜边,3为直角边,则另一条直角边长为4;同样,5为斜边,4为直角边,则另一条直角边长为3.根据“SSS”,那么这样的直角三角形与∆ABC一定全等.

师:有道理,那大家根据生10的思路如何证明勾股定理的逆定理?

这时,大部分学生都想到了先构造一个直角三角形,然后证明构造的直角三角形与原三角形全等.

学生开始自主证明,教师安排三名学生进行板演.

师:刚才同学们自主探究了勾股定理的逆定理,所用证明方法有别于平时的方法,我们称之为同一法.所谓同一法,就是当我们在证明一个命题遇到困难时,我们可以构造一个符合结论的图形,然后推导证明这个图形与原来图形全等,这样原命题的结论就成立了.

同一法是一种间接的证明方法,它在一些定理证明中会经常使用,大家在以后的学习中会慢慢体会到.

……

2. 教学分析

学生在教师的引导下,从数学内部发展的角度,自主提出了本节课研究的课题,学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯,发展核心素养[2].接着让学生经历定理证明过程的探究,学生先独立思考,遇到挫折与困境,甚至有一些错误的想法,然后再通过合作探究,一起找到问题解决的突破口,最后解决了问题.这个探究过程用时较多,在实际教学中不少老师认为不值得而忽略,但这是“授之以渔”的过程,学生主体性得到充分的体现,探究欲望得以点燃,学生的创新思维、批判思维等得到了提高.这样的教育是以素养为核心的教育,这样的教学立意也更加高远.