三角恒等变换常用技巧

赵桂强

(山东省高密市第一中学)

三角恒等变换是近年高考中的高频考点,因此深刻理解、准确掌握有关解题技巧就显得非常重要.基于此,本文通过归类剖析的方式对三角恒等变换常用技巧加以具体说明,以便帮助读者拓宽解题思路,进一步提高分析、解决此类问题的实际能力.

1 利用“弦切互化”

处理三角函数中有关正弦、余弦以及正切函数之间的综合问题时,常常需要“弦切”互化.

2 利用和(差)角正切公式的“变形式”

3 利用“换元”转化

处理有关三角函数求值问题时,有时需将表示“角”的代数式看作一个整体,借助“换元”进一步分析、解决问题.

本题采用“换元”转化的思想,使整个解题过程流畅、自然,且不需要在如何运用三角公式上大做文章.

4 利用“平方”变形

从解题目标看,利用恒等变形化简可知本题关键是求sinα＋cosα的值,注意到(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα,(sinα-cosα)2＝1-2sinαcosα,由此即可找到解题思路.

5 利用“加减”变形

处理三角函数中有关求值问题时,有意识地考虑题设条件及目标问题中“角”与“角”之间的“加减”联系,往往可为灵活运用和(差)角公式创造有利条件.常见变形有2α＝(α＋β)＋(α-β),2α＋β＝(α＋β)＋α,β＝α-(α-β)等.

本题将2x变形为(x＋y)＋(x-y),将2y变形为(x＋y)-(x-y),不但为活用和(差)角公式创造了条件,而且将已知条件与求解目标紧密联系起来,真可谓“一箭双雕”.

6 利用“辅助角公式”

三角辅助角公式:当ab≠0时,有

总之,处理三角恒等变换问题应过好三关:一是理论关,即必须熟练掌握相关的三角恒等变换公式;二是运用关,即能够在观察题型结构、特点的基础上,灵活选用相关的解题技巧;三是运算关,即进行代数运算时,必须细心、认真,力求准确化简、求值.