构造向量,巧解相关代数问题

孙 琳

(江苏省南京市金陵中学河西分校)

由于向量模的坐标运算涉及“平方和”的结构形式,向量数量积的坐标运算涉及“积与和”的结构形式,所以利用向量知识可以求解相关代数问题.本文着重说明如何在适当变形、构造向量的基础上,灵活运用如下两个向量不等式,巧妙求解相关代数问题,旨在帮助学生理解、掌握向量不等式,并能够在解题中加以灵活运用.

向量不等式1 不等式a·b≤|a|·|b|对任意向量a,b均成立.

特别地,设a,b是非零向量,则a·b＝|a|·|b|⇔向量a,b共线且同向⇔存在λ＞0,使得b＝λa;a·b＝-|a|·|b|⇔向量a,b共线且反向⇔存在λ＜0,使得b＝λa.

向量不等式2 不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|对任意向量a,b均成立.

特别地,设a,b是非零向量,则|a|＋|b|＝|a＋b|⇔向量a,b共线且同向;|a|＋|b|＝|a-b|⇔向量a,b共线且反向;||a|-|b||＝|a＋b|⇔向量a,b共线且反向;||a|-|b||＝|a-b|⇔向量a,b共线且同向.

此外,需要认真领会以下各例是如何根据“平方和”的形式或“积与和”的形式,灵活构造向量,并借助上述向量不等式巧妙求解目标问题.

1 构造向量,巧证不等式

2 构造向量,巧求最值或值域

结合上述归类举例解析可知“构造向量,巧解相关代数问题”的关键在于根据“平方和”或“积与和”的外在结构形式(有时需要进行适当的代数变形),先构造向量,再灵活运用向量不等式a·b≤|a|·|b|或||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|分析、解决目标问题.在求解有关函数的最值或值域问题时,需要特别关注向量不等式中的“等号”能否取到,否则极易产生错误.