三求平面向量的模长

姜凤玉

(济南市章丘区第五中学)

在平面向量的有关计算题中,求向量的模长或模长的最值是一类比较常见的题型.向量既具有代数的运算特征,又有图形的几何特征,因此,向量模长问题的解决同样有两种思路:从代数法角度考虑和从几何图形考虑.那么,具体说来有哪几种主要方法呢?

1 利用向量的数量积求模长

利用向量的数量积求模长是通过a2＝|a|·|a|·cos0°＝|a|2,把向量的模长问题化归为向量的数量积问题,这个公式能使向量的模与已知向量(已知模长、夹角的基底向量)产生联系.需要注意的是求出向量的数量积后不要忘记开方.

图1

通过本题可以看出无论是求模长还是求模长的最值,关键是将所求向量用已知向量线性表出,然后将其两边平方转化为向量的数量积问题,这种运算体现了向量的代数特征,同时也体现了数学解题中常用的转化思想.

2 利用向量的坐标运算求模长

分析 本题条件中涉及垂直关系和模长,故可考虑建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算来求解.

图2

本题题干简练,但具有一定的难度.倘若不从坐标法去考虑,感觉无从下手.坐标法可以使向量的模的运算代数化,最终把原问题转化为解析几何的取值范围问题.

3 利用向量的几何意义求模长

如果说上文提到的两种方法的着眼点放在向量代数特征上,那么本方法则着眼于向量的几何特征,将条件中的向量运算转化为特殊的几何图形,找到所求向量与几何图形的关系,然后再运用几何知识来处理向量的模长.

图3

若条件中出现两向量之和或向量之差的形式,可考虑运用向量加、减法的几何意义来处理有关模长.若向量的夹角是特殊角并且直接用向量的数量积计算模长很困难时,可考虑寻找几何图形来求解.

以上求向量模长的三种方法都离不开转化思想,即利用基底转化,借助坐标运算转化,或利用几何图形转化,再次印证了平面向量是“数与形”的完美统一.