谈高中数学教学中合情推理的价值与应用

马婷

江苏省扬州市江都区丁沟中学 225200

在高中数学教学中推理的地位至关重要，可以说如果没有推理数学知识就很难被建构起来.当然，高中数学教学中强调得更多的是逻辑推理，比如《普通高中数学课程标准（2017年版）》就将逻辑推理作为数学学科核心素养的组成要素之一.逻辑推理的重要性不言而喻，但是还有一种看起来水平较低的推理也应当引起高中数学教师的重视，这个推理就是合情推理.通常情况下，合情推理更多发生于数学基础知识的学习过程中，但如果不是站在数学知识的角度，而是站在学生学习的角度来看高中数学教学中的推理，又可以发现合情推理在高中数学教学中应当有一席之地.

之所以提出这个观点，是因为相当一部分学生在高中数学知识学习的过程中，由于思维方式等的差异，还需要合情推理来奠定包括逻辑推理在内所有数学学科核心素养要素养成的基础.而且就算从数学知识发生的角度来看，不少高中数学概念或者规律，依然需要用合情推理来打开大门.所以合情推理在高中数学教学中应当被重视，而且学生学习高中数学一定是离不开合情推理的.如果以往高中数学教育较为注重严谨性的论证演绎推理，那么随着对学生学习过程的重视程度越来越高，引导学生进行合情推理并在此基础上进行合理猜想，然后让学生在学习过程中主动发现并提出问题，进而通过推理猜想探索数学规律，引导学生进行合情推理和猜想就应当成为高中数学教学的一个重要任务［1］.

本文借助“函数的单调性”教学，谈谈高中数学教学中合情推理的价值与应用途径.

合情推理在高中数学教学中的价值

一般认为，合情推理是指合乎情理的、似乎真的推理，因此又被称为“似真推理”.相对于逻辑推理而言，合情推理并不过于强调逻辑性，即使依赖直觉进行推理也是可行的.自然而然的合情推理，也不追求结果的百分之百的准确，但要求学生的思维能够向数学规律靠近.因此，合情推理的清晰程度并不能与数学中的论证推理相比，其是一个没有固定的逻辑，是笼统的但又合乎情理的推理.因此合情推理并不能获得所有人的认同，但是尽管如此，合情推理在数学中依然有论证推理不能替代的作用，它对于数学的创造性发展有着重大意义与价值.

具体来说，合情推理在高中数学教学中的价值表现为：合情推理能够帮助学生打开数学感知的大门，能够引导学生在数学情境中完成从生活向数学的转变.这一点对于几乎所有高中生来说都是有积极意义的，因为学生如果不能在这个环节触摸数学学习的本质，那就不能进行有效的数学学习，因此合情推理才是消解学生数学学习困难、减少高中数学教学中常常出现的两极分化现象的关键之一.除此之外，合情推理还能够促进学生的思维从浅层走向深度，从肤浅走向深刻，从某种程度来讲，合情推理就是学生思维递进的一个重要台阶.

比如，“函数的单调性”这一知识看起来简单，却是学生理解函数性质的一个重要节点.从数学意义的角度来看，学生对函数单调性的理解是建立在其定义之上的，而这种定义的抽象性，会让不少学生望而生畏.相应地，在这一知识的学习过程中，如果学生能够利用合情推理来打开探究的大门，那么就能够让学生对合情推理的理解变得更加高效.

合情推理在高中数学教学中的应用

那么在具体的应用过程中，合情推理应当如何实施呢？笔者也分析了一些教学案例，结果发现很多教师都是给学生一个情境，然后直接让学生去猜想，很多时候可能都会因为情境创设不恰当或者问题设计不科学，学生很难进行有效的猜想.因此，合情推理的应用实际上是有一定技术要求的.有研究者研究数学教学、培养学生合情推理的能力时，提出“善用教材，寻求合情推理的切入点”“依照数学原理，进行合情推理教学”“设置情境，鼓励学生合理猜想”“拓展类比，推进合理推理的转化”“营造良好的课堂氛围，促进学生不断地自我探索和创新”［2］，这样的阐述对于合情推理的应用来说，有着一定的启发，也就是说，教师应当认真研究教材，确定合理的合情推理切入点，然后从学生的认知基础出发引导学生进入情境，进而在问题的驱动下进行合情推理.

例如，在“函数的单调性”教学中，笔者先给学生呈现了多个函数的图像（如图1、图2所示），然后让学生去观察这些图像，思考如何从图像上发现这些函数的性质.这是一个学生进行观察并猜想的过程：凭着直觉思维可以发现这两个图像都对应着一定的变化规律，但是这个变化规律又不能简单地描述出来，于是学生发现应当将这两个函数进行分段分析，才能准确地描述它们的性质.

图1

图2

具体分析学生的这一思考过程可以发现，学生最初描述这些性质的时候，用的是“变大”或“变小”这样的生活用语；而问学生为什么会这么描述，学生会说直接从图像上看到的.

这样一个学生直接观察的过程，实际上对应的是学生的直觉思维，而变大与变小则是基于图像走势的直观判断.从图1的单一变化到图2的复杂变化，学生容易猜想到如果遇到的是更为复杂的函数及其图像，要描述其性质，就需要进行分段描述，自然也就有学生会在这个过程中提出问题：如果要分段的话，应当如何分段呢？如果要描述函数性质的话，应当如何描述呢？在这一些问题的驱动下，学生的探究会逐步深入，有不少学生提出应当遵循由易到难的原则，先选择一个相对简单的函数图像去研究其性质.这时可以引导学生以二次函数f（x）=ax2（a≠0）作为研究对象，那么学生就可以观察到，无论是开口向上还是开口向下，都需要将二次函数的图像分成两部分来阐述……

事实证明，有了上述这样一段分析过程作为基础，学生认识函数单调性时，整个过程就会非常顺利.这显然得益于合情推理：学生最初的变大或变小的认识，就是合情推理的结果；后面学生提出的问题，也是合情推理的结果.如果没有学生的这些合情推理，如果只是教师纯粹的讲授，那么在学生的思维当中，就没有这些合情推理的结果作为缓冲与润滑，学习结果自然也就不会理想.

合情推理在高中数学教学中的概括

从以上的理论分析与实践探究来看，合情推理在高中数学教学中的价值，主要体现在合情推理能够在学生学习数学概念或者规律的过程当中，生成许多默会的知识，有了这些默会的知识，那么学生在建构这些数学知识时，过程就会更加自然.对于教师来说，判断并评价学生的合情推理，主要依据的是学生的学习结果.如果教师此前给足了学生进行合情推理的空间，而学生在后续学习与运用知识时又变得更加自然，那么就可以认为这样的合情推理是成功的.

虽然合情推理不像逻辑推理那样具有相对单独且重要的意义，但是要想提升学生的数学学习品质，教师有必要将合情推理作为一个重要的教学内容.除了让学生在知识发生的过程中进行合情推理外，要想让学生进行更好的合情推理，教师可以让学生去欣赏一些伟大的猜想产生的过程.在这些过程当中，也蕴含着丰富的合情推理环节，让学生体会并认识到如何利用合情推理去猜测和发现一些新的结论，也可以培养学生进行合情推理的思维方式，同时对后继知识的学习起到引领的作用.

总而言之，高中数学教学必须重视合情推理，要让合情推理成为学生学习数学知识的有效缓冲，要让合情推理的结果成为学生建构数学知识的有效补充.将合情推理纳入高中数学教学的内容范畴，在教学中赋予学生更多的合情推理空间，是数学教师应当重视并努力的方向.