寻根溯源 渗透文化 提升素养——以探讨教材习题中的“隐圆”微专题复习为例

何刚

四川省南充高级中学 623300

引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求将数学史渗透在数学教学中，让数学文化贯穿必修课程和选择性必修课程，并提出发展数学文化这一理念，指出“数学文化要尽可能有机地结合高中数学课程的内容，注意阐明数学的产生和发展”，使学生“通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神”［1］.可见，将数学史融入平日的数学教学过程，不仅能使学生的数学思维得以拓展、数学情感得以培养，还能更深层次地了解数学知识，更能发展数学文化，从而培养学生的核心素养.

然而，在现实的课堂中，一线数学教师虽然知道数学文化的重要性，但长期受应试教育的影响，导致部分数学教师对数学文化的内涵认识不足，在数学文化的理解上出现了片面化，认为数学文化在试卷中只不过是以文化素材的形式出现在一两道试题中，不如多讲一些例题更实在.

将数学文化与数学教学进行有机融合是数学文化与数学教育研究领域里的一项非常重要的工作，当下实际数学教学中，将数学文化融入数学课堂已成为一种得到了广泛实践并推崇的教学模式.但如何有效实现数学文化与数学教学的整合？如何使得基于数学文化视角的数学教学设计不流于形式，真正发挥数学文化在实际教学中的重要价值？

数学文化的含义

“文化”一词，在《现代汉语词典》中的解释为：“人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和，特指精神财富，如文学、艺术、教育、科学等.”［2］

学者王新民、马岷兴在文章《新课程中“数学文化”的涵义诠释》中认为：“数学文化是指人类在数学行为活动中所创造的物质产品和精神产品，其中物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分；而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神以及数学美等观念性成分.”［3］

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对数学文化做了如下的定义：“它指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.”［1］由此人们知道数学文化是更高层次的观念性因素，它以数学知识为依托，是数学教学的载体，因此数学文化有别于数学知识，教学中教师应该摒弃简单粗暴的介绍式教学方式而使用融入式教学方式更适合.

数学文化教学的意义

1.渗透史料，激发学习兴趣，促进深度思考

学生接触到一个新知识或新概念时，疑惑最多的就是“为什么是那样？”数学史可以帮助我们去追溯问题的来龙去脉、知识演变发展的过程，触及问题的本质，让学生体会到数学是自然的，知识的产生是水到渠成的，疑惑便顺利解开；让学生体验深度思考，理解知识背后所蕴含的数学思想，激发学生浓厚的学习欲望.

2.渗透思想，促进思维发展，提升数学素养

探究数学对象的本质，提炼数学概念、命题的基本观点，这些都离不开数学思想.领悟数学思想不仅是问题发现和提出的源泉，还是问题分析并解决的根本.数学教学过程是学生在教师的指导下通过数学思维活动，学习数学家的思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程［4］.教学中教师以数学思想为魂，为学生创设时机去体验“再发现、再创造”，经历数学思维分析的过程，实现学生学习方式的转变，将问题不断深入、拓展，使其一般化，真正提升学生的数学学科素养.

3.优化学习，营造文化氛围，实现有效课堂

教学中教师教什么？肯定是教材.教材凝聚着专家学者的心血和智慧，教材中的知识是有权威的，教材中的例题、习题都是精心打磨的，它们往往具有一定的背景，有些是外显的，还有许多属于内隐型的，需要教师用心挖掘这些丰富的数学文化资源.这样可以理清知识的生长点，为学生能个性思考提供基础，实现学生自主探究，能积极主动参与数学知识的建构.以数学文化为着眼点，在问题分析中，更利于师生、生生之间的合作交流，使得课堂氛围充满着积极互助、和谐民主的景象，实现有真正意义的有效课堂.

整合教材内容，开发文化资源

借助人类历史的长河，我们理清了教材中许多概念、公式、定理的源流.现如今，许多一线教师也意识到借助史料可以帮助学生学习概念、公式、定理.事实上，在现用的教材中，课后习题的背景蕴含着丰富的数学文化资源，如何去开发挖掘？如何以高观点的视角去联系、看待问题？为了回答以上问题，笔者做了一点小小的尝试——基于数学文化的实践教学“隐圆”专题课，本文节选了课堂中的两个重要环节.

环节1：抛砖引玉

师：同学们，这些年我们一起学过了圆，你能谈谈记忆中关于圆的知识吗？在初中我们学过圆，定义让我们了解了圆的一些几何性质，如垂径定理等；在高中我们学会了利用代数的方法去研究圆，得到了圆的标准方程和一般方程，以及弦长公式等.这节课我将和大家借助史料一起来探讨高中教材课后习题中隐藏的圆，下面大家先来看一组题目：

（2）已知点A（0，0），B（1，1），点P满足kPA·kPB=-1，求点P的轨迹方程.

（3）已知点A（0，0），B（1，1），点P满足PA2+PB2=4，求点P的轨迹方程.

设计意图：起始问题起点低，学生能迅速解决，此举可让学生积极地参与进来.事实上，题（1）、题（2）、题（3）、题（4）、题（5）均是学生平日见过的圆的呈现形式，是圆几何形态的不同的代数表征.其中，题（1）的结论为：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；题（2）的结论为：平面内，到两个定点的斜率之积等于-1的点的集合是圆；题（3）的结论为：平面内，到两个定点A，B的距离的平方和等于定值）的点的集合是圆；题（4）的结论为：平面内，与两个定点A，B的向量的数量积等于定值）的点的集合是圆；题（5）的结论为：平面内，到两个定点的距离之比等于定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的集合是圆.

环节2：教材呈现

探究1：人教A版必修2教材习题4.1B组第2题：长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.

第3题：已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，求动点M的轨迹方程.

阅读材料“用《几何画板》探究点的轨迹（圆）”中的例题：已知点P（2，0），Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q的距离的，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程.

推广：已知两定点A，B的距离AB=k（k＞0），动点M到两定点A，B的距离之比满足=λ（λ＞0且λ≠1），则动点的轨迹是圆，圆心在直线AB上，半径为且半径是圆心到两定点距离的比例中项.

设计意图：学生利用解析法很快将上述问题得出了结果，并发现了题目的共同特征：轨迹都是圆.教师这时介绍亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262年—前190年）的数学成就，并将此类圆命名为阿波罗尼奥斯圆（简称阿圆）.通过对阿圆的基本要素的探究学习，让学生逐步积累如何发现、分析、解决问题的基本活动经验，发展和提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.

变式2：在△ABC中，c=2，3b2-a2=12，求△ABC面积的最大值.

设计意图：揭示了阿圆问题的本质，让学生认识到数学问题并非无源之水、无本之木［5］，通过对问题的变式练习帮助学生领悟到问题本质，同时让学生学会通过整体联系去处理某类共性问题，体会到题目只变其形不变其质，从而使学生掌握探究问题的一般思维和方法，发展学生的学科素养.

此问题将圆的“隐”，作为认识的起点，即探索的起点，在此基础上形成轨迹意识，借助解析几何的方法建立几何图形与代数表达式之间的对应.

探究2：人教A版必修5教材习题3.4B组第2题：如图1所示，树顶A离地面a m，树上另一点B离地面b m，在离地面c m的C处看此树，离此树多远时视角最大？

图1

设计意图：此问题的背景是数学史上著名的米勒问题.1471年，德国数学家米勒提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在地球上什么部位，可视角最大？抽象成数学问题（见图2）：线段AB垂直于直线EF，垂足为O，在直线EF上任选C，使得∠ACB的值最大，求此时C的位置.

图2

对于此问题，文［6］给出了几何解法.我们知道，在水平直线上选择点C，使得△ACB外接圆与水平直线刚好相切于点C，切点就是视角最大的点（见图3）.根据切割线定理可知，OC2=OA·OB.利用上述结论就可以“秒杀”教材中的问题：过点C作水平线的平行线交直线AB于点O（见图4），易知OB=b-c，OA=a-c，则OC2=（a-c）（b-c），即

图3

图4

变式：如图5所示，已知在以角B为钝角的△ABC中，AB=3，=12，当角C最大时，求△ABC的面积.

图5

图6

图7

设计意图：整合教材中的习题与本节课的主题，借助整体思想，让学生体会到知识之间存在关联，从而形成知识网络，而不是一个个毫不相关且孤立的知识点；让学生体会到数学知识的产生具有其必要性和合理性，每一个知识都是有存在价值的.将数学史有效融入课堂，不是简单叙述数学故事，更不是机械地挪用数学史.首先，教师自身要透彻地理解数学史，根据实际教学的需要在组织教学环节时挑选出适合学生学习的史料，让学生经历知识的生成过程，明白看似简单题目的背后所蕴含的丰富的数学史，从中理解圆的意义，并体会数学家艰苦探索、锲而不舍的钻研精神，将数学史的价值最大程度地发挥出来.

在人教A版数学必修2中的主题为“画法几何与蒙日” 的阅读与思考中提到了法国数学家蒙日，作为画法几何的创始人，他在其著作《画法几何学》中提到：“过椭圆外一点向椭圆做两条互相垂直的切线，该点在同一圆上.”

探究3：（2014年高考广东卷文理科第20题）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点为，离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

将此问题进行推广，得到一般化结论，如下：若动点P（x0，y0）是椭圆=1（a＞b＞0）外一点，且点P到椭圆的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程为a2+b2.

该结论中的圆就是熟悉的蒙日圆.

设计意图：本探究的设计基于两条线，一条是基本知识的明线：以蒙日圆为背景提出问题，得出蒙日圆的定义；另一条是基本思想方法的暗线：先提出几何问题，然后借助代数方法去研究，从而揭示出解析几何的实质.在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出：“逻辑推理是指从一些事物和命题出发，依据规则推导其他命题的素养.”［1］本探究借助类比推理发现一般性结论，然后经过代数运算验证结论，这一过程让学生的逻辑推理素养与数学运算素养得到提升.

结束语

1.对知识网络的梳理

专题课的核心就是帮助学生厘清本专题所涉及的知识与方法，其目的是让学生站在不同的角度去分析、理解同一问题，从而实现认识一类问题全面化、系统化，并在此基础上深入探索与其相关的知识结构，形成知识网络，扩展这个网络的广度与深度，最终让学生在其头脑中构建解决这一类问题清晰的思路.本节课的内容，实际上就是常见的“隐圆”，说“隐”一方面是因为它源于教材中的课后习题、阅读材料；一方面体现在作为几何图形的圆用代数特征去表达；更重要的是每个圆背后还隐藏着丰富的数学史.这使得以圆为中心的这张知识网络结构图更具浓烈的人文气息.

2.合理展现数学史，构建灵动课堂

本节课通过有关圆的数学史的引入，重新组织了知识点之间的联系，穿插了数学史中比较重要的几个关于圆的概念，使学生在有着生动丰富的数学史背景的课堂中学习，仿佛置身于数学历史的长河中，在课堂上引起了不小的轰动，学生惊叹到：看似一道简单题目的背后却隐含着一个个以数学家名字命名的圆，使学生经历了对圆概念的延伸和发展过程，符合学生的认知规律，激发了学生的学习动机.生动丰富的数学史背景，不但能使学生更深层次地去理解圆的概念，还能从数学史中感受到数学家们的科学精神.正如人们常说：“灵动的数学课堂需要数学史的点缀.”